Ottica geometrica

Fisica x Biologi 2018 Fabio Bernardini 1

Lʼottica geometrica si occupa delle leggi che riguardano la propagazione della luce nel caso in cui essa possa essere considerata come unʼonda piana. "

Definiamo allora come raggi luminosi quelle linee che in ogni punto sono perpendicolari allʼonda piana e sono tangenti alla direzione di propagazione."

Nellʼottica geometrica i raggi luminosi possono fare due cose: riflessione e rifrazione."

Riflessione

Nella riflessione un raggio luminoso arriva su una superficie piana riflettente (specchio). Il raggio che arriva è detto incidente. Si chiama angolo di incidenza lʼangolo fra il raggio incidente e la direzione perpendicolare alla superficie riflettente. "Il raggio uscente è il raggio riflesso. Lʼangolo di riflessione è lʼangolo fra il raggio uscente e la direzione perpendicolare alla superficie. "

Nella riflessione abbiamo:"

Specchi piani

Se consideriamo uno specchio piano ci accorgiamo che tutti i raggi emessio da una sorgente e riflessi dallo specchio sembrano provenire da una immagine virtuale della sorgente posta simmetricamente alla stessa distanza dallo specchio. "

Specchi sferici concavi

Nella figura vediamo uno specchio sferico concavo e una torre posizionata oltre il suo centro ottico (centro della sfera) in modo che alcuni suoi punti si trovano sull'asse. I raggi che provengono da quei punti si riflettono sullo specchio seguendo la legge di riflessione (cioè, i raggi riflessi hanno lo stesso angolo dei raggi incidenti rispetto alla normale alla superficie) e convergono in un punto chiamato punto immagine."

Il centro di ottico e il raggio di curvatura sono il centro della sfera e il suo raggio r."

centro ottico

Se la torre fosse posta all'infinito sull'asse ottico i raggi che provengono sarebbero paralleli all'asse ottico dello specchio e convergerebbero in un punto chiamato fuoco. La distanza tra il fuoco e il centro dello specchio è chiamata lunghezza focale f dello specchio. Il fuoco F di uno specchio concavo si trova nel punto medio del segmento che congiunge il centro ottico O e il vertice dello specchio V. La lunghezza focale vale:

Se mettiamo una freccia di lunghezza P ad una distanza a dal vertice dello specchio, otterremo una immagine reale rovesciata di lunghezza P’ ad una distanza b dal vertice.

=b − ff

Rifrazione e legge di Snell

Quando un raggio passa da un corpo trasparente ad unʼaltro corpo trasparente diverso si ha la rifrazione. Se la superficie di separazione dei due corpi è piana allora la direzione di propagazione cambia secondo la legge di Snell."

i = r€

sin(i)sin(r)

Indici di rifrazione e legge di Snell

I coefficienti ni e nr che appaiono nella legge di Snell, si chiamano indici di rifrazione. Lʼindice di rifrazione è dato dal rapporto fra velocità della luce nel mezzo e velocità della luce nel vuoto. Lʼindice di rifrazione è maggiore di uno. "

i = r€

sin(i)sin(r)

ni =cvi

nr =cvr

Riflessione totale e angolo limite

Un fenomeno particolare è la riflessione totale. Un raggio che parte da un materiale con indice di rifrazione ni ed attraversa una superficie piana ed entra in un mezzo con indice nr < ni, subirà una riflessione totale per valori dellʼangolo di incidenza superiori al così detto angolo limite. Il valore dellʼangolo limite è dato da:"

sin(i)sin(r)

(legge di Snell)

sin(r) =1

sin(i) =nrni

iLIM = arcsin nrni

⎝ ⎜

⎠ ⎟ (angolo limite)

Riflessione totale e angolo limite

Come applicazione della riflessione totale nella vita di tutti i giorni abbiamo: il prisma della macchina fotografica."

Le fibre ottiche. Qui la luce viene sepre riflessa al bordo fra il nucleo ed il mantello, perchè il nucleo ha un indice di rifrazione superiore. "

Diottro sferico e punti coniugati

Se la superficie di separazione fra due mezzi è curva possono succedere fenomeni più complessi. Questo è il caso del diottro la cui superficie è sferica. Si può dimostrare che se ho una sorgente luminosa puntiforme nel punto P i raggi da essa generati si ricongiungono tutti in un punto Q. La posizione dei due punti è data da: "

I punti P e Q sono detti punti coniugati. Il punto V è il vertice del diottro. Il raggio R è positivo se il diottro è convesso, ovvero se il punto C sta fra V e Q. I piani passanti per P e Q perpendicolari allʼasse del diottro (direzione PQ) sono detti piani coniugati. "

p = PVq =VQnpp

=nq − npR

Punti focali e lunghezze focali

Osservando la formula dei punti coniugati osservo che se uno dei punti occupa una certa posizione lʼaltro risulta allʼinfinito. Quando Q è allʼinfinito P occupa il primo punto focale. Quando P è allʼinfinito Q occupa il secondo punto focale. "

Si chiama lunghezza focale la distanza fra il punto V e i punti focali. Le lunghezze focali sono due fp ed fq e sono date da:"

=nq − npR

−nqq

=nq − npR

−npp

f p =npR

nq − np

fq =nqR

nq − np

Punti focali e punti coniugati

Se conosco le due lunghezze focali di in diottro posso ricavare anche le posizioni dei punti coniugati. Infatti esiste la seguente relazione fra fp , fq e p, q:"

Di fatto se si conoscono i punti focali si può ricostruire anche la posizione dei punti coniugati. "

=nq − npR

Rnq − np

nq − np

f p =npR

nq − np

fq =nqR

nq − np

Formazione dell’immagine e ingrandimento

Se pongo una immagine (es. disegno) nel primo piano coniugato otterrò nel secondo piano coniugato una copia di questa immagine in scala e rovesciata. Il rapporto fra le dimensioni delle due immagini è dato da: "

I coefficiente G è detto ingrandimento. Avvicinando A a V otterrò in ingrandimento sempre crescente purchè p < fp, ovvero si formi una immagine per q > 0."€

G =A'B'AB

=A'CAC

=q − Rp + R

Lenti sottili

Le lenti sottili sono quelle lenti il cui spessore è piccolo rispetto al raggio di curvatura della superficie della lente. Di fatto una lente è immaginabile come una coppia di diottri e come tale va studiata."

Le lenti sottili hanno anche unʼaltra caratteristica importante: lʼindice di rifrazione al di fuori della lente è lo stesso a destra e a sinistra. Se si immagina la lente fatta di vetro ed immersa in aria potremo approssimare n1 ~ 1. "

Doppio diottro

Immaginiamo il nostro doppio diottro, con la sorgente in P. Il punto coniugato di P per il primo diottro sarà Q. La distanza q sarà:"

1p−nq

=n −1R1

Notare la scelta dei segni. Ora q>0 se Q è a sinistra. Il raggio R1 >0 perchè il punto C è a destra del vertice V. "

V V’

Q Q’

V V’

Q Q’

Doppio diottro

Lʼimmagine che arriva al secondo diottro sembrerà provenire dal punto Q. A questo punto i raggi si incontrano nel punto coniugato Qʼ. La distanza qʼ sarà:"

=1− nR2

Per la seconda superficie le distanze sono misurate dal vertice Vʼ della seconda superfici. Il raggio R2 <0 perchè il punto Cʼ è a sinistra del vertice Vʼ. "

Doppio diottro

A questo punto basta risolvere il problema delle due equazioni accoppiate per ottene qʼ in funzione di p:"

=1− nR2€

1p−nq

=n −1R1

p'= q + ss << qp'= qnq

=1− nR2

1p−nq

=n −1R1

+1− nR1

=1− nR2

−1− nR1

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

V V’ Q Q’

Lunghezza focale della lente sottile in aria

Alla fine, con la condizione s << q, ovvero per le lenti sottili in aria abbiamo ottenuto lʼequazione per i punti conuigati della lente sottile:"

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Se mando uno dei punti coniugati allʼinfinito ottengo lʼequazione per la lunghezza focale della lente sottile:"

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

V V’ Q Q’

Lunghezza focale e punti coniugati

Alla fine si deduce per una lente sottile una relazione importante fra lunghezza focale e posizione dei punti coniugati:"

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

La somma dei reciproci delle distanze coniugate è uguale al reciproco della lunghezza focale. La formula può anche essere scritta come:"

=1f€

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

p =f ⋅ qf − q

q =f ⋅ pf − p

Lunghezza focale della lente sottile in un liquido

Se sostituisco lʼaria con un liquido trasparente di indice di rifrazione nliq e la lente ha un indice di rifrazione nvetro, le formule appena viste diventano, per i punti coniugati:"

= 1− nvetronliq

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Per la lunghezza focale della lente immersa nel liquido:"

= 1− nvetronliq

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Potere diottrico della lente

Assieme alla lunghezza focale di una lente si definisce anche il potere diottrico D. Esso è banalmente il reciproco della lunghezza focale: "

Lʼunità di misura del potere diottrico è la diottria, che si misura in m-1."€

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Costruzione dell’immagine di una lente

Anche le lenti come i diottri creano immagini. Per capire come ciò accade dobbiamo analizzare il percorso dei raggi luminosi:"

Lʼimmagine del punto S sarà proiettata nel punto Sʼ che corrisponde allʼincrocio fra il raggio passante per il centro C della lente e quella passante per il fuoco F2. "

Ingrandimento lineare

Lʼimmagine è rovesciata e la sua dimensione rispetto allʼoriginale è data dal rapporto G, detto ingrandimento lineare:"

G =S'CSC

f − p=f − qf

Lenti convergenti e immagine reale

Nel costruire lʼimmagine di un oggetto possiamo notare che se la distanza fra oggetto e lente è maggiore della lunghezza focale (p > f) allora lʼimmagine sarà rovesciata e posta in un punto dallʼaltra parte della lente ad una distanza maggiore di f (q > f). Questa è detta immagine reale dellʼoggetto. "

Lenti convergenti e immagine reale

Se poniamo un oggetto nel piano che contiene il primo fuoco (primo piano focale) (p=f) allora lʼimmagine sarà rovesciata e posta allʼinfinito (q=∞). "

Lenti convergenti e immagine virtuale

Se la distanza fra oggetto e lente è minore della lunghezza focale (p < f) allora non si formerà nessuna immagine reale dellʼoggetto. Invece quello che avremo è che i raggi uscenti dalla lente sembrano provenire da unʼimmagine virtuale posta in un punto dalla stessa parte della lente ad una distanza maggiore di f (-q > -f). Questa è detta immagine virtuale dellʼoggetto. Lʼimmagine virtuale non è rovesciata."

Tipi di lenti

Finora ci siamo occupati solo di lenti che sono chiamate biconvesse."Esistono in realtà vari tipi di lenti a seconda del segno della curvatura delle superfici:"

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Raggi di curvatura delle lenti

Utilizzare la formula:"

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Richiede una certa attenzione ai segni di R1 e di R2. Per non sbagliarsi bisogna considerare il centro della superficie sferica della lente. Se esso nella figura è a destra della superficie allora R>0 se esso è a sinistra allora R<0. Questo vuol dire che se superficie è così ( allora R>0 se invece è così ) allora R<0. "

Lenti convergenti e divergenti

Utilizzando la formula:"

= (1− n) 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Possiamo classificare le lenti a seconda del segno di f in lenti convergenti (f>0) e lenti divergenti (f<0)."Nella figura le prime tre sono convergenti le ultime tre divergenti."

Lenti divergenti

Le lenti divergenti sono caratterizzate da una lunghezza focale negativa. In questo casi si creano solo immagini virtuali che sono sempre più piccole dellʼoggetto originale. Le immagini virtuali non sono rovesciate e sono dalla stessa parte dellʼoggetto. Anche per le lenti divergenti sarà valida la solita equazione per i punti coniugati. Essendo f negativo avemo anche q negativo. Il modulo di q ci darà la distanza dellʼimmagine virtuale dalla superficie della lente."

Funzionamento dell’occhio

Lʼocchio è un sistema ottico biologico i cui componenti principali sono: la cornea, lʼumor acqueo, lʼumor vitreo (n~1.33), il cristallino (n~1.44), lʼiride, la retina."

Bib: Scannicchio Cap. 23.2

L’occhio come sistema ottico

Siccome la cornea, lʼ umor acqueo, lʼ umor vitreo hanno lo stesso indice di rifrazione, lʼocchio può essere immaginato come un diottro con n2~1.33 che contiene una lente, il cristallino con n3~1.44."Se ho un punto O, a distanza p dalla cornea, il diottro crea una immagine reale di O in un punto coniugato a distanza qʼ dalla cornea, data da:"

=n2 − n1R12

A questo punto lʼimmagine reale in qʼ diviene il punto di partenza su cui agisce il cristallino ovvero il primo punto coniugato del cristallino. Esso è posto ad una distanza δ-qʼ dal cristallino stesso. Applicando a questa distanza la legge dei punti coniugati di una lente biconvessa immersa in un liquido ottengo:"

1δ − q'

q −δ= 1− n3

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 1R32

−1R23

⎝ ⎜

⎠ ⎟

= 1− nvetronliq

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ 1R2

−1R1

⎝ ⎜

⎠ ⎟

In un occhio sano la distanza fra cornea e retina è D~ 22 mm. "I valori di R12 = 8 mm ed R32= 6 mm sono costanti mentre il valore R23 può variare da circa 10 mm a circa 6.78 mm. Utilizzando questi valori si ottiene che lʼocchio sano può mettere a fuoco immagini poste tra lʼinfinito e circa 25 cm. "

1δ − q'

q −δ= 1− n3

⎝ ⎜

⎠ ⎟ 1R32

−1R23

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Acuità visiva

La dimensione d dellʼimmagine di un oggetto di grandezza L che viene generata sulla retina è data da: "

d ≈ L Dp

Il limite alla capacità visiva dellʼocchio (acuità visiva) è data dalla distanza fra i fotorecettori sulla retina (coni e bastoncelli). La distanza è circa 5 μm. "

Se ne deduce che lʼocchio non è in grado di distinguere due punti posti ad una angolo inferiore di 3×10-4 radianti."

d ≈ L Dp

= Dsinθ

= sinθ ≈ θ

Il meccanismo della visione

La fotocamera ha come elementro che registra lʼimmagine la pellicola fotografica. Lʼocchio ha la retina. La retina è disseminata di cellule sensibili alla luce dette fotorecettori. I fotorecettori sono di due tipi. I bastoncelli sono in grado di trasformare la luce in segnale elettrico ma percepiscono solo in bianco e nero. I coni invece percepiscono anche il colore."

La retina

La retina ha due aspetti curiosi. Il primo è che è una struttura invertita. I fotorecettori anzichè essere sulla superficie della retina sono nella sua parte più profonda ed inviano gli impulsi elettrici verso cellule più esterne. Il secondo è che la retina non è uniforme. Esiste una zona detta fovea dove la visione è più chiara ed una zona cieca dove non cʼè visione. "

Visione diurna e notturna

Esistono due tipi di visione. Quella diurna, o fotopica; avviene quando lʼilluminazione è intensa ed è dovuta ai coni. È quindi una visione a colori."Quella notturna, o scotopica, avviene con scarsa illuminazione ed è dovuta ai bastoncelli. Questa è una visione in bianco e nero. "

I bastoncelli sono così sensibili che bastano solo dai 5 ai 7 fotoni per provocare una sensazione di luce. Sono quindi molto vicini al limite teorico invalicabile di sensibilità."

I coni hanno una sensibilità 1000 volte inferiore, ma possono distinguere i colori. Esistono infatti tre tipi di coni che reagiscono in modo differente a colori. "

Visione cromatica

Nellʼocchio sano esistono tre tipi di coni: rossi, verdi e blu. Ciascuno dei tre ha una risposta differente al colore, come illustrato nel diagramma. "

Il massimo della risposta si ha per le lunghezze dʼonda di 419 nm (blu), 525 nm (verde), 559 nm (rosso). Ogni radiazione di un certo colore corrispondente ad una certa lunghezza dʼonda corrisponderà ad una ben precisa terna di risposte dei tre coni e questo permette di riconoscere il colore da parte del cervello. "

Il microscopio semplice

Il microscopio semplice è formato da una lente che permette di ingrandire lʼimmagine che si forma sulla retina di un dato oggetto. "Sappiamo che lʼocchio non riesce a distinguere due punti la cui immagine sulla retina dista meno di 5μm. Quindi è importante che lʼimmagine di un oggetto sulla retina sia più grande possibile. "

Per avere lʼimmagine sulla retina di un oggetto più grande possibile bisogna avvicinare lʼoggetto. Esiste però un limite di 25 cm al di sotto del quale lʼocchio non riesce a mettere a fuoco lʼimmagine. Calcoliamo ora il dettaglio più piccolo che un occhio riesce a vedere. Come si vede dalla figura il rapporto fra oggetto ed immagine è dato dalla distanza della retina D ~ 20 mm diviso la distanza dellʼoggetto p > 25 cm. "

Se lʼimmagine sulla retina di un dettaglio è più piccola di 5μm, il dettglio non è visibile. Per un distanza di 25 cm si ottiene che qualunque dettaglio più piccolo di 62.5 μm è invisibile a occhio nudo. "

Se metto una lente convergente fra lʼocchio e lʼoggetto la situazione cambia. Per essere utile la lente deve essere messa ad una distanza dallʼoggetto inferiore alla sua lunghezza focale. In questo caso si formerà una immagine virtuale dalla stessa parte dellʼoggetto. La posizione dellʼimmagine sarà data dal punto coniugato a quello in cui metto lʼoggetto."

Per capire se la lente è utile debbo calcolare la dimensione dellʼimmagine virtuale. "

Se la lente è posta vicino allʼocchio quello che conta è il rapporto fra dimensione dellʼimmagine virtuale e sua distanza:"

A'B'AB

f − p=f − qf

A'B'A'C

=A'B'q

= ABqp1q

= AB f − qqf

Da questa fomula sembrerebbe che per q piccolissimi io possa avere il massimo effetto. "

A'B'A'C

=AB f − qqf

In realtà lʼimmagine virtuale per essere visibile dallʼocchio deve essere ad una distanza |q| > 25 cm. Quindi il limite allʼingrandimento dellʼimmagine è dato dalla distanza minima dellʼimmagine virtuale, cioè da q = -25cm. Ricordiamoci che quando lʼimmagine è virtuale la formula dei punti conuigati dà un q negativo. Otteniamo quindi per q = -25cm: "

A'B'A'C

= AB −0.25 − f−0.25 f

Il microscopio semplice: fattore di ingrandimento

Questa ultima formula può essere semplificata osservando che ACʼ è la distanza |q| =0.25cm. Quindi:"

A'B'0.25

< AB −0.25 − f−0.25 f

A'B' = AB 0.25 + ff

G =A'B'AB

=0.25f

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Alla fine utilizzando una sola lente posso sostiture lʼoggetto reale con una sua immagine virtuale a 25cm di distanza più grande dellʼoriginale di un fattore di ingrandimento: 0.25/f +1. "

Il microscopio composto

In teoria con il microscopio semplice ed una lunghezza focale cortissima si potrebbe ottenere qualunque ingrandimento. In realtà la qualità dellʼimmagine si deteriora a causa delle abberrazioni quando la distanza fra oggetto e lente diviene piccola rispetto alle dimensioni della lente stessa. In pratica per valori della lunghezza focale al di sotto di f=12 mm non si ottiene più una immagine utilizzabile. "

Una f=12 mm significa un fattore di ingrandimento G = 20. Quindi si possono vedere dettagli fino a 60 μm /20, cioè 3 μm. "

Per superare questo limite bisogna utilizzare due lenti dette obiettivo ed oculare. "

Obiettivo ed oculare

Il microscopio composto è fatto di due lenti poste ad una distanza di circa 16 cm. Lʼobiettivo è la lente convergente posta vicino allʼoggetto. Essa ha una lughezza focale f1 molto corta. Il compito dellʼobiettivo è quello di creare vicino allʼoculare una immagine reale dellʼoggetto che è posto poco oltre il punto focale f1. "

160 mm

Obiettivo ed oculare

Lʼoculare è la lente convergente posta vicino allʼocchio. Essa ha una lughezza focale f2. Il compito dellʼoculare è quello di creare una immagine virtuale, a distanza di 25 cm, dellʼimmagine reale fornita dallʼobiettivo. "

Il microscopio composto: fattore di ingrandimento

Il fattore di ingrandimento G del microscopio composto è il rapporto fra la dimensione dellʼoggetto e la sua immagine virtuale creata dallʼoculare a una distanza di 25 cm dallʼocchio. Per calcolarla bisogna prima determinare il rapporto G1 fra oggetto e immagine reale di esso:"

160 mm

f1 €

G1 ≈0.16f1

Il microscopio composto: fattore di ingrandimento

Si ottiene infine un fattore G dato dalle due lunghezze focali:"

160 mm

G =G1G2 ≈0.16f1

0.25f2

⎝ ⎜

⎠ ⎟

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