Post on 01-May-2015
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l e si scrive :
0
( )limx x
f x l
Se per
Definizione (rigorosa) di limite
00 x x ( )f x l
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive :
0
( )limx x
f x l
Se per
Se x0 è arbitrariamente grande
00 xx ( )f x l
, 0x K K
+∞
+ ∞
Asintoto orizzontale
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x→+ ∞
se 0 0 | :K x x K ( )lim
x
f x l
( )f x l
5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Definizione (rigorosa) di limite
Si dice che per x tendente a - ∞ la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive :
( )limx
f x l
Se per
Se x0 è arbitrariamente grande e negativo
00 x x ( )f x l
, 0x K K
Asintoto orizzontale
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x→- ∞
se 0 0 | :K x x K ( )lim
x
f x l
( )f x l
Definizione (rigorosa) di limite
Si dice che per x tendente a ∞
la funzione tende al limite finito l e si scrive :
( )limx
f x l
Se per
Se x0 è arbitrariamente grande o positivo o negativo
( )f x l , 0x K K
Equivale a
x>K se x>0 e x<-K se x<0
Asintoto orizzontale
In questo caso la retta orizzontale di equazione
y=l si dice asintoto orizzontale
per la funzione f(x) per x→ ∞
se 0 0 | :K x x K
( )limx
f x l
( )f x l
Definizione (rigorosa) di limite
5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5101520
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Se l è arbitrariamente grande e positivo
Si dice che per x tendente a x0 la funzione (diverge positivamente) tende a + ∞ e si scrive :
0
( )limx x
f x
Se per 00 x x ( )f x l f(x)>M 00 Mx x
Asintoto verticale (p.154)
0se 0 0 | : 0M MM x x x 0
( )limx x
f x
( )f x M
5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Se l è arbitrariamente grande e negativo
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a - ∞ (diverge negativamente) e si scrive :
0
( )limx x
f x
Se per 00 x x ( )f x l f(x)<-M 00 Mx x
Asintoto verticale (p.154)
0se 0 0 | : 0M MM x x x 0
( )limx x
f x
( )f x M
5101520
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Se l è arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a ∞ (diverge) e si scrive :
0
( )limx x
f x
Se per 00 x x ( )f x l |f(x)|>M 00 Mx x
0se 0 0 | : 0M MM x x x 0
( )limx x
f x
( )f x M
Asintoto verticale (p.154)
5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5101520
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5 10 15 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
5101520
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Se x0 e l sono arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a ∞ la funzione tende a ∞ e si scrive :
( )limx
f x
Se per 00 x x ( )f x l |f(x)|>M Mx K
Limite sinistro, destro (p.151)
Il limite sinistro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da sinistra. Per ricordarlo si scrive
0 0se | :x x x x 0
( )limx x
f x
...
(0x 0x
Limite sinistro, destro (p.151)
Il limite destro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da destra. Per ricordarlo si scrive
0 0se | :x x x x 0
( )limx x
f x
...
)0x 0x
Teorema: se il limite esiste, allora esistono anche il limite sinistro, il limite destro e coincidono.
Conseguenze:
Il limite non esiste se:
• il limite sinistro non esiste
• il limite destro non esiste
• esistono entrambe, ma hanno valori diversi.
Asintoti obliqui
Un asintoto obliquo è una retta non orizzontale e non verticale cui la funzione si avvicina indefinitivamente per x che tende
o a + ∞
o a –∞
o in entrambe i casi
Asintoti obliqui
• L’asintoto obliquo ha equazione
y=mx+n
La funzione f(x) ha un asintoto obliquo se risulta:
Possiamo trovare m ed n nel modo seguente
Asintoti obliqui
• Dal limite
Dividendo per x abbiamo
Portando n a destra abbiamo
N.B. il discorso vale anche per x→-∞
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema della permanenza del segno
• In forma diretta
Se per x tendente a x0 la funzione tende ad un limite finito l diverso da zero, allora esiste un intorno di x0 nel quale la f(x) ha lo stesso segno di l
l
x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Teorema della permanenza del segno
• In forma inversa:
Se in tutti i punti vicini ad x0 la funzione è strettamente positiva allora il limite è non negativo
(esempio: parabola)
x0
Proprietà dei limiti (p.155)• Teorema carabinieri
Se due funzioni f(x) e g(x) per x tendente a x0 ammettono lo stesso limite l e se in un intorno di x0 si ha
f(x) h(x) g(x)
allora anche h(x) converge a l in x0
x0
Proprietà dei limiti (p.155)
• Il limite di somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni
È dato da
• somma, differenza, prodotto, quoziente dei limiti
(eccetto il caso in cui il limite della funzione al denominatore è nullo)
Teorema del confronto
0
( )limx x
f x L
f(x)g(x), x in un intorno di x0
Sia f:A→R e g:B → R,
sia x0 punto di accumulazione per A.
Se esiste un intorno di x0 nel quale le funzioni sono entrambe definite tale che
ed esistono i limiti
0
( )limx x
g x M
Allora LM
Attenzione: nel teorema si chiede che esistano entrambi i limiti. L’esistenza del limite deve quindi essere nota a priori.
Osservazione: ci sono due casi in cui l’esistenza del limite segue dal teorema precedente:
Se L=+ ∞ allora g ha limite ed esso è + ∞
Se M=- ∞ allora g ha limite ed esso è - ∞
Metodi per il calcolo dei limiti
Funzioni continue
Definizione
0
0
( ) ( )limx x
f x f x
Una funzione f:A→R, con A R si dice continua in x0 punto di accumulazione di A se esiste
0
0
( ) ( )limx x
f x f x
Se x0 è un punto isolato (e quindi non è di accumulazione) allora, per convenzione, la funzione è continua.
0
0
( ) ( )limx x
f x f x
allora la funzione si dice continua da destra
allora la funzione si dice continua da sinistra
Se vale soltanto
Se vale soltanto
Le seguenti funzioni sono continue (p.136)
• Bisogna dimostrare che è verificata la definizione di funzione continua
f(x)=k
f(x)=2x-3 (p.135)
f(x)=mx+n (tutte le rette)
f(x)=x^2
Le potenze
I polinomi
Le funzioni razionali fratte con l’eccezione dei punti in cui il denominatore si annulla
Teorema di Weierstrass
• Se f(x) è continua un [a,b] allora è sempre dotata di minimo e di massimo ed assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo
• Osservazione: [a,b] è un intervallo chiuso e limitato. Tali intervalli prendono il nome di compatti.