Seminario di Matematica Prof. Vigna 29 Maggio 2008 Riccardo Cristoferi Corso di Laurea in Matematica...
-
Upload
teodosio-pala -
Category
Documents
-
view
215 -
download
0
Transcript of Seminario di Matematica Prof. Vigna 29 Maggio 2008 Riccardo Cristoferi Corso di Laurea in Matematica...
Seminario di Matematica
Prof. Vigna
29 Maggio 2008
Riccardo Cristoferi
Corso di Laurea in Matematica
Università di Trento
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica –Cristoferi Riccardo
Uno spazio affine è una terna ordinata ),,( XX
X X
dove
è un insieme, è uno spazio vettoriale e
soddisfa a:
XXX :
)()(,,)1 QRRPQPXRQP
vPQctXQXvXP ..!,)2
Se è finitamente generato, si poneX )dim()dim( XX
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dati ),,( XX ),,( YY spazi affini, sia .XO
Sia YXf : una funzione insiemistica.
,
Definiamo
XXO :OPP
f è detta mappa affine se la funzione che fa commutare il
diagramma
Of
YX O )(Of
YX
è lineare.Of
f
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Uno spazio affine euclideo è una quaterna ordinata ),,,,( XX
),,( XX
.X
dove è uno spazio affine euclideo, e
è un prodotto scalare su
,
In tale spazio possiamo definire la distanza fra due punti come
QPQPQPQPdXQP ,||:),(,
ovvero se rispetta tutte le distanze.
Notazione e terminologia
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Una mappa affine fra due spazi affini euclidei
è detta isometria se la sua giacitura è ortogonale:
f YX ,
f
wvwfvfXwv ,)(),(,
Il Teorema
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Sia ),,,,( XX .2)dim( X
XXf :
uno spazio affine euclideo, e sia
Sia inoltre una funzione (insiemistica!) t.c.
1))(),((1),(, QfPfdQPdXQP
Allora f è un’isometria.
:Teorema
Dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Siano ctXCBA .,,
1),(),(),( CAdCBdBAd
allora
:1Lemma
CBA ,, non sono allineati
e quindi formano un riferimento affine di .X
Dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Costruiamo una mappa affine ..: ctXX
AAf ))((
BBf ))((
CCf ))((
:2Lemma è un’isometria.
allora
Idea dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
C
A B
C
A Bf
f(B)f(A)
f(C)
Se dimostro che
XId
allora ho vinto.
Idea dimostrazione
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
B
C
A
Come dimostro che è l’identità?
2. fissa tutti i punti dell’uni - reticolo
3. fissa tutte le rette del reticolo
4. fissa tutti i punti
1. rispetta la distanza
3
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
:3Lemma
XQP , 3),( QPd
XGE , ),,(),,,( GEQGEP
Siano t.c.
Allora esistono t.c.
sono unitriangoli.
P
Q
E G23
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
:6Lemma
Siano XQP , t.c. .1),( QPdAllora
),,(),,,(..,! SRQSRPctXSR
sono unitriangoli. Inoltre 3),( SRd
P
Q
R S
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
Allora è impossibile costruire un unitriangolo i cui vertici stanno
sulla circonferenza di centro e raggio
:5Lemma
Sia .XP
P 1
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - rispetta la distanza 3
:4Lemma
Siano 3),(.., QPdctXQP
Allora
3),(1),(.. QEdPEdctE
P
Q
E
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa tutti i punti del reticolo
BA
C
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:eDefinizion
Sia ),( G un sottogruppo di .Gè detto denso se in ogni intervallo di c’è un elementodi .G
Noi considereremo il sottogruppo )],3[( ZZ dove
},3{]3[ ZbaconbaZZ
naturaleka ,0,
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:11Lemma
)],3[( ZZ è denso in
:12Lemma
anmactknm 3.., naturali
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:10Lemma
Sia distanza rispettata da , n un naturale positivo.
Se
nQPdXQP ),(,
allora
nQPd ))(),((
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:4eroposizionP
Sia X P
Consideriamo 0X proiezione ortogonale di )(X su P.
Allora .0 XX
:.Dim
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
xvOX
xnm 30
vnmON )3(
mvOM
1 nxm
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
:13Lemma
Se vnmOX )3( con O
punto del reticolo, allora fissa . X
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa le rette del reticolo
2 xxvOX
:.Dim
vXXdOQ 2))(,(4
2))(,(432 XXdnmx
vnmOP )3(
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa tutti i punti
P
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Dimostrazione - fissa tutti i punti
P
r
s
L M
N
Una per tutte – Seminario di Matematica – Cristoferi Riccardo
Conclusione