Post on 01-Feb-2020
PUNTI STAZIONARIPUNTI STAZIONARIMASSIMI , MINIMI ,MASSIMI , MINIMI ,
FLESSI A TG ORIZZONTALEFLESSI A TG ORIZZONTALE
- FUNZIONE CRESCENTE- FUNZIONE DECRESCENTE- DEFINIZIONE DI MASSIMO /MINIMO- PUNTI STAZIONARI O ESTREMANTI- STUDIO INTERVALLI DI MONOTONIA
Tutorial di Paola Barberis - aggiornato a marzo 2012
FUNZIONE CRESCENTE in unintervallo I del suo Dominio
se per tutti i punti dell'intervallo:
aumentando l’ascissa x ,aumenta anche l’ordinata y
x1 < x2 f(x1) < f(x2) crescente
x1 x2
f(x1)
f(x2)
x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2)
definizione
Crescente in senso largoo NON decrescente
OSS: se aumentando la x , la y aumenta oppure è costante:
FUNZIONE DECRESCENTE in unintervallo I del suo Dominio
se per tutti i punti dell'intervallo:
aumentando l’ascissa x ,diminuisce l’ordinata y
x1 < x2 f(x1) > f(x2) decrescente
x1 x2
f(x1)
f(x2)
x1 < x2 f(x1) ≥ f(x2)
definizione
Decrescente in senso largoo NON crescente
OSS: se aumentando la x , la y diminuisce oppure è costante:
CONDIZIONE DI CRESCITA / DECRESCITA
se f’(x) > 0 allora la funzione cresce
se f’(x) < 0 allora la funzione decresceSPIEGAZIONE INTUITIVA
La derivata prima y’ rappresenta il coefficiente angolare m
della retta tangente. Pertanto :se la derivata prima e' positiva →
il coeff. angolare m della retta tangente è positivo
→ la retta tangente è crescente → la funzione cresce.
MASSIMO RELATIVO IN XO
SE ESISTE UN INTORNO DI Xo TALE CHEPER OGNI X
LE ORDINATESONO
MINORI O UGUALIALL’ORDINATA
DI XO
f(x) ≤ f(xo)xo
f(xo) MAXf(x)
x
SE f(x) < f(xo) si parla di MASSIMO PROPRIO
definizione
MINIMO RELATIVO IN XOSE ESISTE UN INTORNO DI Xo TALE CHE
PER OGNI X:
LE ORDINATE SONOMAGGIORI O UGUALIALL’ORDINATA di X0
f(x) ≥ f(xo)xo
f(xo)MIN
f(x)
x
Se f(x) > f(xo) si parla di MINIMO PROPRIO
definizione
ASCISSAMASSIMO
ASCISSAMINIMO
ASCISSAFLESSO
ASCENDENTE
ASCISSAFLESSO
DISCENDENTE
X0 X0 X0 X0
MA NON VALE IL VICEVERSA: se y’=0la retta tangente in X0 è orizzontale e non è
detto che ci siano sempre MAX o MINci sono infatti 4 casi possibili chiamati
PUNTI STAZIONARI o ESTREMANTI
CONDIZIONE NECESSARIA Y’=0Condizione necessaria per l’esistenza di un
MASSIMO O MINIMO RELATIVO in x0:DERIVATA PRIMA UGUALE A ZERO: f’(x0)=0
• trovo il Dominio della funzione• calcolo la Derivata prima y’• trovo possibili punti stazionari ponendo: y’=0• Studio il segno della derivata prima ( intervalli di
monotonia ): y’>0 (o y’ ≥ 0 )xo
+ -+-
Ascissa Massimo Ascissa Minimo
+ +xo
Flesso tg orizz ascendente
- -
Flesso tg orizz. discendente
xo
xo
y’ y’
y’ y’
Esercizio : trova i punti stazionari ( o estremanti)REGOLA PRATICA
- Dominio = ]-∞,+∞[- Derivata prima: y’ = -2x+4- Trovo punti estremanti : y’ =0; -2x+4 =0; 2x-4=0; x=2- Studio segno derivata prima (intervalli monotonia ) :
y’>0 ; -2x+4 >0 ; 2x-4<0 da cui ottengo 2x<4 x<2
- Trovo l’ ordinata sostituendo x= 2 nella funzione:f(2)=-(2)2+4(2)= -(4)+8= -4 +8 =+4
RISPOSTA: MAX=( 2 ; 4)
2
Segno y’+ -
Max
y = !x2+ 4xEsempio 1 : punti stazionari
y’>0 y’<0
ESEMPIO 2
- Dominio = ]-∞,+∞[- Derivata prima y’ = 3x2-2x- Trovo punti estremanti : y’ =0; x(3x-2)=0 ; x=0 o x=+2/3- Studio segno derivata prima (intervalli monotonia ) : y’>0; 3x2-2x >0 …………e ottengo x< 0 v x> +2/3
- Trovo le ordinate sostituendo le ascisse nella funzione:Ordinata del massimo f(0)=(0)3+(0)2 =0Ordinata del minimo f(2/3)=(2/3)3-(2/3)2=8/27 - 4/9 =-4/27
RISPOSTA: MAX=( 0 ; 0) MIN= (+2/3;-4/27)
0 2/3-
Segno y’ + +MinMax
2 - ESEMPIO : PUNTI STAZIONARI : y = x3! x
2
ESEMPIO 3
- Dominio : (-∞,+∞)- Calcolo derivata prima y’ = 3x2+0; y’= 3x2
- Trovo punti estremanti: y’ =0; 3x2 =0 ; x2=0 x*x=0
- Studio segno derivata prima (intervalli di monotonia) :
y’>0 ; x2>0 R-{0}
la funzione cresce a sinistra e a destra: FLESSO ASCENDENTE Trovo l’ordinata : f (0)=(0)3+4=0+4=4
FLESSO ASCENDENTE a tangente orizzontale F=(0;4)
Segno y’
x=0
x=0
0+ +
y = x3+ 4
y’>0 y’>0
- Dominio = R-{0}- Calcolo derivata prima-Trovo punti estremanti:
- intervalli di monotonia :
MAX=( -2 , 4) MIN=(2 , 4)
�
y =x2
+ 4
x
y ' =(2x)(x) ! (x
2+ 4)(1)
x2
= ... =x2! 4
x2
y ' = 0;x2! 4
x2
= 0" NUM = 0; x2! 4 = 0" x
1= !2; x
2= 2
y ' > 0 :x2! 4
x2
> 0
N > 0 : x < !2 " x > 2
D > 0 : x2> 0 :R ! 0}{ *
+ +MinMax
+2-2
*OSS: nel grafico posso non mettere D>0 : il risultato non cambia
Esempio 4
y’>0 y’>0y’<0
ESEMPIO 5
- Dominio = R-{2}- Calcolo derivata prima
-Trovo punti estremanti:
- intervalli di monotonia :
MAX=(1,2) MIN=(3,6)
y =x2! 3
x ! 2
y ' =(2x)(x ! 2) ! (x
2! 3)(1)
(x ! 2)2
= ... =x2! 4x + 3
(x ! 2)2
y ' = 0;x2! 4x + 3
(x ! 2)2
= 0" NUM = 0; x2! 4x + 3 = 0" x = 1; x = 3
y ' > 0,x2! 4x + 3
(x ! 2)2
> 0
N > 0 : x < 1" x > 3
D > 0 :#x $R ! 2}{ *
+ +
MinMax
31
y’>0 y’>0y’<0