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R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 1
L21Accettare la casualità
Rodolfo Soncini Sessa
MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 2
Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. S02):
1. infinite alternative
2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi
3. decisioni ricorsive
Esaminiamo dapprima il caso più semplice:
ipotesi A. i disturbi sono deterministici
ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie
Problema di pura pianificazione
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 3
Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15):
1. infinite alternative
2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi
3. decisioni ricorsive
Esaminiamo dapprima il caso più semplice:
ipotesi A. i disturbi sono deterministici
ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie
Problema di pura pianificazione
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 4
Il Problema di ProgettoAnche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15):
1. infinite alternative
2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi
3. decisioni ricorsive
Esaminiamo dapprima il caso più semplice:
ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie
Problema di pura pianificazione in presenza di casualità
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 5
Il Problema di pianificazione
xt+1 = ft xt,u
p,wt( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
w0h−1 scenario dato
x0 dato
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*) =min
upi(x0
h,up,w0h−1,ε0
h−1)
xt+1 = ft xt,u
p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
εt+1 : φt ⋅up( )
gt+1 =gt+1 xt,up,wt,εt+1( )
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*) =min
upi(x0
h,up,w0h−1,ε1
h)
l’indicatore è casuale:
che fare?
Il Problema di pianificazione in presenza di casualità
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 6
Tabella delle decisioni
Valore indicatore
Stati di natura (realizzazioni del
disturbo) ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
R. Soncini Sessa, MODSS, 20047
1. E’ noto lo stato di natura εj che si realizzerà.
Teoria delle decisioniInformazione disponibile Decisione in condizione di
1. E’ noto lo stato di natura εj che si realizzerà.
certezza
rischio
3. E’ noto (descrizione set-membership) incertezza
2. E’ noto j. (descrizione stocastica) φ(ε j )
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 8
Decisioni in condizioni di certezza
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternativa
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Tabella di decisione
Nota la realizzazione j si sceglie l’alternativa A* tale che
* arg max iji
A i
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 9
Decisioni in condizioni di certezza: esempio
In condizioni di certezza opterò sicuramente per l’alternativa A2 cherende 1500 €.
Valore indicatore
Stati di natura ε1
Decisioni
A1 1490
A2 1500
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 10
Teoria delle decisioniDecisione in condizione diInformazione
disponibile1. E’ noto lo stato di natura εj
che si realizzerà certezza
rischio
3. Nessuna completa incertezza
2. E’ noto j (descrizione stocastica) φ(ε j )2. E’ noto j (descrizione stocastica)
( )j ε
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 11
Decisioni in condizioni di rischio
A* = argmax
iEε j
[iij ] =argmaxi
φ(ε j )⋅iijj=1
3
∑maxi
[ ]ijj
E i
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Probabilità di accadimento 1/3 1/3 1/3
Ej [iij]
33.3
31.6
25.0
26.6
φ(ε j )
Criterio di Laplace: scegliere l’alternativa A* tale che
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 12
Avversione al rischio
Il criterio di Laplace suggerisce di scegliere l’alternativa A2.
Voi cosa scegliereste?
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2
Alternative A1 1490 1490
A2 0 7500
Probabilità di accadimento εj) 0,8 0,2
Ej[iij]
1490
1500
La decisione dipende dall’avversione al rischio dell’individuo, la quale può essere quantitativamente identificata
attraverso una funzione di utilità U(z) che si stima con una lotteria.
La decisione dipende dall’avversione al rischio dell’individuo, la quale può essere quantitativamente identificata
attraverso una funzione di utilità U(z) che si stima con una lotteria.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 13
Stima della funzione di Utilità
1.00
50
0.00
0
0.50
25
0.20
103 17
50
01-
i
0.00
0.00
i
U Avversione al rischio
0.90 45 43
0.80 40 37
0.70 35 33
0.60 30 23
0.40 20 11
0.30 15 8
0.10 5 1
0Neutralità
501.00 50
250.50 17
100.20 3
0 00.00
ineutro
iavverso
u(i)=
Avversione al rischio 0i
1.00
1.00
Neutralità 50Avversione al rischio 50i
0.50
0.50
Neutralità 25Avversione al rischio 17i
0.20
0.20
10NeutralitàAvversione al rischio 3i
casomigliore
casopeggiore
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 14
Valore indicatoreStati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
Decisioni in condizioni di rischioUso della funzione di utilità
i
50
45
45
0.94
0.94
1.00
50
1.00U
1.00
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 15
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
Decisioni in condizioni di rischioUso della funzione di utilità
i
50
45
U
1.00
0.94
A* =argmax
iEε j
[U (iij )]
U(iij)
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 1.00 0.85 0.39
A2 0.79 0.94 0.42
A3 0.68 0.63 0.57
A4 0.85 0.79 0.25
[ ( )]j
ijE U iε
0,746
0,716
0,626
0,63
Criterio di Laplace corretto: scegliere A* tale che
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 16
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
Decisioni in condizioni di rischioUso della funzione di utilità
i
50
45
U
1.00
0.94
A* =argmax
iEε j
[U (iij )]
U(iij)
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 1.00 0.85 0.39
A2 0.79 0.94 0.42
A3 0.68 0.63 0.57
A4 0.85 0.79 0.25
[ ( )]j
ijE U iε
0,746
0,716
0,626
0,63
Criterio di Laplace corretto: scegliere A* tale che
Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U(•) e quindi la soluzione.
Avversione al rischio
U(iij)
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 1.00 0.93 0.45
A2 0.91 0.97 0.52
A3 0.85 0.77 0.65
A4 0.93 0.91 0.43
[ ( )]j
ijE U iε
0.793
0.8
0.756
0.756
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 17
Prestazione Zij
Stati di natura (scenari) w1 w2 w3
Decisioni
(Alternativepolitiche)
x1 50 40 10
x2 35 45 15
x3 30 25 20
x4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
Decisioni in condizioni di rischioUso della funzione di utilità
i
U
Avversione al rischio
U(iij)
Stati di natura (scenari) ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 1.00 0.93 0.45
A2 0.91 0.97 0.52
A3 0.85 0.77 0.65
A4 0.93 0.91 0.43
[ ( )]j
ijE U iε
0.793
0.8
0.756
0.756
U(iij)
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 1.00 0.96 0.47
A2 0.94 0.98 0.56
A3 0.91 0.88 0.70
A4 0.96 0.94 0.46
0.81
0.826
0.83
0.786
[ ( )]j
ijE U iε
Variando l’avversione al rischio varia l’utilità U(•) e quindi la soluzione.
Criterio di Laplace corretto: scegliere A* tale che
A* =argmax
iEε j
[U (iij )]
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 18
Prestazione Zij
Stati di natura (scenari) w1 w2 w3
Decisioni
(Alternativepolitiche)
x1 50 40 10
x2 35 45 15
x3 30 25 20
x4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
U(iij)
Stati di natura (scenari) ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 1.00 0.96 0.47
A2 0.94 0.98 0.56
A3 0.91 0.88 0.70
A4 0.96 0.94 0.46
0.81
0.826
0.83
0.786
[ ( )]j
ijE U iε
Avversione al rischio e Laplace
i
U
Avversione al rischio
e se il Decisore è NEUTRO al rischio?
Laplace è un caso limite dell’avversione al rischio: la neutralità: la funzione di utilità è l’identità.
U(iij)
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Decisioni
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
[ ]j
ijE iε
33.3
31.6
25
26.6
A* =argmax
iEε j
[U (iij )]
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 19
Decisioni in condizioni di rischioUso della funzione di utilità
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
i
U
Avversione al rischio
DEBOLE AVVERSIONE
NEUTRALITA’
MEDIA AVVERSIONEELEVATA AVVERSIONE
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 20
Teoria delle decisioniInformazione disponibile Decisione in condizione di
certezza
rischio
3. Nessuna completa incertezza3. Nessuna
Conosciamo l’insieme degli stati di natura, ma non la probabilità del loro accadimento.
2. E’ noto j (descrizione stocastica) φ(ε j )
1. E’ noto lo stato di natura εj che si realizzerà
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 21
Decisioni in condizioni di completa incertezza: Wald
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Tabella di decisione
Criterio di Wald: scegliere A* tale che
min(iij)
10
15
20
5
A* =argmax
imin
jiiji
max min ijj
i
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 22
Prestazione Zij
Stati di natura (scenari) w1 w2 w3
Decisioni
(Alternativepolitiche)
x1 50 40 10
x2 35 45 15
x3 30 25 20
x4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
Avversione al rischio e Wald
i
U
max
iEε j
[U (iij )]Ai:
Avversione al rischio
A*=arg max
imin
jiij
Avversioni molto forti
corrispondono a Wald.
U(iij)
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 1.00 0.96 0.47
A2 0.94 0.98 0.56
A3 0.91 0.88 0.70
A4 0.96 0.94 0.46
0.81
0.826
0.83
0.786
[ ( )]j
ijE U iε
Valore indicatoreStati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
min(iij)
10
15
20
5
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 23
Decisioni in condizioni di rischioUso della funzione di utilità
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
i
U
Avversione al rischio
DEBOLE AVVERSIONE
NEUTRALITA’
MEDIA AVVERSIONEELEVATA AVVERSIONE
WALD
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 24
Decisioni in condizioni di completa incertezza: Savage
ε1 ε2 ε3
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Criterio di Savage: scegliere A* tale che(minimo rincrescimento)
maxj(Rij)
10
15
20
15
A* =arg min
imax
jRiji
min
ε1 ε2 ε3
A1 0 5 10
A2 15 0 5
A3 20 20 0
A4 10 10 15
R
ij=(max
iiij )−iijcon
Rij
ijj
Rmax
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 25
Valore indicatore
Stati di natura ε1 ε2 ε3
Alternative
A1 50 40 10
A2 35 45 15
A3 30 25 20
A4 40 35 5
Probabilità di accadimento (εj) 1/3 1/3 1/3
i
U
Avversione al rischio
DEBOLE AVVERSIONE
NEUTRALITA’
MEDIA AVVERSIONEELEVATA AVVERSIONE
WALD
Savage
SAVAGE
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 26
Pianificazione in presenza di casualità(formulazione con Utilità)
xt+1 = ft xt,u
p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1
w0h−1 scenario dato
x0 dato
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*) =max
upE
εt{ }t=1,...,h
U i(x0h,up,w0
h−1,ε1h)⎡
⎣⎤⎦
⎡⎣
⎤⎦
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 27
Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri)
xt+1 = ft xt,u
p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1
w0h−1 scenario dato
x0 dato
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*) =min
upCritεt{ }t=1,...,h
i(x0h,up,w0
h−1,ε1h)⎡
⎣⎤⎦
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 28
Pianificazione in presenza di casualità (formulazione con Criteri)
xt+1 = ft xt,u
p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1
w0h−1 scenario dato
x0 dato
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*) =min
upCritεt{ }t=1,...,h
i(x0h,up,w0
h−1,ε1h)⎡
⎣⎤⎦
Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore.
I criteri più usati sono:
• Il valore atteso (E) criterio di LaplaceSi adotta quando il decisore è neutro al rischio.
• Il massimo (max) criterio di WaldSi adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio.
I due criteri possono anche essere usati in cascata.
Il criterio di progetto traduce l’ “avversione al rischio” del decisore.
I criteri più usati sono:
• Il valore atteso (E) criterio di LaplaceSi adotta quando il decisore è neutro al rischio.
• Il massimo (max) criterio di WaldSi adotta quando il decisore è fortemente avverso al rischio.
I due criteri possono anche essere usati in cascata.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 29
Definizione di obiettivo
Un Obiettivo è definito daun Criterio applicato ad un Indicatore,
di cui si specifica il verso di ottimizzazione.
Un Obiettivo è definito daun Criterio applicato ad un Indicatore,
di cui si specifica il verso di ottimizzazione.
.1,2,
minimizzare ( ) p
t t
Crit i
ε
u
.
*
1,2,
min
valore ottimo dell'obiettiv
( )
o
p
p
t t
J Crit i
uε
u
*
notazione semplificata
min ( )p
pJ Crit i u εu
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 30
Il Problema di progetto in presenza di casualità (formulazione tramite criteri)
xt+1 = ft xt,u
p,wt,εt+1( ) t=0,...,h-1
up ∈U p
εt+1 : φt ⋅up( ) t=0,...,h-1
w0h−1 scenario dato
x0 dato
eventuali altri vincoli t=0,...,h-1
J (u p*) =min
upCritεt{ }t=1,...,h
i(x0h,up,w0
h−1,ε1h)⎡
⎣⎤⎦
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 31
Eventuali altri vincoli
Il vincolo è ancora ben posto?
E’ cioè tale che il Problema ammetta sempre soluzione?
*
Il vincolo
permette di escludere che si verifichino
esondazioni nell'ori
zzonte di progetto.
Esempio
ts s t
Invaso in corrispondenza del quale inizia l’esondazione.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 32
Se, ad esempio, il disturbo ha distribuzione gaussiana
esiste sempre la probabilità che l’invaso del serbatoio sia superiore a qualsiasi s* prefissato
il problema di controllo non ammette soluzioni
s*
Distribuzioni illimitate
Vincolo mal posto
ε
s
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 33
Trasformare il vincoloin “vincolo in probabilità”
Aggiungendo eventualmente un nuovo obiettivo
Problema di “affidabilità del sistema”.
Pr ( st < s* ) >
maxJ
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 34
Trasformare il vincolo in un obiettivo
*0 se
1 altrimentit
t
s sg
min tJ E g
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 35
Distribuzioni limitate
Se il disturbo è incerto con insieme di appartenenza t superiormente limitato
Infatti non è a priori detto che tale vincolo comporti la mancanza di soluzioni per il Problema.
il vincolo
st < s*
è ben posto
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 36
Vincoli deterministici imposti su variabili stocastiche
Il vincolo può essere ben posto quando in entrambi i membri della disuguaglianza compaiono le medesime variabili
stocastiche.
Es: Il vincolo
è soddisfatto per costruzione.
ut
V v
st
rt+1
RRt(st,ut,εt+1) V(st,εt+1)≤
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 37
Perché i disturbi devono essere bianchi?
i(x0h−1,up,ε1
h) ⋅φε1 ...εh
∫ (ε1...εh) ⋅dε1...dεh
εt sono indipendenti:
processo bianco
distribuzione di probabilità congiunta
La distribuzione di probabilità congiuntaè uguale al prodotto delle distribuzioni marginali.
φ(ε1...εh) = φτ (ετ )
τ=1
h
∏
Consideriamo il caso senza penale e senza disturbi deterministici per semplificare la notazione. La generalizzazione è facile.
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 38
Perché i disturbi devono essere bianchi?
εt sono indipendenti:
processo bianco
La distribuzione di probabilità congiuntaè uguale al prodotto delle distribuzioni marginali.
φ(ε1...εh) = φτ (ετ )
τ=1
h
∏
i(x0h−1,up,ε1
h)ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1
h
∏ ⋅dε1...dεh =
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 39
i(x0h−1,up,ε1
h)ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1
h
∏ ⋅dε1...dεh =
gt(x
t,u p ,εt+1)
t=0
h−1
∑ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1
h
∏ ⋅dε1...dεh
g
t(x
t,u p ,εt+1)
ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1
h
∏ ⋅dε1...dεht=0
h−1
∑
i è separabile
i(x
0h−1,up,ε1
h) = gt(xt,up,εt+1)
t=0
h−1
∑
Perché indicatori separabili?
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 40
i(x0h−1,up,ε1
h)ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1
h
∏ ⋅dε1...dεh =
gt(x
t,u p ,εt+1)
t=0
h−1
∑ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1
h
∏ ⋅dε1...dεh
g
t(x
t,u p ,εt+1)
ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1
h
∏ ⋅dε1...dεht=0
h−1
∑
i è separabile
i(x
0h−1,up,ε1
h) = gt(xt,up,εt+1)
t=0
h−1
∑
Perché indicatori separabili?
φτ (ετ )⋅φt+1(εt+1)
τ=1
t
∏ ⋅ φτ (ετ )τ=t+2
h
∏ ⋅dε1...dεh
Le ε successive a t+1 non influenzano gt 1⋅dε1...dεt+1
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 41
i(x0h−1,up,ε1
h)ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1
h
∏ ⋅dε1...dεh =
gt(x
t,u p ,εt+1)
t=0
h−1
∑ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1
h
∏ ⋅dε1...dεh
g
t(x
t,u p ,εt+1)
ε1 ...εt+1
∫ ⋅ φτ (ετ )⋅φt+1(εt+1)τ=1
t
∏t=0
h−1
∑
i è separabile
i(x
0h−1,up,ε1
h) = gt(xt,up,εt+1)
t=0
h−1
∑
Perché indicatori separabili?
π t (xt )
πt :distribuzione di probabilità dello stato
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 42
i(x0h−1,up,ε1
h)ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ=1
h
∏ ⋅dε1...dεh =
gt(x
t,u p ,εt+1)
t=0
h−1
∑ε1 ...εh
∫ ⋅ φτ (ετ )τ =1
h
∏ ⋅dε1...dεh
g
t(x
t,u p ,εt+1)
ε1 ...εt+1
∫ ⋅πt(xt)φt+1(εt+1)t=0
h−1
∑ dxtdεt+1
i è separabile
i(x
0h−1,up,ε1
h) = gt(xt,up,εt+1)
t=0
h−1
∑
Perché indicatori separabili?
Valore atteso rispetto a stato e controllo
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 43
Ricorda!
Eε[i(ε)] =
casodiscreto
i(ε)⋅φ(ε)⋅dε
ε∫
densità di probabilità
i(ε)⋅φ(ε)
ε∑
probabilità
casocontinuo
Il valore atteso è un operatore lineare.
φ(ε)⋅dε
ε∫ =1con
φ(ε) =1
ε∑
con
R. Soncini Sessa, MODSS, 2004 44
Leggere
MODSS Cap. 9