Parabola Dato un punto F del piano ed una retta d F d parabola si dice parabola l ’ insieme dei...
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ParabolaParabola
Dato un punto F del piano
ed una retta d
F
d
si dice parabolaparabola l’insieme dei punti del pianoequidistanti dal punto F e dalla retta d
Parabola punto per puntoParabola punto per punto
fuoco F
fuoco F
direttrice
direttrice
Ogni punto è determinato
dall’eguaglianza fra le
distanze punto-retta punto-fuoco
Per ogni punto il valore delle
distanze(=raggio) è diversa,
tranne che . . .
V vertice
F fuoco
Asse disimmetria
L ’insieme dei punti
(parabola)• ha un punto particolare detto vertice• è simmetrico rispetto alla linea asse di simmetria
Rappresentazione della parabola nel piano cartesianoRappresentazione della parabola nel piano cartesiano
Se nel piano inseriamo un
sistema di assi cartesiani si ha
la rappresentazione a fianco della
parabola.
Il fuoco F e il vertice V sono punti,ognuno
con le sue coordinate,
l ’asse di simmetria è una retta parallela
all’asse y.
4 2 0 2 4 6 8 10
4
2
2
4
6
8
10
F
V
I punti della parabola sono costruiti sull’eguaglianza delle distanze dal fuoco e dalla direttrice
Variando fuoco e direttrice si possono ottenere parabole diverseper posizione . . .
. . . e per ampiezza
I punti di una parabola soddisfano tutti la proprietà eguaglianza delle distanze. Possiamo determinarne l ’equazione.
5 0 5 10
4
2
2
4
6
8
10
F
P
Equazione generica della parabola
Equazione generica della parabola
cbyayx 2
a,b,c R
Asse di simmetria parallelo asse x
cbxaxy 2
a,b,c R
Asse di simmetria parallelo asse y
Ci occuperemo qui delle parabole con asse di simmetria parallelo all’asse y
Vediamo come si presenta il grafico della parabola al variare dei valori a,b,c
Con il pacchetto grafico che avete a disposizione disegnate nel piano cartesiano le parabole :
y x2 8 x 18
y1 x2
24
1 x
121
y32
9x2 160
3x 192
Esercizio 2
cbxaxy 2
Variazione dei grafici al variare dei coefficientiVariazione dei grafici al variare dei coefficienti
a,b,c R
Esercizio 1
y x2
2 x 1
yx
2
24
x
121
y32
9x
2 25
3x 4
a>0 a<04
4
f x( )
44 x
0
Concavità
Concavità
4
4
f x( )
44 x
0
Si ottengono i grafici
10 5 0 5 10
10
5
5
10
Esercizio 2
10
10
f x( )
g x( )
h x( )
1010 x
10 5 0 5 10
10
5
5
10
Esercizio 1
20
20
f x( )
g x( )
h x( )
p x( )
2020 x
20 10 0 10 20
20
10
10
20
Esercizio 3
y x2 8 x 18
y x2 8 x 18
y x2 5 x 18
y x2 12 x 18
50
20
f x( )
g x( )
h x( )
2020 x
20 10 0 10 20
20
20
40
y x2 8 x 20
y x2 8 x 20
y x2 20
Esercizio 4
VerticeVertice
Al variare di aa e bb varia la posizione dell’ascissa del vertice, che ha infatti coordinate :
)a4
ac4b,
a2b
(V2
Al variare di cc varia la posizione del vertice per quanto riguarda l’ordinata : il grafico della parabola risulta traslato
5
5
f x( )
g x( )
h x( )
53 x
2 0 2 4
4
2
2
4Esercizio 5
y x2 3 x 2
y x2 3 x
y x2 3 x 2
Intersezioni con gli assi
Intersezioni con gli assi
8
2
f x( )
g x( )
h x( )
124 x
4 2 0 2 4 6 8 10 12
2
2
4
6
8
Esercizio 6
y 0.25 x2
2 x 3
y 0.25 x2
2 x 4
y 0.25 x2
2 x 6
Per determinare i punti d ’intersezione con l ’asse x si risolve il sistema
Y = 0
cbxaxy 2 Si ottiene un’equazione di 2° grado in x
0cbxax2
le cui soluzioni rappresentano le ascisse dei punti d’intersezione
Per determinare il punto d ’intersezione con l ’asse y si risolve il sistema
x = 0
cbxaxy 2 P(0,c)
Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?Quali sono i punti in cui la parabola taglia gli assi cartesiani ?
La parabola ha un punto d ’intersezione con l’asse x
Se b2-4ac= 0
Se b2-4ac< 0
Se b2-4ac> 0
La parabola ha due punti d ’intersezione con l’asse x
La parabola non ha punti d ’intersezione con l’asse x
3
2
f x( )
93 x
4
2
f x( )
93 x
6
2
f x( )
93 x
La parabola ha il vertice sull’asse y
InoltrInoltree
Se bb=0=0
y=ax2+c
Se b=0 e b=0 e c=0c=0
y=ax2
Se cc=0=0
y=ax2+bx
4
3
f x( )
76 x
4
3
f x( )
76 x
6
3
f x( )
76 x
La parabola passa per l ’origine
La parabola ha il vertice nell’origine
FormuleFormule
y=ax2+bx+c
)a4
ac4b,
a2b
(V2
vertice
)a4
)ac4b(1,
a2b
(F2
fuoco
a4)ac4b(1
d2
direttrice
a2b
x equazione
asse di simmetria
4 2 0 2 4 6 8 10
4
2
2
4
6
8
10
F
V
Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano
Come si rappresenta la parabola di equazione y=ax2+bx+c nel piano cartesiano
42 0 2
4
2
2
4
•Determinare le coordinate del vertice VV
•Determinare l’equazione dell’ asse di simmetriaasse di simmetria
•Determinare le coordinate degli eventuali puntipunti dd ’’intersezione con gli assiintersezione con gli assi
•Determinare le coordinate di qualche altro puntoqualche altro punto, anche tenendo presente la simmetria•Rappresentare punti e asse nel piano : essi caratterizzanocaratterizzano il grafico
V
Per farle a casaPer farle a casa
Una torcia elettrica accesa posta perpendicolarmente ad una parete la illumina formando un cerchio
10
4
f x( )
105 x
Se incliniamo la torcia si ottiene un’altra figura luminosa : l ’ellisse.
Inclinando maggiormente la torcia, la linea esterna della parte illuminata diventa una parabola
Ruotando ancora di più si ottiene un ramo di iperbole.
Le coniche si
ottengono intersecando un cono
ed un piano : in
questo caso il cono è il fascio
di luce ed il piano è la parete.