Ministero dell’IstruzioneScuola Statale Secondaria di Primo Grado

“Tommaso Fiore” di BariSezione Ospedaliera

Scuola in Ospedale - Didattica a Distanza

Approfondimento di Matematica:

LE APPLICAZIONI DELLE PROPORZIONI

Docente

Prof.ssa Elena Dilonardo

L’UGUAGLIANZA DI DUE RAPPORTI

I TERMINI DELLA PROPORZIONE

La proporzione è l’uguaglianza di due rapporti.

Esempio:

16 : 2 = 24 : 3

Infatti 16 : 2 = 8 e 24 : 3 = 8Si dice che 16 sta a 2 come 24 sta a 3 .

I numeri che costituiscono la proporzione sono detti termini della proporzione. 16 : 2 = 24 : 3

estremi

mediUna proporzione in cui i due medi sono uguali si dice continua.

Esempio di proporzione continua:

24: 12 = 12 : 6

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Prof.ssa E. Dilonardo

LA CATENA DI RAPPORTI UGUALI

L‘uguaglianza di tre o più rapporti è denominata catena, o serie di rapporti uguali.

Esempio di una catena di rapporti uguali, tutti i rapporti che compongono la serie hanno lo stesso valore:

35: 5 = 42 : 6 = 63 : 9 = 84 : 12

antecedenti

conseguenti

Infatti:

35: 5 = 7

42: 6 = 7

63: 9 = 7

84: 12 = 7

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Prof.ssa E. Dilonardo

L’UGUAGLIANZA DI DUE RAPPORTI PROPRIETA’ FONDAMENTALE, DELL’INVERTIRE, DEL PERMUTARE

Proprietà fondamentale

In ogni proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.

a : b = c : d b ∙ c = a ∙ d

Proprietà dell’invertire

In ogni proporzione, se si scambiano i medi coni rispettivi estremi, si ottiene ancora una proporzione.

a : b = c : d b : a = d : c Proprietà del permutare

In ogni proporzione, se si scambiano tra loro

a : b = c : d a : c = b : di medi:

o gli estremi: a : b = c : d d : b = c : a

o entrambi: a : b = c : d d : c = b : a

si ottiene ancora una proporzione.

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Prof.ssa E. Dilonardo

PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI PROPRIETA’ DEL COMPORRE E DELLO SCOMPORRE

Proprietà del comporre

In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo termine come la somma degli altri due sta al terzo:

a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c

e la somma dei primi due termini sta al secondo termine come la somma degli altri due sta al quarto:

a : b = c : d (a + b) : b = (c + d) : d

Proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti

In ogni proporzione, la somma dei degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta alproprio conseguente:

a : b = c : d

(a + c) : (b+ d) = a : b

(a + c) : (b+ d) = c : d

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Prof.ssa E. Dilonardo

Proprietà dello scomporre

In una proporzione, se a > b ( e quindi c > d), la differenza tra i primi due termini sta al primo (o secondo) termine come ladifferenza tra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto):

a : b = c : d

(a - b) : a= (c - d) : c

(a - b) : b= (c - d) : d

Proprietà dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti

In una proporzione, se a > c ( e quindi b > d), la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogniantecedente sta al proprio conseguente:

a : b = c : d

(a - c) : (b - d) = a : b

(a - c) : (b - d) = c : d

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Prof.ssa E. Dilonardo

APPLICAZIONE DELLE PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI PER TROVARE I TERMINI INCOGNITI

In una proporzione può essere incognito uno dei termini, detto termine incognito e solitamente indicato con la lettera x.

Esempio:

30 : 5 = x : 2 8 : 4 = 14 : x 81 : x = x : 9

Per risolvere una proporzione che contiene un termine incognito bisogna trovare il numero che sostituito a x verifical’uguaglianza.Si applicano. secondo i casi, le proprietà delle proporzioni.

Esempio. Applicazione della proprietà fondamentale delle proporzioni:

30 : 5 = x : 2 5∙ x = 30 ∙ 2 prodotto dei medi = prodotto degli estremi

5 ∙ x = 60 x = 60 : 5 x = 12

Sostituendo a x il valore trovato, la proporzione cercata è: 30 : 5 = 12 : 2

infatti 30 : 5 = 6 e 12 : 2 = 6

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Prof.ssa E. Dilonardo

In generale, si applica la proprietà fondamentale delle proporzioni per trovare il termine incognito x quando esso è:

un medio, come nell’esempio precedente;

un estremo:

8 : 4 = 14 : x 8 ∙ x = 14 ∙ 4 x =14 ∙ 4

8= 7

per cui: 8 : 4 = 14 : 7

il medio proporzionale in una proporzione continua:

27 : x = x : 3 x2 = 27 ∙ 3 x ∙ x = 27 ∙ 3 x2 = 81 x = 81 x = 9

per cui:

27 : 9 = 9 : 3

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Prof.ssa E. Dilonardo

Si applicano la proprietà del comporre e proprietà dello scomporre per trovare:

un termine incognito x presente due volte nella proporzione;

ad esempio:(52 – x) : x = 60 : 5

Applicando le proprietà del comporre, cioè (a + b) : b = (c + d) : d, si semplifica eliminando l’incognita nel primo termine:

(52 – x + x) : x = (60 + 5) : 5 52 : x = 65: 5

A questo punto si può applicare la proprietà fondamentale, come negli esempi visti in precedenza:

65 ∙ x = 52 ∙ 5 prodotto dei medi = prodotto degli estremi

65 ∙ x = 260 x = 260 : 65 x = 4

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due termini incogniti x e y di cui si conosca la somma o la differenza;

ad esempio:

x : y = 30 : 5

sapendo che x + y = 42

Applicando le proprietà del comporre, cioè (a + b) : a = (c + d) : c , troviamo prima il valore di x :

(x + y) : x = (30 + 5) : 30 42 : x = 35 : 30

sapendo che x + y = 42A questo punto si può applicare la proprietà fondamentale, come negli esempi visti in precedenza:

35 ∙ x = 42 ∙ 30 prodotto dei medi = prodotto degli estremi

35 ∙ x = 1260 x = 1260 : 35 x = 36

e per differenza :y = 42 – x = 42 – 36 = 6

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APPLICAZIONE DELLE PROPORZIONI

Si conoscono tre valori di due grandezze direttamente proporzionali e si vuole trovare un quarto valore.

Esempio 1.2 mattoni hanno una massa di 3 kg. Qual è la massa di 7 mattoni?

Ci sono due grandezze direttamente proporzionali (il numero di mattoni e la massa) e tre valori noti:

Si imposta una proporzione:

∙Quindi, 7 mattoni hanno una massa di 10,5 kg.

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Prof.ssa E. Dilonardo

2 muratori spostano 300 mattoni in 20 minuti. Quanto tempo impiegherebbero 5 muratori a spostarne 450? In questo caso, le grandezze sono tre:● numero di muratori;● numero di mattoni;● minuti impiegati.Occorre scomporre il problema in due parti:

Esempio 2.

Ci sono due situazioni:

situazione iniziale cambiamento

a) Se 2 muratori spostano 300 mattoni in 20 minuti, in quanto tempo li spostano 5 muratori?Impostiamo la proporzione :

b) Se 5 muratori spostano 300 mattoni in 8 minuti, in quanto tempo spostano 450 mattoni?

450 : 300 = 𝑥 : 8 x = 450³ × 8⁴

300₂= 12 minuti

₁

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Problemi di ripartizione semplice diretta

Si richiede di distribuire un numero di elementi in parti non uguali, secondo un rapporto di proporzionalitàdiretta.

Esempio:Un padre decide di ripartire 576 euro tra i tre figli, in modo direttamente proporzionale alle loro età (5, 8 e 11 anni).

Scriviamo la proporzione:

In modo analogo per le altre età:

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Prof.ssa E. Dilonardo

Problemi di ripartizione semplice inversa

Si richiede di distribuire un numero di elementi in parti non uguali, secondo un rapporto di proporzionalità inversa.

Esempio:

Luca distribuisce 141 crocchette a 3 gatti in quantità inversamente proporzionale al loro peso (3 kg, 4 kg, e 5 kg): i

più magri ne avranno di più, i più grassi ne avranno meno.

Scriviamo la proporzione:

In modo analogo per gli altri gatti:

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6Le percentuali sono particolari rapporti che hanno 100 come 2° termine. Si indicano con il simbolo % (per cento):

𝟐𝟓

𝟏𝟎𝟎è una percentuale. Si può scrivere anche 25%.

Esempio:Uno zaino costa 64 euro ma è scontato del 25%. Per sapere quanto risparmio c’è, si imposta una proporzione:

25 : 100 = 𝑥 : 64 𝑥 =64 ∙ 25

100= 16

Quindi, il costo finale sarà: € (64 – 16) = € 48Con uno sconto del 25% lo zainetto costa € 48.

La percentuale

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Prof.ssa E. Dilonardo