= 10 · ̂=90° ̂= ̂ = =2√2 𝑅𝑖 ℎ𝑖𝑒 O P𝑒 1.2 L; 2. N𝑒 ̂= ̂= 180°−90° 2...

Teorema di Pitagora. Triangoli con angoli di 45°, 30° e 60°. Eserciziario ragionato con soluzioni. - 1

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Raccolta di problemi di geometra piana sul teorema di Pitagora applicato ai triangoli con

angoli di 45°, 30° e 60°. Completi di soluzione guidata.

Triangle Problems involving Pythagoras Theorem. (Geometry)

Attribuisci le misure ai lati dei seguenti triangoli rettangoli. Verifica che applicando il teorema di

Pitagora e le formule brevi si ottiene lo stesso risultato.

1.

𝐴𝐵 = 10 𝑐𝑚

∠𝐵 = …………

𝐵𝐶 = …………

𝑐𝑚

𝐴𝐶 = …………

𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 10 𝑐𝑚

∠𝐵 = …………

𝐴𝐵 = …………

𝑐𝑚

𝐴𝐶 = …………

𝑐𝑚

soluzione soluzione

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mailto:[email protected]

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/



2.


∠𝐶 = …………

𝐵𝐶 = …………

𝑐𝑚

𝐴𝐶 = …………

𝑐𝑚


∠𝐵 = …………

𝐴𝐵 = …………

𝑐𝑚

𝐴𝐶 = …………

𝑐𝑚

soluzione

Usa per allinearti i simulatori, nati per Alice, e che trovi on line per esercitarti ai collegamenti seguenti:

>> www.ubimath.org/geogebra/TriangoloRettangolo454590_UbiMath2017.ggb

>> www.ubimath.org/geogebra/TriangoloRettangolo306090_UbiMath2017.ggb

3.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo acuto in B di 45° e il suo cateto AB

misura 20 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

4.

Un triangolo equilatero ha il lato lungo 18 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo. Usando

il teorema di Pitagora mostra che il triangolo equilatero è acutangolo.

soluzione

5.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, è isoscele e la sua ipotenusa BC misura 2√2 cm.

Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

6.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in C di 30° e l’ipotenusa BC misura

16 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione




http://www.ubimath.org/geogebra/TriangoloRettangolo454590_UbiMath2017.ggb

http://www.ubimath.org/geogebra/TriangoloRettangolo306090_UbiMath2017.ggb



7.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in B di 60° e il cateto minore AB che


soluzione

8.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in B di 60° e il cateto maggiore AC

che misura 4√3 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

9.

Un triangolo rettangolo in A ha l’angolo in B di 60°. Sapendo che la lunghezza della sua

ipotenusa BC è di 20 cm, calcola il perimetro e l’area del triangolo rettangolo.

soluzione

10.

Un triangolo scaleno ABC ha l’angolo in corrispondenza del vertice A ampio 30° e quello nel

vertice B di 45°. Sapendo che l’altezza CH, relativa al lato AB, è lunga 20 cm, determina l’area e

il perimetro del triangolo.

soluzione

11.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC, che è il doppio del cateto minore

AB, misura 8 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

12.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC è il doppio del cateto minore AB e

il cateto maggiore AC misura 2√3 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

13.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha i due angoli acuti uguali e la sua ipotenusa BC

misura 6√2 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

14.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in B che il doppio dell’angolo in C e il

cateto maggiore AC che misura 6√3 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione

15.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha i due angoli acuti da 45° e la sua ipotenusa BC

misura 6√2 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

soluzione






16.

Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, è isoscele e il suo cateto AB misura 12 cm.


soluzione

17.

In un triangolo ABC l’altezza CH, lunga 24 cm, forma con il lato AC un angolo di 60° e con il

lato BC un angolo di 45°. Calcolate il perimetro e l’area del triangolo dato.

soluzione

18.

In un triangolo isoscele ABC l’angolo al vertice è di 120° e uno dei lati uguali misura 4 m.

Calcolate il perimetro e l’area del triangolo dato.

soluzione

19.

Un trapezio isoscele ha i due angoli acuti alla base di 60°. Sapendo che la base maggiore misura

16 m e la minore 10 m calcola il perimetro e l’area del trapezio dato.

soluzione

20.

Un trapezio isoscele ha i due angoli acuti alla base di 30°. Sapendo che la base minore misura 20

cm e il lato obliquo 40 cm calcola il perimetro e l’area del trapezio dato.

soluzione

21.

Un trapezio isoscele ha i due angoli acuti alla base di 45°. Sapendo che l’altezza del trapezio

misura 12 cm e che la base minore congruente a questa calcola il perimetro e l’area del trapezio

dato.

soluzione

22.

Un rombo è formato da due triangoli equilateri sovrapposti. Sapendo che il perimetro del rombo

misura 120 m calcola l’area della figura.

soluzione






Soluzioni

AB = 10 cm

∠𝐴 = 90°

∠𝐶 = 30°

La somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo di

180°.

∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°

Il triangolo rettangolo ha l’altro angolo di 30° (180°-60°) ed

è la metà di un triangolo equilatero.

𝐶𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝐵 = 20 𝑐𝑚

𝐴𝐵 =𝑙

2√3 = 10√3 𝑐𝑚

𝐶𝐵 = 2 ∙ 𝐴𝐵 = 20 𝑐𝑚

Applico il teorema di Pitagora

𝐴𝐵 = √𝐶𝐵2 − 𝐴𝐵2

𝐴𝐵 = √202 − 102 = √300 cm

Applico le proprietà dei radicali

𝐴𝐵 = √3 ∙ 100 = √3 ∙ √100 = 10√3𝑐𝑚






BC = 10 cm

∠𝐴 = 90°

∠𝐵 = 60°


180°.

∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°


è la metà di un triangolo equilatero.

𝐴𝐵 =1

2𝐵𝐶 =

1

210 = 5 𝑐𝑚

𝐴𝐶 =𝑙

2√3 = 5√3 𝑐𝑚

𝐴𝐵 =1

2𝐵𝐶 =

1

210 = 5 𝑐𝑚


𝐴𝐶 = √𝐶𝐵2 − 𝐴𝐵2

𝐴𝐶 = √102 − 52 = √75 cm


𝐴𝐵 = √3 ∙ 25 = √3 ∙ √25 = 5√3 𝑐𝑚






AB = 20 cm

∠𝐴 = 90°

∠𝐵 = 45°


180°.

∠𝐴 + ∠𝐵 + ∠𝐶 = 180°


è isoscele e la sua ipotenusa è la diagonale di un quadrato

che ha per lati i cateti.

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 20 𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 𝑙√2 = 20√2 𝑐𝑚

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 20 𝑐𝑚


𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

𝐴𝐶 = √202 + 202 = √800 cm


𝐴𝐵 = √2 ∙ 202 = √2 ∙ √202 = 20√2 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo

acuto in B di 45° e il suo cateto AB misura 20 cm. Calcola il

perimetro e l’area del triangolo.

Dati e relazioni �̂� = 90°

�̂� = 45°


𝑅𝑖𝑐ℎ𝑖𝑒𝑠𝑡𝑒

1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� = 180° − (�̂� + �̂�) = 180° − (90° + 45°) = 45°

Un triangolo rettangolo con due angoli di 45° è isoscele.

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑐1 = 𝑐2 = 20 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝑖 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2 =

𝐵𝐶 = √202 + 202 = √400 + 400 = √400 ∙ 2 = 20√2 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝐶

2=

20 ∙ 20

2= 200 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶

2𝑝 = 20 + 20 + 20√2 = (40 + 20√2 ) 𝑐𝑚






Un triangolo equilatero ha il lato lungo 18 cm. Calcola il perimetro e

l’area del triangolo. Usando il teorema di Pitagora mostra che il triangolo

equilatero è acutangolo.

Dati e relazioni Triangolo equilatero

l = 18 cm Richieste

Perimetro (2p)

Area

Un triangolo equilatero è diviso dall’altezza relativa a un lato in due triangoli rettangoli

particolari con angoli di 30° e 60°.

In questi triangoli in cateto opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa.

ℎ = √𝑙2 − (𝑙

2)

2

= √182 − (18

2)

2

ℎ = √182 − 92 = √324 − 81 = √243 = √35 = 9√3 𝑐𝑚

2𝑝 = 3 ∙ 𝑙 = 3 ∙ 18 = 54 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

18 ∙ 9√3

2= 9 ∙ 9√3 = 81√3 𝑐𝑚2

E’ possibile usare l’uguaglianza del teorema di Pitagora per stabilire il tipo di triangolo.

𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2 è acutangolo

𝑎2 + 𝑏2 < 𝑐2 è ottusangolo

Il triangolo è acutangolo perché per il teorema di Pitagora abbiamo che

182 + 182 > 182

2 ∙ 182 > 182






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, è isoscele e la sua

ipotenusa BC misura 2√2 cm. Calcola il perimetro e l’area del

triangolo.


�̂� = �̂�

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶

𝐵𝐶 = 2√2 𝑐𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� = �̂� =180° − 90°

2=

90°

2= 45°


Essendo per il Teorema di Pitagora il quadrato costruito

sull’ipotenusa somma di due quadrati uguali costruiti sui cateti, è

possibile trovare il lato di uno dei quadrati costruiti sui cateti …

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑐1 = 𝑐2 = √𝐶𝐵2

2= √(2√2)2

2= √

4 ∙ 2

2= 2 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

2 ∙ 2

2= 2 𝑐𝑚2


2𝑝 = 2 + 2 + 2√2 = (4 + 2√2 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in C di 30° e

l’ipotenusa BC misura 16 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.

Dati e relazioni

�̂� = 90°

�̂� = 30°



1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� = 180° − (�̂� + �̂�) = 180° − (90° + 30°) = 60°

Un triangolo rettangolo che ha due angoli di 30° e di 60° è la metà di un

triangolo equilatero. Il lato maggiore, l’ipotenusa, è quindi il doppio del

cateto minore.

Si può applicare, quindi, il Teorema di Pitagora …

𝐴𝐵 = 𝑐1 =𝐵𝐶

2=

16

2= 8 𝑐𝑚

𝐴𝐶 = 𝑐2 = √𝐶𝐵2 − 𝐴𝐵2

𝐴𝐶 = √162 − 82 = √256 − 64 = √192 = √64 ∙ 3 = 8√3 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

8 ∙ 8√3

2= 32√3 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 8 + 16 + 8√3 = (24 + 8√3 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in B di 60° e

il cateto minore AB che misura 16 cm. Calcola il perimetro e l’area del

triangolo.

Dati e relazioni

�̂� = 90°

�̂� = 60°



1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� = 180° − (�̂� + �̂�) = 180° − (90° + 60°) = 30°



cateto minore.


𝐵𝐶 = 𝑖 = 2 ∙ 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝑐1 = 2 ∙ 16 = 32 𝑐𝑚

𝐴𝐶 = 𝑐2 = √𝐶𝐵2 − 𝐴𝐵2

𝐴𝐶 = √322 − 16 = √1024 − 256 = √768 = √256 ∙ 3 = 16√3 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

16 ∙ 168√3

2= 128√3 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 16 + 32 + 16√3 = (48 + 16√3 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in B di 60° e

il cateto maggiore AC che misura 4√3 cm. Calcola il perimetro e l’area

del triangolo.


�̂� = 60°

𝐴𝐶 = 4√3 𝑐𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� = 180° − (�̂� + �̂�) = 180° − (90° + 60°) = 30°



cateto minore.

Essendo per il Teorema di Pitagora il quadrato costruito sull’ipotenusa

4 volte il quadrato costruito sul cateto minore, è possibile trovare il lato

del quadrato costruito sul cateto minore sapendo che questo quadrato

ha area pari a un terzo di quella costruita sull’altro cateto …

𝐴𝐵 =𝐴𝐶

2= 𝑐1 = √

𝐴𝐶2

3= √

(4√3)2

3= √

16 ∙ 3

3= 4 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝑖 = 2 ∙ 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝑐1 = 2 ∙ 4 = 8 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

4 ∙ 4√3

2= 8√3 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 4 + 8 + 4√3 = (12 + 4√3 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo in A ha l’angolo in B di 60°. Sapendo che la

lunghezza della sua ipotenusa BC è di 20 cm, calcola il perimetro e

l’area del triangolo rettangolo.


�̂� = 60°



1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� = 180° − (�̂� + �̂�) = 180° − (90° + 60°) = 30°



cateto minore.



2=

20

2= 10 𝑐𝑚

𝐴𝐶 = 𝑐2 = √𝐶𝐵2 − 𝐴𝐵2

𝐴𝐶 = √202 − 102 = √400 − 100 = √300 = √100 ∙ 3 = 10√3 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

10 ∙ 10√3

2= 50√3 𝑐𝑚2

𝐴 = 50√3 𝑐𝑚2 ≈ 86,60 𝑐𝑚2


2𝑝 = 10 + 20 + 10√3 = (30 + 10√3 ) 𝑐𝑚

2𝑝 = (30 + 10√3 ) 𝑐𝑚 ≈ 47,32 𝑐𝑚






Un triangolo scaleno ABC ha l’angolo in corrispondenza del vertice A

ampio 30° e quello nel vertice B di 45°. Sapendo che l’altezza CH,

relativa al lato AB, è lunga 20 cm, determina l’area e il perimetro del

triangolo.


�̂� = 45°

𝐶 𝐻 = 20 𝑐𝑚


Perimetro, area

𝐻�̂�𝐵 = 180° − (�̂� + �̂�) = 180° − (90° + 45°) = 45°

𝐻�̂�𝐵 = 180° − (�̂� + �̂�) = 180° − (90° + 30°) = 60°




cateto minore.

Se A^=30° allora ACH^=60° e AC=2CH

𝐴𝐶 = 2𝐶𝐻 = 2 ∙ 20 = 40 𝑐𝑚

𝐴𝐻 = √𝐴𝐶2 − 𝐶𝐻2 = √402 − 202 = √1200 = 20√3 𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 𝐴𝐻 + 𝐵𝐻 = (20√3 + 20)𝑐𝑚

Se B^=45° allora BCH^=45° e BH = CH = 20 cm

180° − (90° + 45°) = 45°


𝐶𝐵 = √𝐵𝐻2 + 𝐶𝐻2

𝐶𝐵 = √202 + 202 = √800 = 20√2 𝑐𝑚

𝐴 =𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐻

2=

(20√3 + 20) ∙ 20

2= (200√3 + 200)𝑐𝑚2

𝐴 =𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐻

2=

(20√3 + 20) ∙ 20

2=

54,64 ∙ 20

2= 546,4 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐵 + 𝐴𝐶

2𝑝 = 20√3 + 20 + 20√2 + 40 = (60 + 20√2 + 20√3)𝑐𝑚

2𝑝 = (60 + 28,28 + 34,64)𝑐𝑚 ≈ 122,92 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC, che è il

doppio del cateto minore AB, misura 8 cm. Calcola il perimetro e l’area

del triangolo.


𝐵𝐶 = 2 ∙ 𝐴𝐶



1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎



cateto minore.



2=

8

2= 4 𝑐𝑚

𝐴𝐶 = 𝑐2 = √𝐶𝐵2 − 𝐴𝐵2

𝐴𝐶 = √8 − 42 = √64 − 16 = √48 = √16 ∙ 3 = 4√3 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

4 ∙ 4√3

2= 8√3 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 4 + 8 + 4√3 = (12 + 4√3 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, l’ipotenusa BC è il

doppio del cateto minore AB e il cateto maggiore AC misura 2√3 cm.



𝐵𝐶 = 2 ∙ 𝐴𝐵

𝐴𝐶 = 2√3 𝑐𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎



cateto minore.


4 volte il quadrato costruito sul cateto minore, è possibile trovare il lato

del quadrato costruito sul cateto minore sapendo che questo quadrato

ha area pari a un terzo di quella costruita sull’altro cateto …

𝐴𝐵 =𝐴𝐶

2= 𝑐1 = √

𝐴𝐶2

3= √

(2√3)2

3= √

4 ∙ 3

3= 2 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝑖 = 2 ∙ 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝑐1 = 2 ∙ 2 = 4 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

2 ∙ 4√3

2= 4√3 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 2 + 4 + 2√3 = (6 + 2√3 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha i due angoli acuti

uguali e la sua ipotenusa BC misura 6√2 cm. Calcola il perimetro e

l’area del triangolo.


�̂� = �̂�

𝐵𝐶 = 6√2 𝑐𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

Il triangolo rettangolo ha due angoli di 45° [(180°-90°)/2=45°] ed è

quindi isoscele e come tale ha due lati uguali


somma di due quadrati uguali costruiti sui cateti, è possibile trovare il

lato di uno dei quadrati costruiti sui cateti …

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑐1 = 𝑐2 = √𝐶𝐵2

2= √(6√2)2

2= √

64 ∙ 2

2= 8 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

8 ∙ 8

2= 32 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 8 + 8 + 6√2 = (16 + 6√2 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha l’angolo in B che il

doppio dell’angolo in C e il cateto maggiore AC che misura 6√3 cm.



�̂� = 2 ∙ �̂�

𝐵𝐶 = 6√3 𝑐𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� =180° − �̂�

3=

(180 − 90)

3=

90

3= 30°

�̂� = 2 ∙ �̂� = 2 ∙ 30° = 60°



cateto minore.

Essendo per il Teorema di Pitagora il quadrato costruito sull’ipotenusa 4

volte il quadrato costruito sul cateto minore, è possibile trovare il lato del

quadrato costruito sul cateto minore sapendo che questo quadrato ha

area pari a un terzo di quella costruita sull’altro cateto …

𝐴𝐵 =𝐴𝐶

2= 𝑐1 = √

𝐴𝐶2

3= √

(6√3)2

3= √

36 ∙ 3

3= 6 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝑖 = 2 ∙ 𝐴𝐵 = 2 ∙ 𝑐1 = 2 ∙ 6 = 12 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

6 ∙ 6√3

2= 18√3 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 6 + 12 + 6√3 = (18 + 6√3 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, ha i due angoli acuti da 45°

e la sua ipotenusa BC misura 6√2 cm. Calcola il perimetro e l’area del

triangolo.


�̂� = �̂� = 45°

𝐵𝐶 = 6√2 𝑐𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

Il triangolo rettangolo è isoscele avendo due angoli di 45°.


somma di due quadrati uguali costruiti sui cateti, è possibile trovare il

lato di uno dei quadrati costruiti sui cateti …

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑐1 = 𝑐2 = √𝐶𝐵2

2= √(6√2)2

2= √

36 ∙ 2

2= 6 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

6 ∙ 6

2= 18 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 6 + 6 + 6√2 = (12 + 6√2 ) 𝑐𝑚






Un triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, è isoscele e il suo cateto AB


Dati e relazioni

�̂� = 90°

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶



1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝑐1 = 𝑐2 = 12 𝑐𝑚

𝐵𝐶 = 𝑖 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

𝐵𝐶 = √122 + 122 = √144 + 144 = √144 ∙ 2 = 12√2 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=


2=

12 ∙ 12

2= 72 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 12 + 12 + 12√2 = (24 + 12√2 ) 𝑐𝑚






In un triangolo ABC l’altezza CH, lunga 24 cm, forma con il lato AC un

angolo di 60° e con il lato BC un angolo di 45°. Calcolate il perimetro e

l’area del triangolo dato.

Dati e relazioni

𝐶𝐻 = 24 𝑐𝑚

𝐴�̂�𝐻 = 60°

𝐵�̂�𝐻 = 45°


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

�̂� = 180° − (�̂� + 𝐵�̂�𝐻) = 180° − (90° + 60°) = 30°


Per costruzione, quindi, si ha CH = HB = 24 cm

�̂� = 180° − (�̂� + 𝐵�̂�𝐻) = 180° − (90° + 60°) = 30°



cateto minore.

𝐴𝐶 = 2 ∙ 𝐶𝐻 = 2 ∙ 24 = 48 𝑐𝑚

𝐶𝐵 = √𝐶𝐻2 + 𝐻𝐵2 = √242 + 242 = √2 ∙ 242 = 24√2 𝑐𝑚

𝐶𝐵 = 24√2 𝑐𝑚 ≅ 33,94 𝑐𝑚

𝐴𝐻 = √𝐴𝐶2 − 𝐶𝐻2 = √482 − 242 = √2304 − 576 = √1728

= 24√3 𝑐𝑚

𝐴𝐻 = 24√3 𝑐𝑚 ≈ 41,56 𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 𝐴𝐻 + 𝐻𝐵 = 41,56 + 24 = 65,56 𝑐𝑚

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 = 65,56 + 33,94 + 48 = 147,50 𝑐𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

41,56 ∙ 24

2= 498,72 𝑐𝑚2






In un triangolo isoscele ABC l’angolo al vertice è di 120° e uno dei lati

uguali misura 4 m. Calcolate il perimetro e l’area del triangolo dato.

Dati e relazioni

𝐴𝐵𝐶 è 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒

𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 4 𝑚

�̂� = 120°

𝐵𝐶 = 6√2 𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝐴𝐻 =𝐴𝐵

2=

4

2= 2 𝑚

𝐻𝐵 = 𝐻𝐶 = √𝐴𝐻2 − 𝐴𝐻2 = √42 − 22 = √16 − 4 = √12 = 2√3 𝑚

𝐻𝐵 = 𝐻𝐶 = 2√3 ≅ 3,46 𝑚

𝐵𝐶 = 2 ∙ 𝐵𝐻 = 2 ∙ 2√3 = 4 ∙ √3 ≈ 6,92 𝑚

2𝑝 = 2 ∙ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 2 ∙ 4 + 6,92 = 8 + 6,92 ≈ 14,92 𝑚

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

4√3 ∙ 2

2= 4√3 𝑚2

𝐴 =𝑏 ∙ ℎ

2=

4√3 ∙ 2

2≅

6,92 ∙ 2

2≅ 6,92 𝑚2

Per costruzione

AB = AC = 4 m






Un trapezio isoscele ha i due angoli acuti alla base di 60°. Sapendo che la

base maggiore misura 16 m e la minore 10 m calcola il perimetro e l’area

del trapezio dato.

Dati e relazioni

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒

�̂� = �̂� = 60°

𝐴𝐵 = 16 𝑚

𝐶𝐷 = 10 𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝐴𝐻 =𝐴𝐵 − 𝐶𝐷

2=

16 − 10

2=

6

2= 3 𝑚

𝐴𝐷 = 2𝐴𝐻 = 2 ∙ 𝐴𝐻 = 2 ∙ 3 = 6 𝑚

𝐷𝐻 = √𝐴𝐷2 − 𝐴𝐻2 = √62 − 32 = √36 − 9 = √27 = √9 ∙ 3 = 3√3 𝑚

𝐴 =𝐴𝐵 + 𝐶𝐷

2∙ 𝐷𝐻 =

16 + 10

2∙ 3√3 = 13 ∙ 3√3 = 39√3 𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐷𝐶 + 2𝐴𝐷 = 16 + 10 + 2 ∙ 3√3 = (26 + 6√3 ) 𝑚

Un triangolo rettangolo

che ha due angoli di 30°

[(180°-(90°+60°)=30°]

e di 60° è la metà di un

triangolo equilatero. Il

lato maggiore,

l’ipotenusa, è quindi il

doppio del cateto

minore.






Un trapezio isoscele ha i due angoli acuti alla base di 30°. Sapendo che

la base minore misura 20 cm e il lato obliquo 40 cm calcola il

perimetro e l’area del trapezio dato.

Dati e relazioni

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝐴𝐵𝐶𝐷

�̂� = �̂� = 30°

𝐶𝐷 = 𝑙 = 40 𝑐𝑚


1. 2𝑝;

2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝐴𝐷 = 40 𝑐𝑚

𝐷𝐻 =𝐴𝐷

2=

40

2= 20 𝑐𝑚

𝐴𝐻 = √𝐴𝐷2 − 𝐷𝐻2

𝐴𝐻 = √402 − 202 = √1600 − 400 = √1200 = √400 ∙ 3

= 20√3 𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 + 2𝐴𝐻 = 20 + 2 ∙ 20√3 = (20 + 40√3) 𝑐𝑚


2∙ 𝐷𝐻

𝐴 =20 + 40√3 + 20

2∙ 20 = 10 ∙ (40 + 40√3)

= (400 + 400√3 ) 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 2𝐴𝐷

2𝑝 = 20 + 40√3 + 20 + 2 ∙ 40 = (120 + 40√3 ) 𝑐𝑚

Il triangolo rettangolo

AHD è la metà di un

triangolo equilatero

perché ha gli angoli acuti

di 30° e 60° e il lato

maggiore AD,

l’ipotenusa, che è il

doppio del cateto minore

DH.






Un trapezio isoscele ha i due angoli acuti alla base di 45°.

Sapendo che l’altezza del trapezio misura 12 cm e che la base

minore congruente a questa calcola il perimetro e l’area del

trapezio dato.

Dati e relazioni

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 𝑖𝑠𝑜𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒 𝐴𝐵𝐶𝐷

�̂� = �̂� = 45°

𝐷𝐻 = ℎ = 12 𝑐𝑚

𝐷𝐻 = 𝐶𝐷


1. 2𝑝;

2. 𝐴𝑟𝑒𝑎


𝐴𝐻 = 𝐷𝐻 = 𝐶𝐷 = 12 𝑐𝑚

𝐴𝐷 = √𝐴𝐻2 + 𝐷𝐻2 = √2𝐴𝐻2 = √2 ∙ 122 = √122√2

= 12√2 𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 𝐷𝐶 + 2𝐴𝐻 = 3 ∙ 12 = 36 𝑐𝑚


2∙ 𝐷𝐻 =

36 + 12

2∙ 12 = 6 ∙ 48 = 288 𝑐𝑚2

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐶𝐷 + 2𝐴𝐷 = 36 + 12 + 2 ∙ 12√2

= (48 + 24√2 ) 𝑐𝑚


AHD è isoscele perché ha

gli angoli acuti di 45°.






Un trapezio isoscele ha i due angoli acuti alla base rispettivamente di 45°

e 30°. Sapendo che la base minore è un terzo della maggiore e che

l’altezza misura 6 cm calcola il perimetro e l’area del trapezio dato.

Dati e relazioni

𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑧𝑖𝑜 𝐴𝐵𝐶𝐷

�̂� = 30°

�̂� = 60°

ℎ = 6 𝑐𝑚

𝐶𝐷 =1

3𝐴𝐵


1. 2𝑝;

2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

DA CONTROLLARE Liceo Giovanni

𝑏1 = 3 𝑏2

𝐴𝐷 = 2 ∙ 𝐷𝐻 = 2 ∙ 6 = 12 𝑐𝑚

𝐴𝐻 =𝑙 √3

2=

12 ∙ √3

2= 6 √3 𝑐𝑚

𝐶𝐸 = 𝐷𝐻 = 𝐸𝐵 = 6 𝑐𝑚

𝐶𝐵 = 𝑙√2 = 6√2 𝑐𝑚

𝐶𝐷 = 𝑥 3𝑥 = 6 √3 + 𝑥 + 6 2𝑥 = 6 √3 + 6 𝑥

= (3 + √3)𝑐𝑚

𝐴𝐵 = 6√3 + 3 + 3√3 + 6 = (9 + 9√3) 𝑐𝑚

2𝑝 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷

2𝑝 = 9 + 9√3 + 6√2 + 3 + 3√3 + 12 = (24 + 12√3 + 6√2 ) 𝑐𝑚

𝐴 =9 + 9√3 + 3 + 3√3

2∙ 6 = 3 ∙ (12 + 12 ∙ √3)

= (36 + 36 ∙ √3) 𝑐𝑚2




perché ha gli angoli

acuti di 30° e 60° e il

lato maggiore AD,

l’ipotenusa, che è il

doppio del cateto

minore DH.


BEC è isoscele perché

ha gli angoli acuti di

45°.






Un rombo è formato da due triangoli equilateri sovrapposti. Sapendo che il

perimetro del rombo misura 120 cm calcola l’area della figura.

Dati e relazioni

𝑅𝑜𝑚𝑏𝑜 𝐴𝐵𝐶

𝐴𝐵𝐶 è 𝑡. 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜

𝐴𝐵𝐷 è 𝑡. 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑜

�̂� = �̂� = �̂� = 60°

2𝑝 = 120 𝑐𝑚

𝑅𝑖𝑐ℎ𝑖𝑒𝑠𝑡𝑎

𝐴𝑟𝑒𝑎

Il triangolo rettangolo AHC è la metà di un triangolo equilatero (ABC) per

costruzione. Il lato maggiore AC, l’ipotenusa, è quindi il doppio del cateto

minore AH.

𝐴𝐶 = 𝐶𝐵 = 𝐵𝐷 = 𝐴𝐷 = 𝐴𝐵 =2𝑝

4=

120

4= 30 𝑐𝑚

𝐴𝐻 =𝐴𝐶

2=

30

2= 15 𝑐𝑚

𝐶𝐻 = √𝐴𝐶2 − 𝐴𝐻2

𝐶𝐻 = √302 − 152 = √900 − 225 = √675 = √225 ∙ 3 = 15√3 𝑐𝑚

𝐶𝐷 = 2𝐶𝐻 = 2 ∙ 15√3 = 30√3 𝑐𝑚

𝐴 =𝐴𝐵 ∙ 𝐶𝐷

2=

30 ∙ 30√3

2= 15 ∙ 30√3 = 450√3 𝑐𝑚2






Un parallelogramma ha i due angoli acuti alla base di 60°. Sapendo

che i lati obliqui misurano 8 cm e le basi 9 cm calcolane il perimetro e

l’area.

Dati e relazioni

𝑃𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑚𝑎 𝐴𝐵𝐶𝐷

�̂� = �̂� = 60°

𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 9 𝑐𝑚

𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 8 𝑐𝑚


1. 2𝑝; 2. 𝐴𝑟𝑒𝑎

𝐴𝐻 =𝐴𝐷

2=

8

2= 4 𝑐𝑚

𝐷𝐻 = √𝐴𝐷2 − 𝐴𝐻2 = √82 − 42 = √64 − 16 = √48 = √16 ∙ 3

= 4√3 𝑐𝑚

𝐴 =𝐴𝐵 ∙ 𝐷𝐻

2=

9 ∙ 4√3

2= 18√3 𝑐𝑚2

2𝑝 = 2𝐴𝐵 + 2𝐴𝐷 = 2 ∙ 9 + 2 ∙ 8 = 18 + 16 = 34 𝑐𝑚




perché ha gli angoli acuti

di 30° e 60° e il lato

maggiore AD, l’ipotenusa,

che è il doppio del cateto

minore AH.






Keywords

Geometria, Geometria piana, teorema di Pitagora, Pitagora, Equivalenza, Misura delle aree,

Area, Superficie, Triangolo, Triangolo isoscele, Triangolo rettangolo, Triangoli, Problemi di

geometria con soluzioni

Geometry, Pythagoras, Pythagoras’s theorem, Area, Area Measurement, Triangle,

Triangles, triangle equilateral, triangle isosceles, triangle scalene, Geometry Problems with

Solutions

Geometría, Área, Superficie, Perímetro y áreas de figures planes, triángulos, triángulo,

equilátero, isósceles, escaleno, Área figures planes

Géométrie, Pythagore, Théorème de Pythagore, Aire, Triangle, Isocèle, équilatéral, scalène,

Superficie, Aires et périmètres

Geometrie, Umfang, Fläche, Triangel, Dreieck, spitzwinkliges Dreieck, rechtwinkliges

Dreieck, stumpfwinkliges Dreieck, Satz des Pythagoras, Pythagoras, Dreiecksgeometrie, Satz,

Mathematik

Teorema de Pitàgores

Stelling van Pythagoras

Pisagor teoremi

Πυθαγόρειο θεώρημα

Den pythagoræiske læresætning

Teorema de Pitágoras

Pythagoras’ læresetning

Pythagoras sats

Pythagoraan lause

Теорема Піфагора

Pythagorova věta

Twierdzenie Pitagorasa

Teorema lui Pitagora

فيثاغورس مبرهنة

勾股定理

ピタゴラスの定理




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