Progetto DiGi Scuola

Polinomi … che rompicapo scomporli!!!

Realizzato da:

Prof.ssa Giuseppina Lippiello

Percorso formativo

• Introduzione• L’algebra e la sua origi

ne • Prodotti notevoli• Triangolo di Tartaglia • Scomposizione di un p

olinomio in fattori

Introduzione

Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica:

• Obiettivi generali del progetto “DiGi Scuola”

• Obiettivi specifici del modulo

START

IntroduzioneObiettivi generali del progetto “DiGi Scuola”

• DiGi Scuola è un progetto promosso dal Ministero per le Riforme e l'Innovazione nella Pubblica Amministrazione, in collaborazione con il Ministero della Pubblica Istruzione che si propone di sviluppare ed impiegare Contenuti Didattici Digitali (learning object) a supporto della didattica, al fine di introdurre le nuove tecnologie nel processo formativo e di apprendimento per creare un ponte fra la didattica tradizionale e le nuove generazioni.

IntroduzioneObiettivi generali del progetto “DiGi Scuola”

Ridurre la dispersione scolastica, migliorando il rendimento degli studenti.

Creare un mercato elettronico dei contenuti digitali per la didattica.

Promuovere lo sviluppo dell'industria italiana di contenuti didattici digitali di qualità, adottando elevati standard tecnologici e linee guida pedagogico-didattiche.

Introdurre metodologie didattiche innovative al servizio dei docenti, prevedendo piani di formazione.

IntroduzioneObiettivi specifici del modulo

• L’idea del progetto “Polinomi … che rompicapo scomporli!!!” deriva dal fatto che le operazioni di scomposizione di un polinomio in fattori sono la "bestia nera" degli studenti poiché fattorizzare un polinomio può non sempre risultare immediato.

• Il progetto vuole essere uno strumento per interessare e coinvolgere gli allievi in un percorso di apprendimento facilitato dalle tecnologie utilizzate dagli studenti stessi come accesso a fonti di studio al fine di diventare essi stessi protagonisti del processo di evoluzione del mondo scolastico.

• Cononoscere i prodotti notevoli

• Conoscere le varie tecniche di scomposizione di un polinomio

IntroduzioneObiettivi specifici del modulo

SAPERE

Misurabile con prove “pratiche”

• Sapere operare con i prodotti notevoli

• Sapere scomporre un polinomio utilizzando il metodo appropriato

SAPER FARE

Misurabile con prove “teoriche”

Introduzione

Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti:

• Obiettivi generali del progetto “DiGi Scuola”

• Obiettivi specifici del modulo

END

L’algebra e la sua origine

Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica:• Il termine algebra

• Gli albori dell’algebra

• Il padre dell’algebra

• Ulteriori sviluppi dell’algebra

START

L’algebra e la sua origine Il termine algebra

La parola Algebra viene dall'arabo al-jabr che, tradotto in latino, diventa restauratio ovvero ristabilimento dell'equilibrio (di un'equazione quando si porta un termine da un membro all'altro, appunto cambiando segno).

الجبر

L’algebra e la sua origine Il termine algebra

In Spagna, durante la dominazione araba, quasi tutte le botteghe di barbiere, nella loro insegna, recavano la scritta al-jabr.

Il motivo non era quello che i barbieri fossero tutti laureati in Matematica (in Algebra) ma, ovviamente, un altro.

L’algebra e la sua origine Il termine algebra

In Spagna, durante la dominazione araba, i barbieri fornivano anche le prime prestazioni medico - infermieristiche.

Si occupavano quindi della “restauratio”, ma del corpo umano …

L’algebra e la sua origine Il termine algebra

… in altre parole, i barbieri facevano anche gli aggiusta –ossa.

Da qui, la loro insegna “algebrica”.

L’algebra e la sua origine Il termine algebra

Non è certo facile dare una definizione generale di algebra.

In un primo significato l’algebra può essere vista come una generalizzazione dell’aritmetica, nata dalla necessità di rendere generali i procedimenti da eseguire.

L’algebra e la sua origine Il termine algebra

Nel corso dei secoli sono state ledefinizioni più diverse di algebra:• Al-Karaji (X-XI sec): “determinazione di incognite a partire da premesse

conosciute.• As-Samaw’al (XII sec): “operare su [quantità] incognite per mezzo di tutti gli

strumenti aritmetici, come l’aritmetica sulle (grandezze) note”.• Omar Khayyam (XI-XII sec): “Io dico che l’Algebra è un’arte scientifica. Gli

oggetti di cui si occupa sono numeri assoluti e grandezze misurabili che, sebbene in sé sconosciute, sono collegate con cose note per cui è possibile la determinazione delle quantità incognite”.

• Matematici indiani: algebra come Vijaganita, titolo di un’opera di Bhaskara, che significa “scienza di calcolo con le incognite”.

• F. Viète (1540-1603): “Un’equazione è dunque un’eguaglianza (comparatio) tra una grandezza incognita (incerta) e una grandezza nota (certa)”.

L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

Il nostro modo di indicare i numeri, di operare con essi e, in generale, di fare i calcoli, non risale agli antichi greci, per quanto abbiano fatto della matematica uno degli ambiti dei loro studi, ma agli arabi, che diffusero le cifre indiane.

L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

I simboli dell’algebra ed il modo che oggi utilizziamo e che con un po' di allenamento, ci possono apparire ovvi e naturali sono in realtà frutto di un lavoro di rielaborazione per molti secoli.

L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

I Babilonesi, (II millennio a.C.) che sotto molti aspetti sono considerati i fondatori dell'algebra, non facevano uso di simboli e si limitavano a descrivere nel linguaggio naturale le procedure risolutive di vari problemi.

L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

Presso i Greci l'algebra ebbe il suo periodo di maggior splendore nel periodo ellenistico (III secolo d. C.), soprattutto a opera di un matematico di Alessandria, Diofanto (243 – 330 d.C), che per primo elaborò un sistema di simboli adatti a rappresentare, mediante segni speciali, la variabile, alcune sue potenze, la sua inversa, qualche operazione.

L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

Con Diofanto ebbe inizio l'algebra sincopata (dal greco synkopé = tagliare, ridurre ) , una specie di stenografia che sta tra il linguaggio naturale e il simbolismo moderno. Essa usa generalmente le parole, intercalando qua e là delle abbreviazioni per rendere più agile e spedito l’andamento del ragionamento e dei calcoli.

Esempio di scrittura algebrica sincopata, dall'Algebra di R Bombelli (1526-1572), pubblicata a Bologna nel 1579

L’algebra e la sua origine Gli albori dell’algebra

A questo punto è utile sottolineare che, secondo alcune fonti, lo sviluppo del’lgebra passò attraverso diversi stadi:

• “primitivo” o “retorico” in cui non si faceva uso nè di simboli nè di numeri, ma tutto (operazioni, proprietà, relazioni) si esprimeva solo attraverso parole;

• “intermedio” o “sincopatico” in cui si faceva uso di alcune abbreviazioni;

• “simbolico” in cui tutto si espimeva per mezzo di simboli.

L’algebra e la sua origine Il padre dell’algebra

Il vocabolo algebra deriva dal titolo dell’opera più importante scritta dal matematico Mohammed ibn-Musa al-Khowârizmî, vissuto a Bagdad nel IX sec. d.C.: il trattato Al-jabr wa'l muqâbalah pervenuto a noi sia in una versione latina (Liber algebrae et almucabola) sia araba.

L’algebra e la sua origine Il padre dell’algebra

Nella versione araba del trattato , a differenza di quella latina, compare anche una prefazione in cui al-Khowârizmî loda il profeta Moametto ed il califfo al-Mamun, che fondò a Bagdad una “Casa del sapere” (Bait al-hikma), nella quale confluirono scienziati e filosofi dalla Siria, dall’Iran e dalla Mesopotamia, e che lo invitò affidandogli l’incarico di comporre una breve opera per mezzo (delle regole) di completamento e riduzione.

L’algebra e la sua origine Il padre dell’algebra

La parola al-jabr significa “ristabilire”, ovvero ristabilire l’equilibrio in un’equazione scrivendo in un suo membro un termine che era stato eliminato dall’altro membro, mentre la parola al muqâbala significa “semplificazione”, come quando si sommano i termini simili o si sottraggono termini uguali da entrambi i membri dell’equazione.

L’algebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dell’algebra

Il passaggio dall'algebra sincopata all’algebra simbolica, nella quale il calcolo con i numeri viene sostituito dal calcolo con le lettere, ha richiesto un lungo cammino e il contributo di numerosi matematici.

L’algebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dell’algebra

Notevoli passi avanti vennero fatti molti secoli dopo da due matematici italiani, Luca Pacioli (XV secolo) e Raffaele Bombelli (XVI secolo). Questo cammino si concluse nella seconda metà del Cinquecento con il francese Francois Viète.

Ritratto di Francois Viète

L’algebra e la sua origine Ulteriori sviluppi dell’algebra

Viète ebbe per primo l'intuizione di "operazione astratta", ne codificò la notazione simbolica e arrivò a formulare il cosiddetto calcolo letterale attuale.

L’algebra e la sua origine

Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti:

END

• Il termine algebra• Gli albori dell’algebra• Il padre dell’algebra• Ulteriori sviluppi

dell’algebra

Prodotti notevoli

Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica:• Quadrato di un binomio

• Quadrato di un polinomio

• Somma per differenza

• Cubo di un binomio

• Altri prodotti notevoli

START

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio

L’aggetivo notevole deriva dal verbo notare che, tra l’altro significa: mettersi in mostra, richiamare su di sè l’attenzione. Generalmente viene attribuito ad una cosa degna di nota come lo sono i prodotti notevoli.

Perché notevoli?

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: significato algebrico

(a+b)2 = (a+b) (a+b) =

= a2+ab+ab+b2 =

= a2+2ab+b2

(a+b)2 =

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: la regola

Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini:• il quadrato del 1°

monomio• il doppio prodotto del 1°

monomio per il 2°• il quadrato del 2°

monomio

(a+b)2 = a2+2ab+b2

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: significato geometrico

(a + b) (a + b)2

a b

a2

b2

ab

ab

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: esempi

• (2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2

• (2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2

• (3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) + (+2b)2 = 9a2+12ab+4b2

• (3a -2b)2 = (3a) 2 + 2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a2 -12ab+4b2

• (-3a -2b)2 = (-3a)2+2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2+12ab+4b2

• (-3a+2b)2 = (-3a)2+2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2-2ab+4b2

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: approfondimenti

Vuoi saperne di più?

Bene!!!!

Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

Prodotti notevoli Quadrato di un binomio: esercizi

Ora esercitati tu!!!

Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: significato algebrico

(a+b+c)2 =

= (a+b+c) (a+b+c) =

= a2 + ab + ac + ab + b2 + bc + ac +bc + c2 =

= a2+ b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc

(a+b+c)2 =

Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: la regola

Il quadrato di un polinomio di numeri qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini:• il quadrato di tutti i termini• il doppio prodotto (con il

relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: significato geometrico

(a+b+c) (a+b+c)2

(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

a b c

ab

a2

b2

ab

c2

ac

ac

bc

bc

Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: esempi

• (2a + b + 3c)2 =(2a) 2+(+b) 2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a2 + b2 + 9c2+ 4ab + 12ac + 12bc

• (2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)== 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc

• (-3a - 2b + c )2 ==(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c)= 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc

Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: approfondimenti

Vuoi saperne di più?

Bene!!!!

Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

Prodotti notevoli Quadrato di un polinomio: esercizi

Ora esercitati tu!!!

Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

Prodotti notevoli Somma per differenza: significato algebrico

(a+b) (a-b) =

= a2 - ab + ab - b2 =

= a2 - b2 (a+b)(a-b) =

Prodotti notevoli Somma per differenza: la regola

Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine

(a+b) (a-b) = a2 - b2

Prodotti notevoli Somma per differenza: esempi

• (2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2

• (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2

• (3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2

• (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2

• (4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b2 - 16a2 • (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2

Prodotti notevoli Somma per differenza: approfondimenti

Vuoi saperne di più?

Bene!!!!

Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

Prodotti notevoli Somma per differenza: esercizi

Ora esercitati tu!!!

Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

Prodotti notevoli Cubo di un binomio: significato algebrico

(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) =

(a2+2ab+b2) (a+b) =

a3+a2b+2a2b+2ab2+ab2+b3 =

= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a+b)3 =

Prodotti notevoli Cubo di un binomio: la regola

Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini:• il cubo del 1° monomio• il triplo prodotto del

quadrato del 1° per il 2°• il triplo prodotto del 1° per

il quadrato del 2°• il quadrato del 2°

monomio

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Prodotti notevoli Cubo di un binomio: significato geometrico

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Prodotti notevoli Cubo di un binomio: esempi

• (2a+b) 3 = (2a) 3+3(2a)2(+b)+3(2a)(+b)2+(+b) 3 = = 4a3 + 12a2b + 6ab2 + b3

• (2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2+(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3

• (-3a - 2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2(-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a3 - 54a2b - 36ab2 - b3

• (-3a + 2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2(+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a3 + 54a2 b - 36ab2 + b3

Prodotti notevoli Cubo di un binomio: approfondimenti

Vuoi saperne di più?

Bene!!!!

Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

Prodotti notevoli Cubo di un binomio: esercizi

Ora esercitati tu!!!

Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: somma di cubi – significato algebrico

(a + b) (a2 - ab + b2) =

a3-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=

= a3 + b3 a3 + b3 =

Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: somma di cubi - la regola

Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine

a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)

Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: differenza di cubi - significato algebrico

(a - b) (a2 + ab + b2) =

a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=

= a3 - b3 a3 - b3 =

Prodotti notevoli Altri prodotti notevoli: differenza di cubi - la regola

Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

Prodotti notevoli Somma o differenza di cubi: esempi

• (2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3+b3

• (2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3

• (3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)=(3a)3+(2b)3=27a3+8b3

• (3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)=(3a)3-(2b)3=27a3-8b3

Prodotti notevoli Somma o differenza di cubi: approfondimenti

Vuoi saperne di più?

Bene!!!!

Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

Prodotti notevoli Somma o differenza di cubi: esercizi

Ora esercitati tu!!!

Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

Prodotti notevoli

Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti:• Quadrato di un binomio• Quadrato di un polinomio• Somma per differenza• Cubo di un binomio• Altri prodotti notevoli

END

Triangolo di Tartaglia

Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica:

• Un po’ di storia

• Il triangolo

• Potenza n-esima di binomio

START

Triangolo di TartagliaUn po’ di storia

Il triangolo di Tartaglia è stato ideato da Niccolò Fontana, detto il Tartaglia, nato a Brescia nel 1499 e morto a Venezia il 13 Dicembre 1557. Il soprannome “Tartaglia” gli fu dato in seguito a una ferita al volto che a 12 anni gli procurò un'accentuata balbuzie.

Triangolo di TartagliaUn po’ di storia

Tartaglia non ebbe un'infanzia facile: perse il padre a 6 anni e non poté permettersi di andare a scuola poiché la sua famiglia era troppo povera. Praticamente fu autodidatta e andò a una "scuola di scrivere" soltanto per 15 giorni, all'età di 14 anni, per imparare a scrivere l'alfabeto - come racconta nella sua autobiografia - ma la dovette abbandonare, non potendo continuare a pagare il maestro.

Triangolo di TartagliaUn po’ di storia

Scoprì di avere una straordinaria abilità in matematica e si guadagnò da vivere insegnando matematica a Verona e dal 1534 a Venezia.Nel 1560 scrisse il "General trattato di numeri et misure", opera enciclopedica di matematica elementare, dove compare il famoso "triangolo di Tartaglia", applicato a problemi di probabilità.

Triangolo di TartagliaUn po’ di storia

Tartaglia diede anche un importante contributo alla diffusione delle opere dei matematici antichi. Sua è la prima traduzione dal latino in italiano degli Elementi di Euclide.

Triangolo di TartagliaUn po’ di storia

Il triangolo era già stato studiato dal matematico cinese Chia Hsien, nel 1050 circa.Il triangolo fece la sua apparizione in Europa nel 1527, in un libro di aritmetica di Apianus.Secondo alcuni, l'inventore era il cinese Ju-Hsieh.

Triangolo di TartagliaIl triangolo: lo schema per costruirlo

• All’inizio e alla fine di ogni riga c’è sempre 1.

• Inizia con le due righe superiori che sono 1 e 1 – 1

• Per trovare i numeri nella riga seguente, somma i due numeri:

es. 1+1=2 1+2= 3 2+1= 31+3=4 3+3=6 3+1=4

11

1 2 1

1

3 3 1

4 6 4 1

1

1

Triangolo di TartagliaIl triangolo: la regola per costruirlo

Ogni numero, tranne il numero generatore al vertice del triangolo, è la somma dei due numeri sovrastanti. Ai bordi si trova sempre 1, perché i due numeri sovrastanti sono, in questo caso, da una parte 1 e dall'altra nessun numero, cioè zero.

111 2 1

13 3 1

4 6 4 11

1

1 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Triangolo di TartagliaIl triangolo: Triangolo di Pascal

Il triangolo di Tartaglia è noto anche come triangolo di Pascal, che ne diffuse la conoscenza. Il triangolo di Pascal ha una disposizione a "triangolo rettangolo", una forma che consente un'analisi migliore di righe e colonne.

1 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

La somma dei termini di ogni riga è la successione delle potenze del 2. Si può anche dire che la somma dei termini di ogni riga è il doppio della somma dei termini della riga precedente e che la somma dei termini di ogni riga, diminuita di 1, è uguale alla somma dei termini di tutte le righe che lo precedono.

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

Per comprendere meglio: sommando i numeri delle righe, si trovano le potenze di 2

1+1=2

1+3+3+1=8; 231

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

3

4

5

6

8

9

3

6

10

15

28

36

4

10

20

56

84

5

15

70

126

6

56

126

28

84

8

369

1

1

1

1 2

1

7213535217

1+2+1=4; 22

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

Se si sommano i numeri in diagonale, nel modo indicato nella figura, si ottiene la successione di Fibonacci.

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

Ogni termine del triangolo è uguale alla somma di tutti i termini che lo precedono, nella colonna alla sua sinistra.

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

Il triangolo di Tartaglia, nel quale tutti i numeri pari sono stati sostituiti da punti bianchi, mentre tutti i numeri dispari sono stati sostituiti da punti neri.

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

15

3684

15

1261268436

11

1

21353521

3

5

9

3

5

9

11

6

10

28

10

20

56705628

4

6

8

4

6

8

2

77

Visualizziamo meglio i numeri dispari

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

Se il Triangolo è sufficientemente ampio si riescono ad individuare altre configurazioni e il computer può quindi essere molto utile. In questo modo scopriamo che il risultato è una sorprendente serie di triangoli simili. In questo caso i numeri pari sono stati sostituiti da punti neri e i numeri dispari da punti rossi

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

E’ evidenziata la proprietà commutativa dell’ addizione

1+3= 4 3+1= 4

Il triangolo presenta una simmetria assiale.

La simmetria nel colore è perfetta 1 3 3 1

44

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

Nella seconda diagonale si trova la sequenza dei numeri naturali

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

6

10

15

28

36

10

20

56

84

15

70

126

56

126

28

8436

11

1

21353521

3

4

5

6

8

9

3

4

5

6

8

9

11

2

77

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

Multipli di 2

20 66

6

10

28

36

10

56

84

70

126

56

126

28

8436

4

8

4

8

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 9 9

7 7

33

5 5

15 15

2121 35 35

Triangolo di TartagliaIl triangolo: altre proprietà

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

15

3684

15

1261268436

11

1

3

9

3

9

11

6

28

55 1010

20

56705628

4

6

8

4

6

8

2

21353521 77

Se il primo elemento in una riga è un numero primo, tutti i numeri della riga (escluso 1) sono divisibili per esso.

Per esempio nella riga 7

(1- 7- 21- 35- 35 -21- 7- 1)

sono tutti divisibili per 7

Triangolo di TartagliaPotenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola

(a+b)0 = 1(a+b)1 = a+b(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

• lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini

• i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali

• in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn

• i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “Triangolo di Tartaglia”

Triangolo di tartaglia Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola

• ogni riga inizia e termina con 1• ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga

precedente

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = 1 1

(a+b)2 = 1 2 1

(a+b)3 = 1 3 3 1

(a+b)4 = 1 4 6 4 1

(a+b)5 = 1 5 10 10 5 1

(a+b)6 = 1 6 15 20 15 6 1

Triangolo di tartaglia Potenza n-esima di binomio: la regola

La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia. In pratica, si procede nel seguente modo:

(a+b)n= an+nan-1b + … + nabn-1+bn

• si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono (da 0 ad n)

• si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia

Triangolo di tartaglia Potenza n-esima di binomio: esempi

• (a + b)4 = (a)4 + 4(a)3(+b) + 6(a)2(+b) 2 + 4(a)(+b) 3 + (+b) 4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

• (a - b)4 = (a) 4 + 4(a) 3(-b) + 6(a) 2(-b) 2 + 4(a)(-b) 3 +( -b) 4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4

• (2a+b)5 =(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3+5(2a)(b)4+(b)5== 32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2)+10(4a2)(b3)+5(2a)(b4)+b5 == 32a5 + 80a4b + 80a3b2+ 40a2b3 + 10ab4 + b5

• (3a-2b) 4 = (3a)4+4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 = = 81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4= = 81a4 - 216a3b + 216a2b2 - 96ab3 +16b4

Triangolo di Tartaglia Potenza n-esima di binomio: approfondimenti

Vuoi saperne di più?

Bene!!!!

Clicca sull’immagine riportata di lato e ….. buona lettura!!!

Triangolo di Tartaglia Potenza n-esima di binomio: esercizi

Ora esercitati tu!!!

Clicca sulla penna che preferisci e … buon divertimento:

Triangolo di Tartaglia

Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti:

• Un po’ di storia

• Il triangolo

• Potenza n-esima di binomio

END

Scomposizione di un polinomio in fattori

Ecco gli argomenti che affronterai in questa unità didattica:• Raccoglimento a fattore

comune• Raccoglimento a fattore

parziale• Scomposizione di un

particolare trinomio di secondo grado

• Teorema del resto e regola di Ruffini

• Riepilogo dei vari casi

START

Scomposizione di un polinomio in fattori

In costruzione

Scomposizione di un polinomio in fattori

Sei arrivato alla fine della unità didattica nella quale hai potuto vedere i seguenti argomenti: END• Raccoglimento a fattore

comune• Raccoglimento a fattore

parziale• Scomposizione di un

particolare trinomio di secondo grado

• Teorema del resto e regola di Ruffini

• Riepilogo dei vari casi