Post on 05-Jul-2015
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LA PARABOLA.
.DEFINIZIONE
.EQUAZIONE
.INTERSEZIONI CON UNA RETTA
.PROBLEMI
DEFINIZIONE:
La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto
dato e da una retta data. Il punto si chiama fuoco, la retta
direttrice.
I DATI DELLA PARABOLA SONO : il punto F che costituisce il
fuoco e la retta d che costituisce la direttrice;
Se il punto e la retta sono dati, allora si conoscono: la distanza tra
F e d, indicata con 2c. 1clic
F •
d
2c
F •
d
y
x
introduciamo un opportuno sistema di assi cartesiani ortogonali ……
O
1 clic
asse y la retta per F e perpendicolare a d (orientato in modo che l’intersezione con d preceda il fuoco F); 1clic
asse x l’asse del segmento che rappresenta la distanza di F dalla direttrice d. 1clic
LA SCELTA DEGLI ASSI CARTESIANI DETERMINA :
LE COORDINATE DEL FUOCO E L’EQUAZIONE DELLA DIRETTRICE.
il fuoco ha coordinate:
F(0;c)
e la direttrice ha equazione:
y = – c . F •
d
y
x
Oc
-c
y = – c
Per ottenere l’ equazione cartesiana del luogo considero un generico punto P(x;y) e impongo che soddisfi la condizione di equidistanza dal fuoco e dalla retta direttrice. 1CLIC
P(x;y)
1 CLIC
y
x
O
F(0;c)
d
P(x;y)
y = - cH
Preso un punto P(x;y)
calcolo la distanza PF
(1clic)
Calcolo la distanza dalla
direttrice: PH (1clic)
______________ PF = (x – 0)2 + (y – c)2
PH =y- (-c)
1 CLIC
Eguaglio le due distanze:
____________
(x – 0)2 + (y – c )2 =y –(-c)
Elevando al quadrato entrambi i membri si ottiene:
x2 + (y – c)2 = | y + c|2
e, sviluppando i calcoli, si ha l'equazione:
1
y = ·x2
4c
Equazione della parabola
• Siccome 2c è dato anche 1/4c è dato,
poniamolo uguale ad a;
allora l’equazione 1
y = ·x2
4c
diventa
y = a·x2
Viceversa
Se si tiene conto della sostituzione fatta, dall’equazione della
parabola nella forma:
y = a·x2,
confrontata con l’equazione ottenuta dalla def.: y = [1/(4c)] x2, si ha:
a = [1/(4c)] , quindi: c = 1/(4a)
si ottengono le coordinate del fuoco e l’equazione della direttrice,
espresse in funzione di a:
1clic
F(0; 1/(4a)) y = - 1/(4a)
• L’equazione della parabola,
che abbiamo ottenuta, presenta le
seguenti caratteristiche algebriche:
1. è di primo grado in y.
2. è di secondo grado in x;
y = a·x2,
Proprietà algebriche
PROPRIETA’ GRAFICHE (1/2)
Quando nell’equazione y = a·x2 alla variabile x si assegnano
tutti i valori reali positivi e negativi, i corrispondenti valori della y
risultano, con a > 0, non negativi (y > 0).
Quindi il grafico della parabola appartiene al 1 e 2 quadrante.
PROPRIETA’ GRAFICHE (2/2)
se una retta, parallela
all’asse delle ascisse,
incontra il grafico,
allora ciò avviene in
due punti simmetrici rispetto all’asse y:
i grafici presentano simmetria assiale
avente come asse di simmetria l’asse y.
Esempi di grafici di parabole y = ax2
a =1/2;
Caso a > 0 (1clic)
L’origine O è detta vertice della parabola
a=1/2 a=1a=2
x
a = 2.
a = 3/2;
a = 1;
a = 3/2
Possiamo generalizzare l’equazione che si è ottenuta,
y = a·x2
Se il parametro a è negativo, le ordinate dei punti della
parabola sono sempre non positivi. Il grafico sta nel 3 e 4
quadrante: y < 0
Prima generalizzazione dell’equazione
Grafici di parabole con a < 0
L’origine O è detta vertice della parabola
1clic
Ritorno all’indice
a =-1/2
a = -2.
a =-3/2
a = -1
a=-1/2 a=-1a=-2
a =-3/2
Equazione generale
Eseguiamo la traslazione che porta l’origine O’ nel vertice della parabola.
Le equazioni della traslazione sono:
x = X + x0
y = Y + y0
(1clic)
X
Y
x
y
OO’= V (x0;y0)
In un piano cartesiano Oxy consideriamo una parabola il cui grafico
abbia il vertice in un punto V(x0;y0), diverso dall’origine.
rispetto a tale sistema di riferimento, la parabola risulta avere equazione:
Y = a X2.
Per ottenere l’equazione della parabola riferita al sistema Oxy occorre applicare le equazioni della traslazione inversa
X = x - x0
t-1 :
Y = y - y0
L’equazione diventa:
y - y0 = a·(x - x0)2
Che è l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) .
Se si sviluppano i calcoli, si ottiene:
y = ax2 –2ax0x + ax02 + y0 ;
Ponendo -(2ax0) = b e ax02 +y0= c
Si ha :y = ax2 + bx + c
Le informazioni relative:
1. alle coordinate del Vertice,
2. all’equazione dell’asse di simmetria ,
3. alle coordinate del Fuoco e
4. all’equazione della Direttrice
risultano contenute nei tre coefficienti:
a, b, c.
In conclusione si è dimostrato che una qualsiasi parabola, con asse di simmetria parallelo all’asse y , ha equazione del tipo:
y = ax2 + bx + c
Se si tiene conto che l’asse di simmetria della parabola
y = ax2 coincide con l’asse y, di equazione x = 0, per
effetto della traslazione operata, l’equazione diventa:
x = - b/(2a)
Le coordinate del vertice:
Tenendo presente che x0 ed y0 sono le coordinate del vertice, si conclude:(1clic)
V ( _ b ; _ b2- 4ac )
2a 4a
2. Equazione dell’asse di simmetria
In conclusione: b 1
F ( - ; - + ) 2a 4a 4a
3. Le coordinate del FUOCO F
Per effetto della traslazione t le coordinate del fuoco F(0; 1/4a)
diventano:
xF = 0 + (b/(2a)) e
yF = 1/(4a) + (b2+4ac)/(4a) 1clic
Per effetto della traslazione inversa t -1 , l’equazione della
direttrice
y= - 1/(4a)
diventa:
y = (b2+4ac)/(4a) - 1/(4a)
cioè:
4. L’equazione della direttrice
1
y = - -
4a 4a
RELAZIONI TRA V, F,d
F
V
d
y
x
-/4a+1/(4a)
-/(4a)-1/(4a)
-/(4a)
1/(4a)
1/(4a)
1clic
Viceversa
Viceversa, ogni equazione del tipo y = ax2 + bx + c
rappresenta, per a ≠ 0, una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y.
[N.B. in realtà un’equazione generale di 1 grado in y e di 2 in x è
del tipo: mx2 + nx + py + q= 0
Se si esplicita rispetto ad y si ha:
y = -(m/p)x2 –(n/p)x –(q/p)
e sostituendo:
- (m/p) = a; -(n/p) = b; - (q/p) = c
si ottiene l’equazione nella forma canonica:
y = ax2 + bx + c ]
y = ax2 + bx + c
y = a[x2 + (b/a)x ] + c
Metodo del completamento dei quadrati:
y = a[x2 + (b/a)x + (b/2a )2 - (b/2a )2] + c
y = a[x + (b/2a )]2 – b2/4a + c
y = a[x + (b/2a )]2 – [(b2 - 4ac)/4a] , sostituendo: (b2 -4ac) = ∆
y + ∆ /4a = a[x + (b/2a )]2
se si pone: ∆ /4a = -y0 e b/2a = -x0,
L’equazione diventa:
y - y0 = a·(x - x0)2
Che coincide con l’equazione di una parabola con asse di
simmetria parallelo all’asse y e con il vertice in V(x0;y0) .
Dati della parabola
Vertice:
V ( _ b ; _ b2- 4ac )
2a 4a
Fuoco
b - 1 F ( - ; - )
2a 4a
direttrice:
+ 1
y = -
4a
Asse di simmetria:
bx = -
2a
x
y = x2 – 4x + 6
Esempio di grafico di una parabola di data equazione:
1clic
Di vertice V(2;2)
V
F
d
O
Di direttrice
y =7/4
Di fuoco F(2; 9/4)
1clic
1clic
1clic
Problemi relativi alla ricerca dell’equazione di una parabola soddisfacente a date condizioni.
Premessa:
Siccome le equazioni di una parabola con asse di simmetria parallelo ad un asse cartesiano dipendono da tre parametrioccorrono tre condizioni .
Si imposta il sistema costituito dalle tre condizioni di appartenenza dei tre punti dati alla parabola:
y = ax2 + bx +c
CASO : assegnati tre punti non allineati
A(x1;y1), B(x2;y2), C(x3;y3)
Appartenenza di A alla parabola y = ax2 + bx + c (1 clic)y1 = ax12+ bx1+ c
Appartenenza di C alla parabola: y = ax2 + bx + c (1 clic)
Appartenenza di B alla parabola y = ax2 + bx + c (1 clic)y2 = ax22+ bx2+ c
y3 = ax32+ bx3+ c
(1 clic)
(1 clic)
(1 clic)
(1 clic)
Si ottiene un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite a, b, c
che ammette una ed una sola soluzione (per il teorema di Cramer)
y1 = ax12+ bx1+ c
y2 = ax22+ bx2+ c
y3 = ax32+ bx3+ c
Fine problema
CASO : assegnati il vertice V e un punto
Siano dati: il vertice V(xV;yV) e
il punto A(x1;y1)
1) si impone il passaggio per il punto A(x1;y1)
y1 = ax12+ bx1+ c
2) Il passaggio per V(xV;yV)
yV = axV2+ bxV+ c
3) Si impone che l’asse di simmetria x = -(b/2a) coincida con l’ascissa del
vertice:
-(b/2a) = xV
Ritorno al problema
Dati concernenti il Vertice, il Fuoco, la Direttrice
Casi in cui sono noti 2 dei seguenti 3 dati:
il vertice V, il fuoco F, la direttrice d.
Dalle combinazioni dei tre dati, presi a due a due, si possono presentare i seguenti TRE casi: (1clic)
Il fuoco F e la direttrice d
Il vertice V e la direttrice d
Il vertice V e il fuoco F
Primo caso: noti il fuoco F e la direttrice d
Dati: F(xF;yF) e d: y = h
Si perviene subito all’equazione della parabola utilizzando F e y = h
nella definizione di parabola: equidistanza da F e da d di un generico
punto P(x;y):
_____________
(x – xF)2 + (y – yF)
2 = | y h |
Da cui, sviluppando i calcoli, si perviene all’equazione richiesta.
Fine problema
Secondo caso: noti il Vertice e la direttrice d.
Dati: V(xV;yV) e d: y = h
Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite, utilizzando i dati del problema: (1clic)
L’equazione della direttrice: - /(4a) –1/(4a) = h;
l’ascissa del vertice: -b/(2a) = xV ;
L’ordinata del vertice: - /(4a) = yV ;
Parabola di dato Fuoco e per un Punto dato
Dati: il fuco F(xF;yF) e un punto P(xo;yo)
Osservazione: da una
prima analisi si deduce
che vi sono DUE
parabole che soddisfano
le condizioni del
problema. 1 CLIC
FP
F
P
(1clic) (1clic)
F P F
P
Risoluzione del problema per via algebrica.
Per via algebrica. Si imposta il sistema, di tre equazioni in tre incognite, utilizzando i dati del problema: (1clic)
Appartenenza di P: axo2+bxo+c = yo
L’ordinata del fuoco: - /(4a) –1/(4a) = yF ;
l’ascissa del fuoco: -b/(2a) = xF ;
-b/(2a) = xF
-b2 +4ac – 1 = yF
4a
axo2+bxo+c = yo
Fine problema
Intersezione tra Retta e Parabola
Per ricercare gli eventuali punti di intersezione tra una
data retta ed una data parabola ,cioè quei punti le cui
coordinate soddisfano contemporaneamente l’equazione
della retta e della conica, si mettono a sistema le
rispettive equazioni formando così un sistema di 2 grado :
y = mx + q
y = ax2 + bx + c
Dal punto di vista algebrico il sistema ammette due soluzioni
(x1;y1) e (x2;y2), che possono essere: (1clic)
due reali e distinte, due reali e coincidenti, due complesse coniugate
Nel primo caso la retta e la conica hanno due punti distinti in
comune e si dice che la retta è secante; (1clic)
(x1;y1)
(x2;y2)
nel secondo caso hanno due punti coincidenti in comune e si dice
che la retta e la parabola sono tangenti; (1clic)
(x1;y1)
In questo caso la tangente e la parabola hanno due punti coincidenti in comune 1 clic
Mentre la retta secante sviene ‘spostata ’ parallelamente a se stessa verso la posizione di retta tangente, le coppie di punti di intersezione si ‘avvicinano’ sempre più fino a ‘sovrapporsi’ in due punti coincidenti.
1 clic
s
nel terzo caso non hanno punti in comune e si dice che la retta è esterna alla parabola.
In conclusione:
secante
tangente
esterna
1 clic
Caso particolare di rette secanti
Si deve tenere conto del caso particolare relativo alle rette parallele all’asse di simmetria, di equazione: x = k. Queste rette intersecano in un solo punto la parabola.