ONDAIl concetto di onda, assieme a quello di particella, è fondamentale

nella descrizione classica del mondo fisico.Una qualsiasi perturbazione (originata da una

sorgente), impulsiva o periodica, che si propaga con velocità v, trasportando energia

senza che vi sia trasporto effettivo di materia.

Le onde meccaniche (per es. onde del mare, in una corda, suono) hanno bisogno di un mezzo materiale per

propagarsi,le onde elettromagnetiche (oscillazioni di campi elettrici

e magnetici) no.

• Fenomeni molto diversi tra loro, quali le onde del mare, il suono, la luce, i segnali radio, i terremoti, la “ola” allo stadio … hanno in comune la caratteristica di essere onde.

• Le proprietà che si possono dedurre a partire dall’esempio concreto di un’onda meccanica che si propaga in una corda sono generali, riguardano cioè le onde di ogni genere, e possono essere descritte matematicamente in modo analogo

x

y

x

y

Descrizione matematica della propagazione

Consideriamo una perturbazione su una corda:

Funzione y = f(x) che ne descrive graficamente la forma:x

y

y = f(x)

per esempio f (x) = 11+ x2

Come descrivere matematicamente il fatto che la perturbazionesi sposta verso destra lungo la corda?

v

Traslazioni e funzione d’onda

y

x

t = 0y = f(x)

x

t = 1y = f(x – d)

d

x

t = 2y = f(x-2d)

2d

f(x) descrive la forma dell’ondafotografata all’istante t = 0

f(x’), x’ = x - ddescrive la stessa forma fotografata all’istante t = 1spostata di una distanza dverso destra

Posto d = v, f(x-vt) descrive la stessa forma in moto verso destra con velocità vf(x+vt) descrive la stessa forma in moto verso sinistra con velocità -v

Funzione d’ondaUna espressione matematica del tipo

y(x,t) = f(x – vt)

descrivere una “forma” f - uno stato fisico - che si muove - “si propaga” - senza deformazionelungo l’asse x nel verso positivo

Può rappresentare una grande varietà di grandezze fisiche (deformazione in un solido, pressione in un gas, campo elettrico o magnetico …)

Onde periodicheGli esempi più rilevanti di onde non sono costituiti da brevi impulsi, ma consistono di onde periodiche (il disegno dell’onda si ripete molte volte senza cambiare):

λ

Periodo T = tempo necessario perchè una lunghezza d’onda passi per un dato puntoma anche: tempo necessario perchè un punto x compia un’oscillazione completa

Se l’onda viaggia con velocità v: λ = vT

Frequenza f = 1 / T è f λ = v

Lunghezza d’onda λ = distanza tra due creste successivepunti “in fase”

x

y

λ

Relazione fra lunghezza d’onda λ e frequenza f: per misurare la frequenza dell’onda, conto quante creste d’onda passano in 1 sper un determinato punto:

In 1 secondo passano v metri di onda. Se li dividiamo per la lunghezza d’onda λ otteniamo il numero di creste che passano in un secondo, cioè la frequenza. Quindi la relazione tra frequenza e lunghezza d’onda è :

f = vλ

Onde armonicheCaso particolarmente importante: se il moto oscillatorio in un

punto x (ad es. l’estremo della corda) è armonico semplice, la funzione d’onda diretta verso destra è:

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f (x, t) = ymsenk x − vt( )Forma dell’onda a t = 0: lo spostamento trasversale si ripete in x, x+λ, x+2λ,…

f (x, t) = ymsen kx −ωt( )

k = 2πλ

kv=ω

ym x2

ym = ampiezza: massimo spostamento di ciascun punto dalla posizione di equilibrio

kx – ωt = fase

Frequenza angolare o pulsazione:

forma più generale:

f (x, t) = ymsen kx −ωt +ϕ( )

φ = costante di fase

Perchè sono importanti le onde armoniche

Teorema di Fourier:Qualsiasi onda periodica può essere espressa come risultante di onde armoniche di determinate frequenze.

Equazione differenziale del moto di un’onda

• In generale un’onda che si muove lungo la direzione x sarà rappresentata da una funzione d’onda f(u) con u = x ± vt.Calcolo le derivate prime rispetto a x e t:

• Derivando un’altra volta:ufv

tu

uf

tf

uf

xu

uf

xf

∂

∂±=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂

2

2

22

2 1tf

vxf

∂

∂=

∂

∂Equazione di d’Alembert

Tutte le funzioni d’onda f(x±vt) sono soluzione dell’equazione di d’Alembert

Esercizio 1

Verificare che un’onda armonicay = yosen[k(x-vt)]

soddisfa l’equazione d’onda.

Esempio 2

• Un diapason vibra con una frequenza di 440 Hz. Se la velocità del suono nell’aria è 340 m/s, trovare la lunghezza d’onda del suono.

• La luce si propaga nel vuoto con una velocità di 3.108 m/s. Trovare la lunghezza d’onda che corrisponde a una frequenza di 5.1014 Hz (luce rossa).

λ = 600 nm

λ = 0.773 m

Esercizio 3Data la funzione d’onda armonica

y(x,t) = 10 sen 2π(2x – 100t) m(dove x è espresso in metri e t in secondi),trovare:a) l’ampiezza;b) la lunghezza d’onda;c) la frequenza;d) la velocità di propagazione.

Esercizio 4Data la funzione di un’onda in una corday = 0.03 sen (3x – 2t) dove le lunghezze sono

espresse in metri e t in secondi, trovare:a) all’istante t = 0, lo spostamento in x = 0.3 m;b) nel punto x = 0.1 m, lo spostamento per t = 0.2 s;c) la velocità di oscillazione delle particelle

costituenti la corda;d) la velocità di propagazione dell’onda.e) la massima velocità trasversale di una particella

sulla corda.

esercizio

Scrivere la funzione d’onda per un’onda armonica che viaggia nella direzione negativa dell’asse x con: ampiezza A = 0.10 m, frequenza f = 550 Hz e velocità v = 330 m/s.

ONDA• Perturbazione che si propaga con velocità v, trasportando

energia senza che vi sia trasporto effettivo di materia• Le onde meccaniche hanno bisogno di un mezzo materiale per

propagarsi, le onde elettromagnetiche no.• Descrizione matematica della propagazione lungo x:

Funzione d’onda

• Equazione d’onda:

• Onde armoniche:

f (x, t) = f (x ± vt)

2

2

22

2 1tf

vxf

∂

∂=

∂

∂

f (x, t) = ymsenk x − vt( ) k = 2πλ

f (x, t) = ymsen kx −ωt( ) kv=ωym x2

Classificazione:onde longitudinali e trasversali

• Longitudinali:se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione parallela alla direzione di propagazione dell’onda (ad es. le onde sonore)

• Trasversali:se le particelle del mezzo oscillano lungo una direzione perpendicolare alla direzione di propagazione dell’onda (ad es. le onde in una corda tesa, onde elettromagnetiche)

Esempio di onda meccanica trasversale:perturbazione che si propaga lungo una corda tesa

Considerazioni generali:

Se in un qualche punto si comunica alla corda una perturbazione | alla corda stessa, si osserva che la deformazione prodotta si

propaga lungo la corda con v ∝ T (tensione), e inversamente ∝ µ (massa per unità di lunghezza).

Ricaviamo l’espressione della velocità di propagazione v:

• Per oscillazioni sufficientemente piccole: T = costante, α1 e α2 piccoli

• Componenti della forza risultante sull’elemento di corda dx:

( ) 0coscos 12 ≅−= ααTFx

( ) ( ) 2

212

1212 tantantydx

xy

xyTTsensenTFy ∂

∂=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂=−≅−= µαααα

2

2

2

2

ty

xyT

∂

∂=

∂

∂⇒ µ 2

2

2

2

ty

Txy

∂

∂=

∂

∂ µ

µTv

v=→= 2

1

α2α1

N.B. la velocità di propagazione dell’ondadipende dalle caratteristiche del mezzo

Velocità trasversaleN.B. Non si confonda la velocità di propagazione diun’onda con la velocità di oscillazione intorno alla posizionedi equilibrio di ciascun elemento del mezzo(ad esempio, ciascun elemento di una corda)

Energia trasportata da un’onda• Un’onda si propaga perchè ogni parte del mezzo comunica

il moto alle parti adiacenti.• Si dice intensità I l’energia trasmessa per unità di superficie

e di tempo perpendicolarmente alla direzione di propagazione:

I = !"!#!$

[W/m2]

• In un’onda meccanica armonica ogni punto compie un’oscillazione armonica; si può dimostrare che I ∝ω 2A2v

L’energia di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezzae della frequenza (risultato valido in generale)

Principio di sovrapposizione(già incontrato in Fisica)

• Se due o più onde attraversano contemporaneamente la stessa regione, l’onda risultante è la loro somma

Matematicamente:y’(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t)se y1 e y2 sono soluzioni dell’equazioned’onda, anche y1 + y2 lo è

Le onde sovrapposte non si disturbano vicendevolmente

Interferenza• La perturbazione risultante può produrre sulla corda un

rafforzamento o una soppressione dello spostamento di ogni punto sulla corda (la propagazione dell’onda non viene alterata)

• Per due onde sinusoidali che sipropagano lungo la stessa direzionela “costruttività” dell’interferenzadipende dalla differenza di fase Δφ

Due onde si dicono “in fase” quando le creste e le valli sono allineate come in figura (a)

onde stazionarieConsideriamo due onde che si propagano lungo un corda tesa in versi opposti (ottenibile fissando un estremo, che genera un’onda riflessa):y1(x,t) = ymsen(kx+ωt)y2(x,t) = ymsen(kx-ωt)

Non compare più l’argomento (kx±ωt) tipico di un’onda che si propaga, ma un’oscillazione armonica semplice di pulsazione ωuguale in ogni punto della corda e ampiezza funzione della posizione.

Se entrambi gli estremi della corda sono fissi, quali sono le onde stazionarie che si possono formare?

senα + senβ = 2sen 12α +β( )cos 1

2α −β( )

y(x, t) = y1(x, t)+ y2 (x, t) = 2ymsenkxcosωt

onde stazionarieEsiste una serie discreta di lunghezze d’onda λn e di frequenze fn:tali frequenze sono dette frequenze proprie del sistema oscillante.

L = n λ/2, n = 1, 2, …ovvero λn = 2L/n, n = 1, 2, … fn = v/λn = n v/2L, n = 1, 2, …

risonanza

Se la corda viene sollecitata con una delle frequenze proprie, si ha un fenomeno di risonanza.

Spettacolari effetti meccanici:https://www.youtube.com/watch?v=XggxeuFDaDU

Onde stazionarie: richiami

esercizioUna corda di chitarra in nylon ha una massa lineica di 7.20 g/m ed è sottoposta a una tensione di 150 N. I supporti fissi distano 90.0 cm. La corda oscilla secondo lo schema di onda stazionaria in figura:

Calcolare: a)La velocità, b) la lunghezza d’onda, c) la frequenza delle onde la cui sovrapposizione dà quest’onda stazionaria

esercizioUna fune, sottoposta a una tensione di 200 N e fissata ad entrambe le estremità, oscilla con un’onda stazionaria di 2a armonica secondo la:

Trovare:1) La lunghezza L della fune [L = 4 m]

2) La velocità v dell’onda [v = 24 m/s]

3) La massa M della fune [M = 1.39 kg]

4) Il periodo di oscillazione della 3a armonica [T3 = 0.11s].

y(x, t) = 010sen π2x

!

"#

$

%&cos 12π t( )

[x in m, t in s, x = 0 ad un'estremita' della fune]

generalizzazioneIn generale un’onda si può propagare nello spazio in

tutte le direzioni; viene descritta da una funzione d’onda f(x,y,z,t).

Casi particolari:

onde piane

( )txffzf

yf ,0 =⇒=

∂

∂=

∂

∂

i fronti d’onda (i punti dello spazio in cui l’onda è in fase) sono piani perpendicolari alla direzione di propagazione

x

y

z

onde sferiche

i fronti d’onda sono sfere che si allontanano radialmente dalla sorgente

•r

Fronte d’onda: luogo dei punti che hanno la stessa fase

Fronte d’ondapiano

Fronte d’onda piano

Fronte d’ondasferico

Fronte d’ondasferico

Effetto Doppler

La frequenza di un’onda percepita da un osservatore può essere diversa da quella prodotta dalla sorgente

Si verifica quando sorgente e osservatore sono in moto relativo.

Il fenomeno fu evidenziato per la prima volta con le onde sonore, ma si osserva in tutti i tipi di onde.

Physics Nobel prize 2019https://www.nobelprize.org/

Schema dello spettrografo

velocità

ondoscopio

x

zy

esercizio

Analizzando il comportamento meccanico di un fondale basso (profondità << λ) d’acqua si ottiene l’equazione:

dove h è la profondità all’equilibrio e y è lo spostamento dall’equilibrio.Trovare la velocità di propagazione dell’onda.

∂2y∂x2

−1gh

∂2y∂t2

= 0

h x

y

Dimostrazione:nel caso di onda armonica in una corda tesa

x

y

Tα

ds