LE PROPORZIONI - … di 3 classi (prendiamo in considerazione gli alunni che hanno preso 10) In 2E:...

LE PROPORZIONI

Stefania Sciuto

numeri&molecole.wordpress.com

PROPORZIONE

=

UGUAGLIANZA TRA

DUE RAPPORTI

10

6

5

3


10

6

5

3

3 : 5 = 6 : 103 sta a 5 come 6 sta a 10


TERMINI DELLE PROPORZIONI

3 : 5 = 6 : 10

ANTECEDENTI

CONSEGUENTI


TERMINI DELLE PROPORZIONI

3 : 5 = 6 : 10ESTREMI

MEDI


PROPRIETA’ DELLE

PROPORZIONI


PROPRIETA’ FONDAMENTALE

IL PRODOTTO DEI MEDI

E’ UGUALE AL

PRODOTTO DEGLI ESTREMI

3 : 5 = 6 : 10

5 x 6 = 3 x 10

30 = 30numeri&molecole.wordpress.com

TUTTE LE PROPORZIONI POSSIEDONO LA PROPRIETA' FONDAMENTALE

SE IL PRODOTTO DEI MEDINON E' UGUALE AL

PRODOTTO DEGLI ESTREMINON ESISTE LA PROPORZIONE



Proprietà dell’invertire

3 : 5 = 6 : 10

Scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione

5 : 3 = 10 : 6numeri&molecole.wordpress.com

Proprietà del permutareScambiando tra loro i medi oppure fra loro gli estremi

la proporzione resta valida

3 : 5 = 6 : 10

10 : 6 = 5 : 3

10 : 5 = 6 : 33 : 6 = 5 : 10


SE UNO DEI TERMINI

DELLE PROPORZIONI

E' INCOGNITO?


Ad esempio non conosco il valore di un estremo


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LE PERCENTUALISu un totale di elementi la percentuale indica quante unità,

rispetto a 100, soddisfano una certa condizione.

In pratica sono FRAZIONI che hanno denominatore uguale

a 100.

100

25

In genere vengono scritte utilizzando il simbolo dipercentuale %

%25


Ad esempio


6 alunni della 2 E (composta da 24 alunni) hanno preso 10 prova INVALSI

La frazione che rappresenta questo dato è la seguente:

Se voglio conoscere la percentuale corrispondente devo calcolare quante

unità, rispetto a 100, soddisfano questa condizione:

In questo caso è facile trovare il valore incognito:

24

6

Ad esempio

24

6

100

?

24

6%25

100

25


Le percentuali sono utilizzate in tantissimo campi e, soprattutto sono utili

quando si devono confrontare dei valori

Ad esempioRiprendendo l’esempio precedente, vogliamo confrontare i risultati della prova

INVALSI di 3 classi (prendiamo in considerazione gli alunni che hanno preso 10)

In 2E: 6 alunni

In 2A°: 7 alunni

In 2B: 8 alunni

Dal dato assoluto potremmo indicare la 2 B come classe col maggiore successo

formativo…vediamo cosa accade se prendiamo in considerazione il dato relativo:


Per poter fare un confronto devo tener conto del totale degli alunni per

classe, quindi:

Alunni con voto 10 in 2E: 6/24

Alunni con voto 10 in 2A: 7/35

Alunni con voto 10 in 2B: 8/32

Calcoliamo la percentuale

Vediamo subito che la percentuale di alunni con voto 10 in 2E e in 2B è la

stessa

24

6%25

100

25 %20

100

20

35

7 %25

100

32

32

8


Se abbiamo capito che:

cioè che siamo di fronte a 2 rapporti uguali, possiamo scrivere questa uguaglianza sotto forma di proporzione:

6 : 24 = 25 : 100

(possiamo applicare la proprietà fondamentale per assicurarci che si tratti una proporzione⇨ 6x100=24x25)

Generalizzando, possiamo scrivere:

N : T = P : 100 Dove

• N è la quantità corrispondente alla percentuale• T è il totale• P è la percentuale

24

6

100

25


a) Calcolare la percentuale conoscendo il totale e la quantità

Esempio:

Su 150 impiegati 45 sono donne. Qual è la percentuale

delle donne?

Proporzione risolutiva 45 : 150 = x : 100

30%

150

10045x

Problemicon le percentuali


b) Calcolare la quantità corrispondente alla percentualeconoscendo il totale e la percentuale.

Esempio:

Calcolare il 15% di 1200 euro.

Proporzione risolutiva x: 1200 = 15 : 100

180 euro

100

120015x


c) Calcolare il totale conoscendo la quantità corrispondente alla percentuale e la percentuale.

Esempio:

Gli studenti dell’IC BOSSI che prendono l’autobus sono 40 e

corrispondono al 5% del totale degli alunni.

Quanti sono gli alunni della scuola?

Proporzione risolutiva 40: x = 5 : 100

800

5

10040x


PROPORZIONALITA’


Per facilitare l’impostazione della

proporzione si inseriscono i dati, in ordine,

in una tabella

Proporzionalità diretta

Si tratta di un problema diretto perché se AUMENTANO le persone deveAUMENTARE la quantità di zucchero

Per fare una torta per 5 persone servono 250 grammi di zucchero, quanto zucchero è necessario per fare una torta per 8 persone?

zucchero nr di persone

250 5

x 8Le frecce hanno lo stesso verso perché al

CRESCERE di un dato CRESCE anche l’altro.

Quando imposto la proporzione seguo il verso

delle frecce

250: x = 5 : 8

grx 4005

8250


Per facilitare l’impostazione della

proporzione si inseriscono i dati, in ordine,

in una tabella

Si tratta di un problema inverso perché se AUMENTANO i muratori deveDIMINUISCE il tempo impiegato per svolgere il lavoro

Per erigere un muretto 2 muratori impiegano 6 giorni, quanto tempo impiegheranno 4 muratori?

nr di muratori giorni

2 6

4 xLe frecce non hanno lo stesso verso perché al

CRESCERE di un dato l’altro DECRESCE

Quando imposto la proporzione seguo il verso

delle frecce

2: 4 = x : 6

34

62

x

Proporzionalità inversa

giorni


Proprietà del comporre

3 : 5 = 6 : 10

(3 + 5) : 3 = (6 + 10) : 6

(3 + 5) : 5 = (6 + 10) : 10


applicazionix : y = 5 : 2 TROVA LE DUE INCONGNITE SAPENDO CHE x + y = 14

- applico la proprietà del comporre (x + y) : x = (5 + 2) : 5

- ottengo una proporzione con una sola incognita 14 : x = 7 : 5

- risolvo

y = 14 – 10 = 4

107

514

x


Esempio:Il rapporto tra le dimensioni di un rettangolo è 3 : 5 e la loro somma è 80 cm. Quanto misurano le due dimensioni?

problemi

dati:AB + BC = 80 cmAB : BC = 3 : 5AB = ?BC = ?A

D C

B

Poiché ho la somma AB+BC, applico la proprietà del comporre:

AB : BC = 3 : 5

(AB+BC):AB = (3+5):3

80: AB = 8:3

cmAB 308

380

Se AB = 30 cm

BC = 80 – 30 = 50 cm


Proprietà dello scomporre

8 : 4 = 14 : 7

(8 - 4) : 8 = (14 - 7) : 14

(8 - 4) : 4 = (14 - 7) : 7


applicazionix : y = 11 : 9 TROVA LE DUE INCONGNITE SAPENDO CHE x - y = 8

- applico la proprietà dello scomporre (x - y) : x = (11-9) : 11

- ottengo una proporzione con una sola incognita 8 : x = 2 : 11

- risolvo

y = 44 – 8 = 36

442

118

x


problemiEsempio:Le diagonali di un rombo sono una i dell’altra e la loro differenza è 28 cm. Quanto è lunga ogni diagonale?

3

7

dati:AC - BD = 28cmAC : BD = 7 : 3AC = ?BD = ?

A

D

C

B

Poiché ho la DIFFERENZA AC - BD , applico la proprietà dello scomporre:

AC : BD = 7 : 3

(AC-BD):AC = (7-3):7

28 : AC = 4 :7

cmAC 494

728

Se AC = 49cm

BD = 49 – 28 = 21 cm


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