I primi insiemi che si incontrano in matematica sono quelli dei

numeri; daremo qui una breve descrizione dei principali insiemi numerici, delle loro operazioni e

delle loro proprietà.

I NUMERI NATURALIIl primo insieme che prenderemo in esame è l’ insieme dei numeri naturali. Esso si indica con la lettera N e i suoi elementi sono i numeri interi positivi,i primi numeri, storicamente, ad essere stati usati dall'umanità:

N = { 0, 1 , 2 , 3 , 4 . . . . .}

Naturalmente gli elementi di N : 1 , 2 , 3 , 4 . . . sono infiniti.

In molti testi nell’insieme dei numeri naturali non viene considerato anche lo 0, la notazione utilizzata diventa:

N0 = {1 , 2 , 3 , 4 , 5…….}

Somma e prodottoLe operazioni elementari che risultano ben definite nell’ insieme dei numeri naturali sono l’operazione di addizione (o somma) e quella di moltiplicazione (o prodotto).

• a+b=c

• ab =f

Considereremo l’ operazione di addizione come nota; la moltiplicazione viene definita come una addizione ripetuta: eseguire il prodotto a ·b significa fare:

ab = a + a + a + ... + a (b volte) = b + b + ... + b (a volte).

Proprietà della sommaL’ operazione di addizione gode delle seguenti proprietà:

1) proprietà commutativa della somma: Per qualsiasi a,b є N:

a+b=b+a .

2) proprietà associativa della somma: Per qualsiasi a,b,c є N:

(a+b)+c=(c+a)+b .

3) esistenza dell’ elemento neutro per la somma: l'elemento neutro per l'addizione è lo 0, infatti per esso vale:

per qualsiasi a є N: a + 0 = 0 + a = a .

Proprietà del prodottoL’ operazione di moltiplicazione gode di proprietà analoghe:4) proprietà commutativa del prodotto: per qualsiasi a,b є N: a·b=b·a 5) proprietà associativa del prodotto: per qualsiasi a,b,c є N: (a · b) ·c=(c·a) ·b 6) esistenza dell’ elemento neutro:

l'elemento neutro per la moltiplicazione è il numero 1, infatti per esso vale:

per qualsiasi a є N: a · 1 = 1 · a = a.

7) esistenza dell’ elemento annullatore:

l'elemento annullatore per la moltiplicazione è il numero 0, infatti vale:

per qualsiasi a є N: a · 0 = 0 · a = 0. (legge di annullamento del prodotto)

Inoltre è valida la seguente proprietà che lega somma e prodotto:

8) proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:

(a+b)c = ac + bc.

Terminologia Si dice che l’insieme N è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione per indicare che queste sono effettivamente operazioni su N, cioè sempre eseguibili per qualsiasi a,b є N .

Se abbiamo a+b=c allora gli elementi generici a e b vengono detti addendi mentre c prende il nome di somma.

Invece nella moltiplicazione a·b=d a e b vengono detti fattori ed il risultato d è detto prodotto.

Sottrazione e divisioneLe operazioni di sottrazione e di divisione nell’ insieme dei numeri naturalinon sono sempre possibili.

La sottrazione di due numeri naturali (quando esiste) corrisponde all'operazione inversa della somma:

Definizione: Dati due numeri naturali n, m є N , si dice n - m quel numero naturale x, se esiste, che sommato ad m dia n.Cioè :

n - m = x se e solo se n = m + x .

Si vede facilmente che n deve essere maggiore di m per poter svolgere l’operazione di sottrazione (cioè perché x esista).

In modo analogo alla sottrazione si definisce la divisione:

Definizione: Dati due numeri naturali n, m є N , si dice n : m quel numero naturale x, se esiste ed è unico, che moltiplicato per m dia n. Cioè :

n : m = x se n = m·x

Anche per la divisione è immediato constatare che x non esiste sempre, ma se e solo se n è un multiplo di m (cioè se esiste k є N , tale che n = km), quindi l'operazione di divisione è eseguibile solo sulle coppie n,m є N tali che n = km .

Inoltre si può notare che non si potrà mai dividere per 0, infatti per avere ad esempio 8 : 0 = x si dovrebbe avere 8 = 0·x, il che è falso qualunque sia x.Non si può neanche fare 0 : 0 in quanto tale operazione risulterebbe indeterminata, poichè per ogni numero naturale x si ha: 0 = 0·x=x·0 cioè x non sarebbe unico, mentre nella definizione si chiede che x esista e sia unico.

Proprietà della sottrazione e della divisione

L’operazione di sottrazione gode della proprietà invariantiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a - b) = (a + c) -(b + c)

oppure (a - b) = (a - c) - (b - c)

L’operazione di divisione gode della proprietà invariantiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a : b) = (a · c) : (b · c)

oppure (a : b) = (a : c) : (b : c)distributiva: per qualsiasi a,b,c є N: (a + b) : c = (a : c) + (b : c)

oppure (a - b) : c = (a : c) - (b : c)

Terminologia

Se abbiamo la sottrazione a-b=c allora a prende il nome di minuendo e b di sottraendo mentre c viene detto differenza. Invece nella divisione a:b=d (con b diverso da 0)a è il dividendo, b il divisore e d il quoto (quoziente esatto),a viene detto multiplo di b mentre b divisore di a.

L'elevamento a potenza

Procedendo in modo analogo a come abbiamo definito la moltiplicazione a partire dalla somma, si può definire su N, ma ad esclusione dello 0, l'operazione di elevamento a potenza :

per qualsiasi n,m є N: con n e m diversi da 0, si pone nm = n · n ... n (m volte) .

Questa volta però non abbiamo proprietà analoghe alle precedenti (per esempio questa operazione non è né associativa né commutativa, ad esempio: 32 e 23 sono diversi) .

Proprietà delle potenzeProprietà notevoli della elevazione a potenza sono:

p1) Per qualsiasi n,m є N :      (n·m)t = nt·mt

p2) Per qualsiasi n,m є N: n(m+t) = nm·nt

p3) Per qualsiasi n,m є N : n(mt) = (nm)t

Esempi: 511 = 5 (4+7) = 54 ·57 ; 3(2·2) = (32)2 = 92 = 81.

p4) Per qualsiasi n,m є N :      (n : m)t = nt : mt

p5) Per qualsiasi n,m є N: n(m - t) = nm : nt

Per quanto detto nm è a questo modo definito solo se m non è 0 (cosa vorrebbe dire moltiplicare n per se stesso "0 volte"?).

La proprietà p5) ci pone allora un piccolo problema: m-t ha senso anche quando m= t ? In questo caso si avrebbe:

n(m - t) = n0 = nm : nt = nm : nm = 1mentre avevamo detto che n0 non era definito.

Quello che possiamo fare allora è di estendere la definizione precedente di elevamento a potenza, in modo da conservare vere le proprietà p1) - p5) anche in questo caso, ponendo :

Per qualsiasi n є N, se n non è 0, si ha : n0 = 1

Sottolineiamo che resta invece privo di senso elevare 0 alla 0: il simbolo 00 non rappresenta nessun numero!