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Unità 12
La gravitazione
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1. Le leggi di KepleroFino al 1600 si credeva che:• la Terra fosse al centro dell'Universo, con il Sole e i pianeti orbitanti attorno (modello geocentrico);• i corpi celesti, sferici e perfetti, orbitassero su traiettorie circolari.Copernico introdusse il modello eliocentrico (Sole al centro e pianeti su orbite circolari), che fu poi appoggiato da Galileo.Questo modello però non concordava con le osservazioni astronomiche.
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Le leggi di KepleroGiovanni Keplero (1571-1630) perfezionò il modello eliocentrico con tre leggi:Prima legge di KepleroLe orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi.Si definiscono:
- perielio: il punto dell'orbitapiù vicino al Sole.- afelio: il punto dell'orbitapiù lontano dal Sole.
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Le leggi di KepleroSeconda legge di KepleroIl raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali.
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Le leggi di Keplero
T aumenta al crescere di a: i pianeti lontani impiegano più tempo a compiere un giro attorno al Sole.
Terza legge di KepleroIl rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T è lo stesso per tutti i pianeti.
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2. La gravitazione universaleLe leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause.Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra.Questa forza è universale e vale per qualsiasi coppia di oggetti.
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La gravitazione universale
La legge di gravitazione universale afferma che la
forza che si esercita tra due corpi puntiformi di
masse m1 e m2 è: direttamente proporzionale alle masse dei corpi; inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r.
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La gravitazione universaleL'espressione matematica della legge di gravitazione universale è:
G è la costante di gravitazione universale:
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La gravitazione universaleVediamo le dipendenze di F da r e da m.1) Tenendo fissa la distanza r tra i due corpi:
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La gravitazione universale
2) Tenendo fisse le masse dei due corpi m1 e m2:
se r raddoppia, la forza diventa 1/4; se r triplica, la forza diventa 1/9; se r si dimezza, la forza quadruplica.
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La gravitazione universale
• F diminuisce molto rapidamente al crescere di r;
• F aumenta molto velocemente al tendere di r a zero.
Il valore della forza F è inversamente proporzionale a r2. Questo significa che:
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3. Il valore della costante G
La forza-peso FP di un corpo di massa m è la forza di gravità con cui la Terra attrae m quando è posta vicino alla superficie terrestre.
MT , RT: massa e raggio della Terra.
Ricaviamo G:
Con i valori di MT , RT noti a Newton si ottiene
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L'esperimento di Cavendish
Le masse m1 e m1 del manubrio sono attratte dalle masse più grandi M1 e M2. Dall'angolo di torsione del filo si misura il valore di F.
Si ottiene
Henry Cavendish nel 1798 misurò per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione.
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L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
Dalla legge di gravitazione universale, noti MT e RT, si può ricavare il valore di g che abbiamo già incontrato.
La quantità in parentesi è una costante e vale:
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L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra
Il valore dell'espressione
corrisponde proprio al valore sperimentale di g.
Questo permette di ottenere la formula
FP = mg
come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimità della superficie terrestre.
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4.Massa inerziale e massa gravitazionaleAbbiamo incontrato la grandezza fisica massa di
un corpo in due casi distinti:
massa inerziale, mi: indica la resistenza del corpo ad essere accelerato;
massa gravitazionale, mg: indica la capacità di attrarre oggetti ed essere attratto da essi.
I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali.
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Massa inerziale e massa gravitazionaleSe scegliamo il kg come unità di misura per
entrambe possiamo considerare: mi = mg, anche se concettualmente sono diverse.
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5. Il moto dei satellitiSupponiamo di sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocità arbitraria).
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Diversi tipi di orbite
L'orbita di un proiettile con v0=7,9x103 m/s è una circonferenza.
All'aumentare ancora di v0 la traiettoria diventa un'ellisse; superato un certo valore la traiettoria è un'iperbole: il proiettile si allontana dalla Terra.
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La velocità dei satelliti in orbita circolare
Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R con velocità v intorno alla Terra.
Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta:
R al denominatore: più il satellite è lontano dalla Terra, più è lento.
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Satelliti geostazionariSono satelliti che si muovono alla velocità di rotazione terrestre, quindi appaiono fermi rispetto alla Terra.
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6. La deduzione delle leggi di KepleroLe tre leggi di Keplero sono conseguenze dei
princìpi della dinamica e della legge di gravitazione universale.
Prima legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della proporzionalità della F gravitazionale a 1/r2: le traiettorie possono essere ellissi, parabole o iperboli; le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze).
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La deduzione delle leggi di Keplero
poiché L è costante, r e v sono inversamente proporzionali.
Seconda legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della conservazione del momento angolare.
Al perielio rP è minimo, quindi vP è massima; all'afelio rA è massimo, quindi vA è minima.
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La deduzione delle leggi di Keplero
Terza legge di Keplero: dimostriamola per orbite circolari.
Moto circolare uniforme: Essendo
, si ha ovvero
Poiché la quantità a destra dell'uguale è costante, la terza legge di Keplero è verificata.
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7. L'energia potenziale gravitazionale
Consideriamo la massa m che si sposta da A a B sotto l'azione di una massa maggiore M.
Si dimostra che
Quindi l'energia potenziale U è:
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Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito
Nella formula di U è conveniente porre k=0.
Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita.
Si scrive dunque
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Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito
Rappresentiamo il grafico della funzione U(r).
U(r) è sempre negativa (potenziale attrattivo).
La dipendenza da 1/r determina: l'annullarsi di U(r) per r che tende ad infinito; il tendere all’infinito di U per r che tende a zero.
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8. La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validità della legge di gravitazione universale e dei princìpi della dinamica, anche perché nel vuoto spaziale non esiste attrito.
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La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
La legge di conservazione dell'energia in questo caso è valida e dà un'altra spiegazione alla seconda legge di Keplero.
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La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica
Consideriamo un proiettile vicino ad un pianeta e poniamo U = 0 quando la distanza è infinita.
Se il proiettile percorre un'orbita ellittica, v<vfuga e l'energia totale E=K+U è negativa.
Se il proiettile ha v=vfuga, riesce a liberarsi e l'energia totale E=K+U è zero. Se il proiettile percorre una traiettoria iperbolica, v>vfuga e l'energia totale E=K+U è positiva.