ANALISI 1 1

VENTIQUATTRESIMA LEZIONEEsercizi di riepilogo

1prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata,Via F. Buonarroti 1/Cemail: saccon@mail.dm.unipi.itweb: http://www2.ing.unipi.it/ d6081/index.htmlRicevimento: ogni lunedı, dalle 8.30 alle 11.30

() April 22, 2009 1 / 1

Nel test proposto di seguito:

Il tempo concesso e di un’ora.

La scrittura p. 3/-1 (per esempio) significa 3 punti se la risposta ecorretta, -1 punto se la risposta e errata – in caso di mancata risposta ilpunteggio e zero.Invece p. 6 significa 6 punti in caso di risposta corretta e zero punti incaso di risposta errata o mancante.Nel problema sulle serie

I AC → “assolutamente convergente;I C → “convergente ma non assolutamente convergente”;I NC → “non convergente”.

NDP sta per “nessuna delle precedenti”.

Il punteggio dipende solo dalle risposte (in questo test non contano iprocedimenti).

() April 22, 2009 1 / 1

1 Studiare il carattere delle serie seguenti (p. 3/-1 ciascuna)∞

∑n=1

(−1)n

nsin(

nn2 +1

)∞

∑n=1

(−1)n

ncos(

nn2 +1

)AC C NC AC C NC∞

∑n=1

(−1)n

narctan

(n

n2 +1

)∞

∑n=1

(−1)n

nnn +1

n2n−n!

AC C NC AC C NC

2 L’ integrale improprio (dipendente dal parametro reale α)∫∞

0

sin(x)+ xxα(1+ x2)

dx converge per

−1 < α < 1 0 < α < 1 0 < α < 2 −1 < α < 2 0 < α < 2NDP (p. 6/-1))

3 Calcolare il seguente integrale improprio (p. 12):∫∞

0

1(x+2)2

√x+1

xdx = / non esiste

() April 22, 2009 1 / 1

1 Studiare il carattere delle serie seguenti (p. 3/-1 ciascuna)∞

∑n=1

(−1)n

nsin(

nn2 +1

)∞

∑n=1

(−1)n

ncos(

nn2 +1

)ACX C NC AC C NCX∞

∑n=1

(−1)n

narctan

(n

n2 +1

)∞

∑n=1

(−1)n

nnn +1

n2n−n!

AC CX NC ACX C NC

2 L’ integrale improprio (dipendente dal parametro reale α)∫∞

0

sin(x)+ xxα(1+ x2)

dx converge per

−1 < α < 1 0 < α < 1 0 < α < 2 −1 < α < 2 0 < α < 2XNDP (p. 6/-1))

3 Calcolare il seguente integrale improprio (p. 12):∫∞

0

1(x+2)2

√x+1

xdx =

12− 1

4√

2ln

(√2−1√2+1

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Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

() April 22, 2009 1 / 1

Correzione

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Correzione

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EsempioPer quali valori di α e β in R converge l’integrale improprio

∫ +∞

1

lnβ (x)xα

dx ?

Analogamente per quali valori di α e β in R converge la serie

∞

∑n=1

lnβ (n)nα

?

(gli stessi per cui converge l’integrale!!)

VERIFICHE

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