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AritmeticaI numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
Aritmetica Novembre 2013 1 / 9
AritmeticaI numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
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AritmeticaI numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
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AritmeticaI numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
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AritmeticaI numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
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AritmeticaI numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
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AritmeticaI numeri interi: Z
I numeri interi sono il risultato di aggiungere all’insieme dei numeri naturali inumeri −n, per ogni n naturale. Assumiamo che −0 = 0. Cioè,
. . . ,−5,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .
In questo modo, N ⊆ Z.
Si definisce anche un ordine, della forma conosciuta. I numeri positivi sonoquelli più grandi di 0. I negativi sono quelli più piccoli di 0.
Lo 0 non è positivo né negativo!!
EsempioOrdinare l’insieme: {0,−34, 56,−45,−5, 7, 233}
−45 < −34 < −5 < 0 < 7 < 56 < 233
I negativi sono: {−45,−34,−5} e i positivi sono {7, 56, 233}.
Aritmetica Novembre 2013 1 / 9
Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
Aritmetica Novembre 2013 2 / 9
Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.
I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.
I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.
I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero sichiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0.
Questo numero sichiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.
Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Somma in ZLa somma si definisce della forma conosciuta. E ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: a+ 0 = a.I Commutatività: a+ b = b+ a.I Associatività: a+ (b+ c) = (a+ b) + c.I Opposto: Per ogni a esiste un b tale che a+ b = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di a e lo denotiamo per −a.
Si può vedere che se a = n è un numero naturale, allora −a = −n.Si in vece, a = −n, dove n è un numero naturale, allora −a = n.
Regola: Due segni negativi si cancellano:
−(−n) = n.
EsempioL’opposto di 3 è −3. L’opposto di 56 è −56. L’opposto di −34 è 34.L’opposto di −345 è 345.
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Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
per ogni interi a, b, c.
Aritmetica Novembre 2013 3 / 9
Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:
I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
per ogni interi a, b, c.
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Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.
I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
per ogni interi a, b, c.
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Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.
I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
per ogni interi a, b, c.
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Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.
I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
per ogni interi a, b, c.
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Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
per ogni interi a, b, c.
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Prodotto in ZIl prodotto in Z si definisce della forma conosciuta, attendendo a la regola deisegni, che schematicamente si può scrivere così:
Regola dei segni+ ·+ = + + · − = − − ·+ = − − · − = +
Il prodotto di interi ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: a · 1 = a.I Commutatività: a · b = b · a.I Associatività: a · (b · c) = (a · b) · c.I Cancellazione: Se c 6= 0 e a · c = b · c, allora a = b.
Proprietà congiunta della somma e il prodotto: la distributiva
a · (b+ c) = a · b+ a · c,
per ogni interi a, b, c.
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Teorema fondamentale della Aritmetica
TeoremaOgni numero intero a diverso di 0 e di 1 e −1 si può scomporre come unprodotto di potenze di numeri primi
a = ± pα11 · · · · · p
αk
k
dove tutti gli esponenti sono positivi e tutti i primi sono diversi tra loro. Questascomposizione è unica, a meno di permutazioni dei fattori.
Aritmetica Novembre 2013 4 / 9
Aritmetica
I numeri frazionari: Q
I numeri frazionari sono espressioni del genere:
a
b
dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.
Criterio di uguaglianzaa
b=
c
dse e solo se a · d = b · c.
Osservazione: Se si moltiplica numeratore e denominatore per uno stessonumero, diverso di 0, allora si ottiene una frazione equivalente:
a
b=
a · cb · c
Aritmetica Novembre 2013 5 / 9
Aritmetica
I numeri frazionari: Q
I numeri frazionari sono espressioni del genere:
a
b
dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.
Criterio di uguaglianzaa
b=
c
dse e solo se a · d = b · c.
Osservazione: Se si moltiplica numeratore e denominatore per uno stessonumero, diverso di 0, allora si ottiene una frazione equivalente:
a
b=
a · cb · c
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Aritmetica
I numeri frazionari: Q
I numeri frazionari sono espressioni del genere:
a
b
dove a e b sono interi, e b 6= 0. a si chiama il numeratore e b il denominatore.
Criterio di uguaglianzaa
b=
c
dse e solo se a · d = b · c.
Osservazione: Se si moltiplica numeratore e denominatore per uno stessonumero, diverso di 0, allora si ottiene una frazione equivalente:
a
b=
a · cb · c
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EsempiI
8
9=
24
27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
I3
5=
3003
5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I6
2=
3
1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
Osservazione: Identificandoa
1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
contiene l’insieme degli interi:
N ⊆ Z ⊆ Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:
a
b=
a · db · d
ec
d=
c · bd · b
Aritmetica Novembre 2013 6 / 9
EsempiI
8
9=
24
27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
I3
5=
3003
5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I6
2=
3
1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
Osservazione: Identificandoa
1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
contiene l’insieme degli interi:
N ⊆ Z ⊆ Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:
a
b=
a · db · d
ec
d=
c · bd · b
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EsempiI
8
9=
24
27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
I3
5=
3003
5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I6
2=
3
1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
Osservazione: Identificandoa
1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
contiene l’insieme degli interi:
N ⊆ Z ⊆ Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:
a
b=
a · db · d
ec
d=
c · bd · b
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EsempiI
8
9=
24
27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
I3
5=
3003
5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I6
2=
3
1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
Osservazione: Identificandoa
1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
contiene l’insieme degli interi:
N ⊆ Z ⊆ Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:
a
b=
a · db · d
ec
d=
c · bd · b
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EsempiI
8
9=
24
27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
I3
5=
3003
5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I6
2=
3
1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
Osservazione: Identificandoa
1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
contiene l’insieme degli interi:
N ⊆ Z ⊆ Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:
a
b=
a · db · d
ec
d=
c · bd · b
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EsempiI
8
9=
24
27, perché 8 · 27 = 216 = 9 · 24.
I3
5=
3003
5005, perché 3 · 5005 = 15015 = 5 · 3003.
I6
2=
3
1, perché 6 · 1 = 2 · 3.
Osservazione: Identificandoa
1con a, otteniamo che l’insieme dei frazionari
contiene l’insieme degli interi:
N ⊆ Z ⊆ Q
Date due frazioni a/b, c/d, sempre possiamo ottenere frazioni equivalenti conlo stesso denominatore:
a
b=
a · db · d
ec
d=
c · bd · b
Aritmetica Novembre 2013 6 / 9
Somma e prodotto in Q
La somma e il prodotto si definiscono così:
a
b+
c
d=
a · d+ c · bb · d
a
b· cd=
a · cb · d
Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni condenominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la sommadei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.Cioè:
a
d+
c
d=
a+ c
d,
perché il denominatore è lo stesso.
Quindi, in generale:
a
b+
c
d=
a · db · d
+c · bd · b
=a · d+ c · b
d · b
Aritmetica Novembre 2013 7 / 9
Somma e prodotto in Q
La somma e il prodotto si definiscono così:
a
b+
c
d=
a · d+ c · bb · d
a
b· cd=
a · cb · d
Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni condenominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la sommadei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.Cioè:
a
d+
c
d=
a+ c
d,
perché il denominatore è lo stesso.
Quindi, in generale:
a
b+
c
d=
a · db · d
+c · bd · b
=a · d+ c · b
d · b
Aritmetica Novembre 2013 7 / 9
Somma e prodotto in Q
La somma e il prodotto si definiscono così:
a
b+
c
d=
a · d+ c · bb · d
a
b· cd=
a · cb · d
Osservazione: La idea dietro la definizione della somma è che frazioni condenominatori uguali si possono sommare semplicemente facendo la sommadei numeratori e prendendo come denominatore quello comune a entrambi.Cioè:
a
d+
c
d=
a+ c
d,
perché il denominatore è lo stesso.
Quindi, in generale:
a
b+
c
d=
a · db · d
+c · bd · b
=a · d+ c · b
d · b
Aritmetica Novembre 2013 7 / 9
EsempiSomma:
I45
14+
3
21=
45 · 21 + 3 · 1414 · 21
=987
294
I33
6+
22
9=
33 · 9 + 22 · 66 · 9
=429
54
Le stesse operazioni usando il m.c.m.:
I45
14+
3
21=
45 · (42÷ 14) + 3 · (42÷ 21)
42=
45 · 3 + 3 · 242
=125 + 6
42=
141
42
I33
6+
22
9=
33 · (18÷ 6) + 22 · (18÷ 9)
18=
33 · 3 + 22 · 218
=143
18
Prodotto:
I45
14· 321
=45 · 314 · 21
=135
294
I33
6· 229
=33 · 226 · 9
=726
54
Aritmetica Novembre 2013 8 / 9
EsempiSomma:
I45
14+
3
21=
45 · 21 + 3 · 1414 · 21
=987
294
I33
6+
22
9=
33 · 9 + 22 · 66 · 9
=429
54
Le stesse operazioni usando il m.c.m.:
I45
14+
3
21=
45 · (42÷ 14) + 3 · (42÷ 21)
42=
45 · 3 + 3 · 242
=125 + 6
42=
141
42
I33
6+
22
9=
33 · (18÷ 6) + 22 · (18÷ 9)
18=
33 · 3 + 22 · 218
=143
18
Prodotto:
I45
14· 321
=45 · 314 · 21
=135
294
I33
6· 229
=33 · 226 · 9
=726
54
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EsempiSomma:
I45
14+
3
21=
45 · 21 + 3 · 1414 · 21
=987
294
I33
6+
22
9=
33 · 9 + 22 · 66 · 9
=429
54
Le stesse operazioni usando il m.c.m.:
I45
14+
3
21=
45 · (42÷ 14) + 3 · (42÷ 21)
42=
45 · 3 + 3 · 242
=125 + 6
42=
141
42
I33
6+
22
9=
33 · (18÷ 6) + 22 · (18÷ 9)
18=
33 · 3 + 22 · 218
=143
18
Prodotto:
I45
14· 321
=45 · 314 · 21
=135
294
I33
6· 229
=33 · 226 · 9
=726
54
Aritmetica Novembre 2013 8 / 9
Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
Aritmetica Novembre 2013 9 / 9
Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.
I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
Aritmetica Novembre 2013 9 / 9
Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.
I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
Aritmetica Novembre 2013 9 / 9
Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.
I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero sichiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
Aritmetica Novembre 2013 9 / 9
Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0.
Questo numero sichiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:
I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.
I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.
I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.
I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numerosi chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1.
Questo numerosi chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1.
In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
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Proprietà della somma e del prodotto in QLa somma di frazionari ha le seguenti proprietà:
I Lo 0 è neutro: r + 0 = r.I Commutatività: r + s = s+ r.I Associatività: r + (s+ t) = (r + s) + t.I Opposto: Per ogni r esiste un s tale che r + s = 0. Questo numero si
chiama l’opposto di r e lo denotiamo per −r.
Il prodotto di frazionari ha le seguente proprietà:I L’1 è neutro: r · 1 = r.I Commutatività: r · s = s · r.I Associatività: r · (s · t) = (r · s) · t.I Inverso: Se r 6= 0 allora esiste un s tale che r · s = 1. Questo numero
si chiama l’inverso di r e lo denotiamo per r−1. In fatti,
se r =a
b, allora r−1 =
b
a.
Aritmetica Novembre 2013 9 / 9