Seminario di Matematica

Prof. Vigna

29 Maggio 2008

Riccardo Cristoferi

Corso di Laurea in Matematica

Università di Trento

Notazione e terminologia

Una per tutte – Seminario di Matematica –Cristoferi Riccardo

Uno spazio affine è una terna ordinata ),,( XX

X X

dove

è un insieme, è uno spazio vettoriale e

soddisfa a:

XXX :

)()(,,)1 QRRPQPXRQP

vPQctXQXvXP ..!,)2

Se è finitamente generato, si poneX )dim()dim( XX

Notazione e terminologia

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dati ),,( XX ),,( YY spazi affini, sia .XO

Sia YXf : una funzione insiemistica.

,

Definiamo

XXO :OPP

f è detta mappa affine se la funzione che fa commutare il

diagramma

Of

YX O )(Of

YX

è lineare.Of

f

Notazione e terminologia

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Uno spazio affine euclideo è una quaterna ordinata ),,,,( XX

),,( XX

.X

dove è uno spazio affine euclideo, e

è un prodotto scalare su

,

In tale spazio possiamo definire la distanza fra due punti come

QPQPQPQPdXQP ,||:),(,

ovvero se rispetta tutte le distanze.

Notazione e terminologia

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Una mappa affine fra due spazi affini euclidei

è detta isometria se la sua giacitura è ortogonale:

f YX ,

f

wvwfvfXwv ,)(),(,

Il Teorema

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Sia ),,,,( XX .2)dim( X

XXf :

uno spazio affine euclideo, e sia

Sia inoltre una funzione (insiemistica!) t.c.

1))(),((1),(, QfPfdQPdXQP

Allora f è un’isometria.

:Teorema

Dimostrazione

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Siano ctXCBA .,,

1),(),(),( CAdCBdBAd

allora

:1Lemma

CBA ,, non sono allineati

e quindi formano un riferimento affine di .X

Dimostrazione

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Costruiamo una mappa affine ..: ctXX

AAf ))((

BBf ))((

CCf ))((

:2Lemma è un’isometria.

allora

Idea dimostrazione

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

C

A B

C

A Bf

f(B)f(A)

f(C)

Se dimostro che

XId

allora ho vinto.

Idea dimostrazione

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

B

C

A

Come dimostro che è l’identità?

2. fissa tutti i punti dell’uni - reticolo

3. fissa tutte le rette del reticolo

4. fissa tutti i punti

1. rispetta la distanza

3

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - rispetta la distanza 3

:3Lemma

XQP , 3),( QPd

XGE , ),,(),,,( GEQGEP

Siano t.c.

Allora esistono t.c.

sono unitriangoli.

P

Q

E G23

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - rispetta la distanza 3

:6Lemma

Siano XQP , t.c. .1),( QPdAllora

),,(),,,(..,! SRQSRPctXSR

sono unitriangoli. Inoltre 3),( SRd

P

Q

R S

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - rispetta la distanza 3

Allora è impossibile costruire un unitriangolo i cui vertici stanno

sulla circonferenza di centro e raggio

:5Lemma

Sia .XP

P 1

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - rispetta la distanza 3

:4Lemma

Siano 3),(.., QPdctXQP

Allora

3),(1),(.. QEdPEdctE

P

Q

E

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa tutti i punti del reticolo

BA

C

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:eDefinizion

Sia ),( G un sottogruppo di .Gè detto denso se in ogni intervallo di c’è un elementodi .G

Noi considereremo il sottogruppo )],3[( ZZ dove

},3{]3[ ZbaconbaZZ

naturaleka ,0,

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:11Lemma

)],3[( ZZ è denso in

:12Lemma

anmactknm 3.., naturali

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:10Lemma

Sia distanza rispettata da , n un naturale positivo.

Se

nQPdXQP ),(,

allora

nQPd ))(),((

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:4eroposizionP

Sia X P

Consideriamo 0X proiezione ortogonale di )(X su P.

Allora .0 XX

:.Dim

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

xvOX

xnm 30

vnmON )3(

mvOM

1 nxm

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

:13Lemma

Se vnmOX )3( con O

punto del reticolo, allora fissa . X

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa le rette del reticolo

2 xxvOX

:.Dim

vXXdOQ 2))(,(4

2))(,(432 XXdnmx

vnmOP )3(

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa tutti i punti

P

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Dimostrazione - fissa tutti i punti

P

r

s

L M

N

Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo

Conclusione