I NUMERI NATURALI

Una formula per generare

numeri primi

Attenzione a come applichiamo il principio d’induzione ...

fine

Consideriamo il trinomio

412 xx

Ad esso s'interessò per primo il matematico L.Euler.

Se in tale formula sostituiamo a x il numero zero, otteniamo 41 che è un numero primo...

x valore

0 41

fine

412 xx

Se in tale formula sostituiamo a x il numero zero, otteniamo 41 che è un numero primo…

sostituendo 1 si ottiene 43, numero primo ...

x valore

0 41

1 43

fine

412 xx

Se in tale formula sostituiamo a x il numero zero, otteniamo 41 che è un numero primo…

sostituendo 1 si ottiene 43, numero primo ...

...

x valore

0 41

1 43

2 47

fine

412 xx

x valore

0 41

1 43

2 47

3 53

Se in tale formula sostituiamo a x il numero zero, otteniamo 41 che è un numero primo…

sostituendo 1 si ottiene 43, numero primo ...

...

fine

412 xx

x valore

0 41

1 43

2 47

3 53

4 61Tutti i numeri ottenuti sono primi

...

fine

Facciamo una tabella

x x^2+x+410 411 432 473 534 615 716 837 978 1139 13110 151

Sulla base di quanto ottenuto, possiamo asserire che la formula in studio fornisce sempre numeri primi?

fine

E confrontiamola con quella dei numeri primi

x x^2+x+410 411 432 473 534 615 716 837 978 1139 13110 151

2 3 5 711 13 17 1923 29 31 3741 43 47 5359 61 67 7173 79 83 8997 101 103 107109 113 127 131137 139 149 151157 163 167 173

fine

E confrontiamola con quella dei numeri primi

x x^2+x+410 411 432 473 534 615 716 837 978 1139 13110 151

2 3 5 711 13 17 1923 29 31 3741 43 47 5359 61 67 7173 79 83 8997 101 103 107109 113 127 131137 139 149 151157 163 167 173

fine

… proseguiamo la tabella ...

x x^2+x+410 411 432 473 534 615 716 837 978 1139 13110 151

11 17312 19713 22314 25115 28116 31317 34718 38319 42120 461

fine

E confrontiamola con quella dei numeri primi

137 139 149 151157 163 167 173179 181 191 193197 199 211 223227 229 233 239241 251 257 263269 271 277 281283 293 307 311313 317 331 337347 349 353 359367 373 379 383389 397 401 409419 421 431 433439 443 449 457461 463 467 479

x x^2+x+410 411 432 473 534 615 716 837 978 1139 13110 151

11 17312 19713 22314 25115 28116 31317 34718 38319 42120 461

fine

E confrontiamola con quella dei numeri primi

137 139 149 151157 163 167 173179 181 191 193197 199 211 223227 229 233 239241 251 257 263269 271 277 281283 293 307 311313 317 331 337347 349 353 359367 373 379 383389 397 401 409419 421 431 433439 443 449 457461 463 467 479

x x^2+x+410 411 432 473 534 615 716 837 978 1139 13110 151

11 17312 19713 22314 25115 28116 31317 34718 38319 42120 461

Siamo ora sicuri?

fine

Sulla base dei risultati ottenuti, si potrebbe concludere che per ogni

numero naturale x, il valore ottenuto è un numero primo.

x valore

0 41

1 43

2 47

3 53

4 61

5 71

412 xx

È corretto il ragionamento fatto?

fine

Il ragionamento fatto ha portato ha asserire un

enunciato generale che si riferisce ad ogni numero

naturale n sulla base del fatto che l'enunciato è stato

verificato per casi particolari (particolari valori di x)

La verifica di casi particolari è sufficiente

per asserire che questo enunciato vale?

fine

Tutto sembra andar bene fino a 39,

… neanche con 41 funziona ...

21 50322 54723 59324 64125 69126 74327 79728 85329 91130 97131 1033

32 109733 116334 123135 130136 137337 144738 152339 160140 168141 176342 1847

x x^2+x+41

1523 1531 1543 15491553 1559 1567 15711579 1583 1597 16011607 1609 1613 16191621 1627 1637 16571663 1667 1669 16931697 1699 1709 17211723 1733 1741 17471753 1759 1777 17831787 1789 1801 18111823 1831 1847 1861

...

...

ma con 40 si ottiene un numero non primo

...

fine

Sulla base dei risultati ottenuti, si potrebbe concludere che per ogni

numero naturale x, il valore ottenuto è un numero primo.

NO

La verifica di casi particolari è sufficiente

per asserire che questo enunciato vale?

fine

Congettura:per ogni numero naturale x, il valore ottenuto è un

numero primo.

Avremmo dovuto formulare la

E poi...

fine