Scuola in Ospedale - Didattica a Distanza Approfondimento ... · Si applicano. secondo i casi, le...
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Ministero dell’IstruzioneScuola Statale Secondaria di Primo Grado
“Tommaso Fiore” di BariSezione Ospedaliera
Scuola in Ospedale - Didattica a Distanza
Approfondimento di Matematica:
LE APPLICAZIONI DELLE PROPORZIONI
Docente
Prof.ssa Elena Dilonardo
L’UGUAGLIANZA DI DUE RAPPORTI
I TERMINI DELLA PROPORZIONE
La proporzione è l’uguaglianza di due rapporti.
Esempio:
16 : 2 = 24 : 3
Infatti 16 : 2 = 8 e 24 : 3 = 8Si dice che 16 sta a 2 come 24 sta a 3 .
I numeri che costituiscono la proporzione sono detti termini della proporzione. 16 : 2 = 24 : 3
estremi
mediUna proporzione in cui i due medi sono uguali si dice continua.
Esempio di proporzione continua:
24: 12 = 12 : 6
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LA CATENA DI RAPPORTI UGUALI
L‘uguaglianza di tre o più rapporti è denominata catena, o serie di rapporti uguali.
Esempio di una catena di rapporti uguali, tutti i rapporti che compongono la serie hanno lo stesso valore:
35: 5 = 42 : 6 = 63 : 9 = 84 : 12
antecedenti
conseguenti
Infatti:
35: 5 = 7
42: 6 = 7
63: 9 = 7
84: 12 = 7
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L’UGUAGLIANZA DI DUE RAPPORTI PROPRIETA’ FONDAMENTALE, DELL’INVERTIRE, DEL PERMUTARE
Proprietà fondamentale
In ogni proporzione, il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
a : b = c : d b ∙ c = a ∙ d
Proprietà dell’invertire
In ogni proporzione, se si scambiano i medi coni rispettivi estremi, si ottiene ancora una proporzione.
a : b = c : d b : a = d : c Proprietà del permutare
In ogni proporzione, se si scambiano tra loro
a : b = c : d a : c = b : di medi:
o gli estremi: a : b = c : d d : b = c : a
o entrambi: a : b = c : d d : c = b : a
si ottiene ancora una proporzione.
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PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI PROPRIETA’ DEL COMPORRE E DELLO SCOMPORRE
Proprietà del comporre
In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo termine come la somma degli altri due sta al terzo:
a : b = c : d (a + b) : a = (c + d) : c
e la somma dei primi due termini sta al secondo termine come la somma degli altri due sta al quarto:
a : b = c : d (a + b) : b = (c + d) : d
Proprietà del comporre degli antecedenti e dei conseguenti
In ogni proporzione, la somma dei degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta alproprio conseguente:
a : b = c : d
(a + c) : (b+ d) = a : b
(a + c) : (b+ d) = c : d
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Proprietà dello scomporre
In una proporzione, se a > b ( e quindi c > d), la differenza tra i primi due termini sta al primo (o secondo) termine come ladifferenza tra il terzo e il quarto sta al terzo (o al quarto):
a : b = c : d
(a - b) : a= (c - d) : c
(a - b) : b= (c - d) : d
Proprietà dello scomporre degli antecedenti e dei conseguenti
In una proporzione, se a > c ( e quindi b > d), la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogniantecedente sta al proprio conseguente:
a : b = c : d
(a - c) : (b - d) = a : b
(a - c) : (b - d) = c : d
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APPLICAZIONE DELLE PROPRIETA’ DELLE PROPORZIONI PER TROVARE I TERMINI INCOGNITI
In una proporzione può essere incognito uno dei termini, detto termine incognito e solitamente indicato con la lettera x.
Esempio:
30 : 5 = x : 2 8 : 4 = 14 : x 81 : x = x : 9
Per risolvere una proporzione che contiene un termine incognito bisogna trovare il numero che sostituito a x verifical’uguaglianza.Si applicano. secondo i casi, le proprietà delle proporzioni.
Esempio. Applicazione della proprietà fondamentale delle proporzioni:
30 : 5 = x : 2 5∙ x = 30 ∙ 2 prodotto dei medi = prodotto degli estremi
5 ∙ x = 60 x = 60 : 5 x = 12
Sostituendo a x il valore trovato, la proporzione cercata è: 30 : 5 = 12 : 2
infatti 30 : 5 = 6 e 12 : 2 = 6
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In generale, si applica la proprietà fondamentale delle proporzioni per trovare il termine incognito x quando esso è:
un medio, come nell’esempio precedente;
un estremo:
8 : 4 = 14 : x 8 ∙ x = 14 ∙ 4 x =14 ∙ 4
8= 7
per cui: 8 : 4 = 14 : 7
il medio proporzionale in una proporzione continua:
27 : x = x : 3 x2 = 27 ∙ 3 x ∙ x = 27 ∙ 3 x2 = 81 x = 81 x = 9
per cui:
27 : 9 = 9 : 3
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Si applicano la proprietà del comporre e proprietà dello scomporre per trovare:
un termine incognito x presente due volte nella proporzione;
ad esempio:(52 – x) : x = 60 : 5
Applicando le proprietà del comporre, cioè (a + b) : b = (c + d) : d, si semplifica eliminando l’incognita nel primo termine:
(52 – x + x) : x = (60 + 5) : 5 52 : x = 65: 5
A questo punto si può applicare la proprietà fondamentale, come negli esempi visti in precedenza:
65 ∙ x = 52 ∙ 5 prodotto dei medi = prodotto degli estremi
65 ∙ x = 260 x = 260 : 65 x = 4
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due termini incogniti x e y di cui si conosca la somma o la differenza;
ad esempio:
x : y = 30 : 5
sapendo che x + y = 42
Applicando le proprietà del comporre, cioè (a + b) : a = (c + d) : c , troviamo prima il valore di x :
(x + y) : x = (30 + 5) : 30 42 : x = 35 : 30
sapendo che x + y = 42A questo punto si può applicare la proprietà fondamentale, come negli esempi visti in precedenza:
35 ∙ x = 42 ∙ 30 prodotto dei medi = prodotto degli estremi
35 ∙ x = 1260 x = 1260 : 35 x = 36
e per differenza :y = 42 – x = 42 – 36 = 6
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APPLICAZIONE DELLE PROPORZIONI
Si conoscono tre valori di due grandezze direttamente proporzionali e si vuole trovare un quarto valore.
Esempio 1.2 mattoni hanno una massa di 3 kg. Qual è la massa di 7 mattoni?
Ci sono due grandezze direttamente proporzionali (il numero di mattoni e la massa) e tre valori noti:
Si imposta una proporzione:
∙Quindi, 7 mattoni hanno una massa di 10,5 kg.
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2 muratori spostano 300 mattoni in 20 minuti. Quanto tempo impiegherebbero 5 muratori a spostarne 450? In questo caso, le grandezze sono tre:● numero di muratori;● numero di mattoni;● minuti impiegati.Occorre scomporre il problema in due parti:
Esempio 2.
Ci sono due situazioni:
situazione iniziale cambiamento
a) Se 2 muratori spostano 300 mattoni in 20 minuti, in quanto tempo li spostano 5 muratori?Impostiamo la proporzione :
b) Se 5 muratori spostano 300 mattoni in 8 minuti, in quanto tempo spostano 450 mattoni?
450 : 300 = 𝑥 : 8 x = 450³ × 8⁴
300₂= 12 minuti
₁
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Problemi di ripartizione semplice diretta
Si richiede di distribuire un numero di elementi in parti non uguali, secondo un rapporto di proporzionalitàdiretta.
Esempio:Un padre decide di ripartire 576 euro tra i tre figli, in modo direttamente proporzionale alle loro età (5, 8 e 11 anni).
Scriviamo la proporzione:
In modo analogo per le altre età:
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Problemi di ripartizione semplice inversa
Si richiede di distribuire un numero di elementi in parti non uguali, secondo un rapporto di proporzionalità inversa.
Esempio:
Luca distribuisce 141 crocchette a 3 gatti in quantità inversamente proporzionale al loro peso (3 kg, 4 kg, e 5 kg): i
più magri ne avranno di più, i più grassi ne avranno meno.
Scriviamo la proporzione:
In modo analogo per gli altri gatti:
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6Le percentuali sono particolari rapporti che hanno 100 come 2° termine. Si indicano con il simbolo % (per cento):
𝟐𝟓
𝟏𝟎𝟎è una percentuale. Si può scrivere anche 25%.
Esempio:Uno zaino costa 64 euro ma è scontato del 25%. Per sapere quanto risparmio c’è, si imposta una proporzione:
25 : 100 = 𝑥 : 64 𝑥 =64 ∙ 25
100= 16
Quindi, il costo finale sarà: € (64 – 16) = € 48Con uno sconto del 25% lo zainetto costa € 48.
La percentuale
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