PROGETTOPROGETTOLAUREE LAUREE

SCIENTIFICHESCIENTIFICHE

Numeri ComplessiNumeri ComplessiBruna ConsoliniBruna Consolini

Liceo “Norberto Rosa” - Indirizzo Scientifico e Scientifico TecnologicoAnno Scolastico 2006-07

EQUAZIONI E EQUAZIONI E SOLUZIONISOLUZIONI

2

1 2

2

1 0

1 1

1 0

x

x x

x

nessuna soluzione in

ESTENDERE …ESTENDERE …L’AMBITO DELLE L’AMBITO DELLE

SOLUZIONISOLUZIONI Occorre poter risolvere l’equazioneOccorre poter risolvere l’equazione Per calcolare Per calcolare Si definisce un nuovo numeroSi definisce un nuovo numero

In questo modo diventa In questo modo diventa

Quindi, l’equazione ha soluzione Quindi, l’equazione ha soluzione

2 1 0x

1x 2 1i

1x 2x i

1 2x i x i

ALTRE EQUAZIONIALTRE EQUAZIONI

Dall’equazione il discorso si estende Dall’equazione il discorso si estende a tutte le equazioni che sono decomponibili in a tutte le equazioni che sono decomponibili in fattori di secondo grado con fattori di secondo grado con <0<0

2 1 0x

INFATTI,UNA QUALUNQUE RADICE DEL TIPO

PUO’ ESSERE TRASFORMATA INa

2 2( 1)a a i a i a i a

ESEMPIOESEMPIO

EQUAZIONE 5° GRADO

SOLUZIONI REALI:x = -4 molteplicità 1x = -2 molteplicità 2

SOLUZIONI COMPLESSE:x = 2i molteplicità 1x = -2i molteplicità 1

ESEMPIO ESEMPIO

EQUAZIONE 4° GRADO

SOLUZIONI REALI:x = -4 molteplicità 1x = 2 molteplicità 1

SOLUZIONI COMPLESSE:x = 1+3i molteplicità 1x = 1-3i molteplicità 1

Le soluzioni complesse sono sempre presenti in coppia

VERSO …VERSO …UN NUOVO INSIEME DI UN NUOVO INSIEME DI

NUMERINUMERI Dall’insieme Dall’insieme NN si passa a si passa a ZZ, insieme degli interi , insieme degli interi

relativirelativi Dall’insieme Dall’insieme ZZ si passa a si passa a QQ, insieme di tutti i , insieme di tutti i

numeri esprimibili come rapporto di numeri interi numeri esprimibili come rapporto di numeri interi relativirelativi

Dall’insieme Dall’insieme QQ si passa a si passa a RR, insieme di tutti i , insieme di tutti i numeri decimali (anche illimitati non periodici)numeri decimali (anche illimitati non periodici)

Dall’insieme Dall’insieme RR si passa a si passa a CC, insieme di tutti i , insieme di tutti i numeri esprimibili come coppie di numeri reali numeri esprimibili come coppie di numeri reali che identificano una parte reale e una parte che identificano una parte reale e una parte immaginariaimmaginaria

UN NUOVO INSIEME DI UN NUOVO INSIEME DI NUMERINUMERI

C

R

Q Z

N

I NUMERI COMPLESSII NUMERI COMPLESSII numeri complessi sono espressioni del tipo z = a + ib dove- a e b sono numeri reali- i è l’unità immaginaria

Il numero a denota la parte reale e viene indicato con Re(z)Il numero b denota la parte immaginaria e viene indicato con Im(z)

I numeri complessi z = a + ib individuano le coppie (a,b)che rappresentano le coordinate di punti nel piano R2

chiamato piano di Gauss

PIANO DI GAUSSPIANO DI GAUSS

asse reale

ass

e i

mm

ag

inari

o

a

bP(a,b)

z = a + i b z = a + i b CC

LE OPERAZIONI:LE OPERAZIONI: ADDIZIONE

SOTTRAZIONE

MOLTIPLICAZIONE

DIVISIONE2

2 2 2 2 2 2 2

a ib a ib c id ac adi bci bdi ac bd bc adi

c id c id c id c d i c d c d

( ) ( ) ( ) ( )a ib c id a c b d i

( ) ( ) ( ) ( )a ib c id a c b d i

2( )( ) ( ) ( )a ib c id ac adi bci bdi ac bd ad bc i

ESERCIZIESERCIZI

R SOTTOINSIEME DI CR SOTTOINSIEME DI C

Ogni numero complesso z ha il suo coniugato Ogni numero complesso z ha il suo coniugato

Ogni numero ha il modulo Ogni numero ha il modulo

I numeri reali sono numeri complessi in cui b I numeri reali sono numeri complessi in cui b = 0= 0

I numeri immaginari sono numeri complessi I numeri immaginari sono numeri complessi in cui a = 0in cui a = 0

Il numero reale 0 corrisponde a 0 + 0iIl numero reale 0 corrisponde a 0 + 0i Il numero reale 1 corrisponde a 1 + 0iIl numero reale 1 corrisponde a 1 + 0i

z a ib z a ib

2 2| |a ib a b

ESERCIZIESERCIZI

PROPRIETA’ DELLA PROPRIETA’ DELLA SOMMASOMMA

La regola La regola dell’addizione dell’addizione corrisponde alla corrisponde alla regola del regola del parallelogrammparallelogramma relativa alla a relativa alla risultante dei risultante dei vettorivettori

(4, 2)

(5, 5)

(1, 3)

(4+2i) + (1+3i)=5+5i

RELAZIONE D’ORDINERELAZIONE D’ORDINE

Non si può parlare di numeri positivi e Non si può parlare di numeri positivi e negativinegativi

Se si cerca di introdurre qualche forma di Se si cerca di introdurre qualche forma di ordinamento (ad esempio: un numero è ordinamento (ad esempio: un numero è minore in base alla parte reale e a parità di minore in base alla parte reale e a parità di parte reale in base alla parte immaginaria) parte reale in base alla parte immaginaria) tale ordinamento non permane con le tale ordinamento non permane con le operazioni.operazioni.

NON HA SENSO L’ORDINAMENTO IN C. NON HA SENSO L’ORDINAMENTO IN C.

DEFINIZIONE DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI ASSIOMATICA DEI

NUMERI COMPLESSI (1)NUMERI COMPLESSI (1) Il numero complesso z è una coppia Il numero complesso z è una coppia

ordinata (a,b) con aordinata (a,b) con aR e b R e b R R Vale la relazione di uguaglianzaVale la relazione di uguaglianza

(a,b) = (c,d) (a,b) = (c,d) a=c a=c b=d b=d Risultano chiuse le seguenti operazioniRisultano chiuse le seguenti operazioni

Addizione: (a,b)+ (c,d)= (a+c, b+d)Addizione: (a,b)+ (c,d)= (a+c, b+d) Moltiplicazione m(a,b) = (ma, mb)Moltiplicazione m(a,b) = (ma, mb)

(a,b)(c,d)= (ac-bd, ad+bc)(a,b)(c,d)= (ac-bd, ad+bc)

DEFINIZIONE DEFINIZIONE ASSIOMATICA DEI ASSIOMATICA DEI

NUMERI COMPLESSI (2)NUMERI COMPLESSI (2) Valgono le seguenti proprietà:Valgono le seguenti proprietà:

Commutativa dell’addizioneCommutativa dell’addizione Associativa dell’addizioneAssociativa dell’addizione Commutativa della moltiplicazioneCommutativa della moltiplicazione Associativa della moltiplicazioneAssociativa della moltiplicazione Distributiva della moltiplicazione rispetto Distributiva della moltiplicazione rispetto

all’addizioneall’addizione Esistenza dell’elemento neutro dell’addizioneEsistenza dell’elemento neutro dell’addizione Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazioneEsistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione Esistenza dell’inverso rispetto all’addizioneEsistenza dell’inverso rispetto all’addizione Esistenza dell’inverso rispetto alla moltiplicazioneEsistenza dell’inverso rispetto alla moltiplicazione

ESERCIZIESERCIZI

Dimostrare le seguenti proprietà:Dimostrare le seguenti proprietà: 1/z = z / |z|1/z = z / |z|

zz1 1 (z(z22 + z + z33) = z) = z11zz22 + z + z11zz33

| z| z1 1 zz22 | = | z | = | z11| || | zz22 | |

zz1 + 1 + zz22 = z = z11 + + zz22

LE EQUAZIONI IN CLE EQUAZIONI IN CTEOREMA FONDAMENTALE TEOREMA FONDAMENTALE

DELL’ALGEBRADELL’ALGEBRAOgni equazione polinomiale di grado Ogni equazione polinomiale di grado nn a coefficienti a coefficienti

reali xreali xnn + a + a11xxn-1n-1 + a + a22xxn-2n-2+…a+…an-1n-1x + ax + an n = 0= 0

ha n soluzioni complesse eventualmente coincidenti ha n soluzioni complesse eventualmente coincidenti 11 22 33 ………… …………nn

Il polinomio P(x)=xIl polinomio P(x)=xnn + a + a11xxn-1n-1 + a + a22xxn-2n-2+…a+…an-1n-1x + ax + an n

è decomponibile in P(x)=(x-è decomponibile in P(x)=(x-11)(x-)(x-22)…………(x-)…………(x-nn))

QUINDI

ESERCIZIESERCIZI