Visualizzazione delle funzioni d’onda in fisica quantistica

COLORI e NUMERI COMPLESSIVERSO LA VISUALIZZAZIONE AL COMPUTER DELLA FUNZIONE D’ONDA

PROIEZIONE STEREOGRAFICA

CODICI dei COLORI: RGB

TINTA (HUE)LUMINOSITA’ e SATURAZIONE

La SFERA dei COLORI

dalla SFERA al PIANO COMPLESSO

TINTA: fase

LUMINOSITA’: modulo

RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: 1DIM

RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: 2DIM

RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: 2DIM ed EVOLUZIONE TEMPORALE

RAPPRESENTAZIONI di FUNZIONI COMPLESSE: L’ONDA PIANA

SERIE e TRASFORMATA di FOURIER: IL SUONO DELLA FUNZIONE D’ONDA

Costruzione di una “gaussiana”

Somma di parziali

Il codice dei colori

SINTESI di FOURIER: BASE di ONDE PIANE COMPLESSE

cos( )2

ix ixe ex

f (x) =eix +e−ix/ 2

2

SINTESI di UN PACCHETTO GAUSSIANO COMPLESSO

SINTESI di UN PACCHETTO GAUSSIANO REALE: I COEFFICIENTI

TRASLAZIONI e SERIE di FOURIER

spostamenti nello spazio x come sfasamenti nello spazio k

dalla SERIE all’INTEGRALE di FOURIER

TRASLAZIONI e TRASFORMATE di FOURIER

Tanto maggiore la traslazione, tanto più rapida l’oscillazione della fase

REGOLE di COMMUTAZIONE

Importanza dell’ORDINE dei fattori nelle operazioni che agiscono sugli spazi x e k

FATTORI di SCALA:INDETERMINAZIONE “CLASSICA”

MOTO di PARTICELLE LIBERE: L’ONDA PIANA

parte reale e parte immaginaria!

MOTO di PARTICELLE LIBERE: L’ONDA PIANA

2

2

kikx i t

e

L’onda con momento k è del tipo

soluzione dell’equazione

2

2

1

2i

t x

MOTO di PARTICELLE LIBERE: L’ONDA PIANA

Il movimento delle fasi …

… la sovrapposizione periodica [momenti alti più rapidi]

SOVRAPPOSIZIONE di ONDE PIANE VIAGGIANTI

Costruzione di qualunque soluzione dell’equazione di Schroedinger in termini di onde piane (di momento diverso, dunque la sovrapposizione evolve nel tempo). E’ la stessa situazione già vista con le serie di Fourier, ora con l’aggiunta della parte variabile nel tempo!

PARTICELLA A RIPOSO GAUSSIANA

Concetto ambiguo di “a riposo”: è la quantità di moto con valore medio nullo … di conseguenza il pacchetto è destinato a sparpagliarsi (pur mantenendo la stessa posizione media)

PARTICELLA GAUSSIANALIBERA in MOTO LENTO

Cose da osservare:

il movimento del centro del pacchetto;

sparpagliamento del pacchetto;

accumulo di parti ad alto momento nel fronte del pacchetto

moto retrogrado di una piccola porzione del pacchetto

20( , ) ( ) exp / 2k t k ik t

non cambia la funzione della trasformata: il momento è costante

PARTICELLA GAUSSIANALIBERA in MOTO RAPIDO

Cose da osservare:

c’è meno sparpagliamento che nel caso precedente;

c’è ancora (meno) accumulo nella zona a basso momento

PARTICELLA GAUSSIANALIBERA in DUE DIMENSIONI

CONDIZIONI al CONTORNO: URTO CON PARETE

La collisione NON avviene “esattamente” alla coordinata della barriera, x=0 (Heisenberg!)

Si osservi l’inversione di moto del pacchetto (inversione dell’ordine dei colori – della fase)

CONDIZIONI al CONTORNO: URTO CON PARETE

Rappresentazione nello spazio dei momenti

Si osservi l’inversione delle velocità e l’indeterminazione di k in prossimità della collisione

CONDIZIONI al CONTORNO: PARTICELLA a RIPOSOVICINA ad una PARETE

La parte del pacchetto più vicina alla parete si disperde e viene riflessa!

CONDIZIONI al CONTORNO: PARTICELLA in una BUCA di ENERGIA

CONDIZIONI al CONTORNO: PARTICELLA nella BUCA e STATI STAZIONARI

Stati stazionari con densità di probabilità indipendente dal tempo

autostati dell’operatore energia,

solo la fase varia periodicamente nel tempo

PARTICELLA nella BUCA: SOVRAPPOSIZIONE di STATI STAZIONARI

La sovrapposizione di due (o più) stati stazionari porta ad interferenze periodiche nel tempo

COMPORTAMENTI “MOLTO” QUANTISTICI

Il moto del pacchetto (gaussiano) è decomposto lungo le due direzioni (orizzontale e verticale nel disegno). La componente orizzontale è quella di un pacchetto libero, quella verticale prevede condizioni alle pareti di riflessione causate dalla dispersione in quella direzione del pacchetto.

Il moto del pacchetto (gaussiano) è decomposto lungo le due direzioni (orizzontale e verticale nel disegno). Entrambe le componenti sono soggette a degrado posizionale ed a riflessioni.

Il moto del pacchetto (gaussiano) è decomposto lungo le due direzioni (orizzontale e verticale nel disegno). Come conseguenza del restringimento delle pareti il pacchetto tende ad un intrappolamento posizionale.

RIFLESSIONI su PARETI ONDULATE:modello di interazione con un cristallo

dimensione delle ondulazioni confrontabili con la lunghezza d’onda della particella: distruzione e dispersione del pacchetto gaussiano

dimensione delle ondulazioni minori della lunghezza d’onda della particella: il pacchetto è quasi tutto riflesso subito, tranne la parte a più alto momento che viene intrappolata. Quando “fugge” dalle ondulazioni raggiunge il resto del pacchetto e con esso interferisce

dimensione delle ondulazioni maggiore della lunghezza d’onda della particella: effetto di focalizzazione del pacchetto riflesso.

DIFFUSIONE di un PACCHETTO da OSTACOLI DIVERSI

ostacolo circolare, dimensioni confrontabili con il pacchetto

ostacolo quadrato, dimensioni confrontabili con il pacchetto

ostacolo circolare, dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda

ostacolo quadrato, dimensioni confrontabili con la lunghezza d’onda

DIFFUSIONE di un PACCHETTO da FENDITURE

fenditura singola doppia fenditura (Young)

L’OSCILLATORE ARMONICO

L’OSCILLATORE ARMONICO

L’OSCILLATORE ARMONICO

La sovrapposizione di 2 (o più) stati ha natura oscillatoria.

Si osservi lo sfasamento di ¼ di periodo fra la rappresentazione spaziale e quella dei momenti.

L’OSCILLATORE ARMONICO

i fasori, ovvero fasi rotanti in funzione del tempo (e dell’energia): il caso ancora dell’oscillatore armonico (Falstad).

I codici delle fasi sono ancora di tipo cromatico

L’OSCILLATORE ARMONICO

Si utilizza un pacchetto gaussiano posizionato inizialmente lontano dall’origine delle coordinate. Esso evolve nel tempo senza degradarsi (come farebbe in assenza di potenziale). Si parla di stato coerente. Si osservi anche la corrispondenza classica nel moto del pacchetto del momento (e le fasi/colori all’origine ed ai punti di inversione classica). Si può infine calcolare che per uno stato coerente il prodotto delle incertezze su x e p è minimo.

ONDE E PARTICELLE CONTRO GRADINI

quando l’energia è minore della parete di potenziale si ha comunque penetrazione; per energie maggiori della parete si ha riflessione (ed interferenza).

all’aumentare dell’altezza del gradino di potenziale la funzione d’onda è espulsa dalla zona “proibita”

PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO un GRADINO

sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) maggiori dell’altezza del gradino.

notare la riflessione anche in questo caso!

sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) minori dell’altezza del gradino.

notare la penetrazione in zona proibita.

PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO un GRADINO (inclusi i momenti)

sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) maggiori dell’altezza del gradino.

notare la riflessione anche in questo caso!

sovrapposizione di onde piane, energie (tutte) maggiori dell’altezza del gradino, buca di potenziale.

notare l’accelerazione e la riflessione.

PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO un GRADINO GRADUALE

E=0.6 V

risoluzione numerica dell’equazione di Schroedinger

E=1.2 V

risoluzione numerica dell’equazione di Schroedinger

PACCHETTO GAUSSIANO 2-DIMCONTRO un GRADINO

energia media confrontabile con l’altezza della barriera: il pacchetto trasmesso è quasi fermo.

PACCHETTO GAUSSIANO 2-DIMCONTRO un GRADINO

passaggio in zona a potenziale ridotto: il pacchetto trasmesso è accelerato.

ONDE e PARTICELLE CONTRO BARRIERE

barriera di altezza variabile e larghezza fissa. Osservare le interferenze e l’andamento esponenziale reale della funzione d’onda

PACCHETTO GAUSSIANO CONTRO BARRIERA

Pacchetti costruiti come sovrapposizioni di onde piane. Si osservino le riflessioni multiple all’interno della barriera di potenziale e l’insorgenza dello stato “metastabile” nello spazio dei momenti

EFFETTO TUNNEL

Il pacchetto, per l’andamento esponenziale reale che assume nella zona “proibita”, è comunque tale da riproporsi come sovrapposizione di onde dopo la barriera di potenziale

BARRIERE 2-DIMENSIONALI

L’energia media è molto maggiore dell’altezza della parete di potenziale (<E>=4V). L’interazione con la barriera può essere scomposta secondo due direzione: lungo quella parallela alla barriera c’è propagazione libera del pacchetto.

BARRIERE 2-DIMENSIONALI

L’energia media è minore dell’altezza della parete di potenziale. Si osserva comunque ancora attraversamento della barriera.

BARRIERE 2-DIMENSIONALI

L’energia media è maggiore dell’altezza della barriera circolare di potenziale (<E>=1.5V). Si osserva una porzione del pacchetto che “staziona” sulla sommità della barriera (stato intrappolato di tipo “risonante”)

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

Un ago percorso da corrente (elettroni) è molto vicino alla superficie irregolare del materiale da studiare. Se la punta dell’ago è sufficientemente prossima a quella del materiale si può avere passaggio di corrente (di particelle) per effetto tunnel, ossia di attraversamento di barriera.

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

L’eccessiva distanza fra la punta dell’ago e la superficie del materiale non consente il passaggio di corrente per effetto tunnel.

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

L’alternanza di irregolarità sulla superficie del campione porta a variazioni della corrente per effetto tunnel. Si mantiene questa corrente costante variando l’altezza (la posizione) dell’ago-sonda sulla superficie del campione, ottenendone così la mappa di “elevazione elettronica”

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

Un ago percorso da corrente (elettroni) è molto vicino alla superficie irregolare del materiale da studiare. Se la punta dell’ago è sufficientemente prossima a quella del materiale si può avere passaggio di corrente (di particelle) per effetto tunnel, ossia di attraversamento di barriera.

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

Molecole di ciclopentene (C5H8) su una superficie orientata di Argento (111)

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

La microscopia STM è in grado di risolvere diverse forme di molecole con eguale o simile comportamento chimico.

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

Superficie orientata di un cristallo di rame (111) ed ondulazioni delle funzioni d’onda elettroniche in prossimità delle brusche variazioni di “livello”

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

Difetti “puntiformi” su una superficie orientata (111) di un cristallo di rame.

EFFETTO TUNNEL e MICROSCOPIA ATOMICA

Posizionamento (a freddo, 4K) di atomi di ferro su una superficie orientata di un cristallo di rame.