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Numeri di Fibonacci e Sezione Aurea

Francesca Benanti

Dipartimento di Matematica ed Informatica Università degli Studi di Palermo, Via Archirafi 34, 90123 Palermo

Tel: 09123891105 Email: fbenanti@math.unipa.it

1 LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO CLASSICO UMBERTO, a.a. 2015-2016

Fibonacci

Spesso ci riferiamo al periodo europeo del medioevo come ai secoli bui, nonostante si sia trattato di un periodo molto “illuminato” dal punto di vista scientifico rispetto a quello che normalmente si crede. Molte, infatti, le scoperte nel campo della fisica e della chimica e della astronomia. C’è tuttavia una sfera del sapere medievale per la quale l’espressione “secoli bui” è adatta: La Matematica. Fino all’inizio del XIII secolo erano stati compiuti pochi progressi in ambito matematico a causa dello scomodo e inefficiente sistema di enumerazione in uso in quel periodo, il sistema di numerazione romano.

Fibonacci

Il sistema di numerazione decimale, sviluppato inizialmente in india nel III sec. a.C., fu poi introdotto nel mondo arabo intorno al VII o VIII sec. d.C.. Il sistema indo-arabo giunse per la prima volta in Europa nell’anno mille grazie al contributo di papa Silvestro II, ma all’epoca passò quasi inosservato. Venne reintrodotto in modo molto più pratico qualche secolo dopo da un mercante italiano, Leonardo da Pisa, figlio di Bonacci, più comunemente noto come Fibonacci.

Leonardo Pisano detto il Fibonacci

fu un matematico italiano, considerato come uno dei più grandi matematici di tutti i tempi.

Contribuì alla rinascita delle scienze esatte dopo la decadenza dell'Età Tardo Antica e del basso Medioevo. Con lui, in Europa, ci fu il connubio fra i procedimenti della geometria greca euclidea (gli Elementi) e gli strumenti matematici di calcolo elaborati dalla scienza araba e alessandrina.

Fibonacci

LABORATORIO DI ALGEBRA, PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE, LICEO CLASSICO UMBERTO, a.a. 2015-2016

La maggior parte delle notizie su Leonardo Fibonacci provengono dalle sue stesse opere, in particolare dal Liber Abaci. La sua data di nascita non è conosciuta, ed è stata oggetto di varie congetture; oggi si tende a situarla poco dopo il 1170. Da fanciullo il padre Guglielmo lo condusse con sé a Bugia, una città nei pressi dell'attuale Algeri, dove era funzionario del comune di Pisa. Qui Leonardo apprese le prime nozioni di matematica, che poi perfezionò nel corso di numerosi viaggi in tutto il Mediterraneo, che gli valsero il soprannome di Bigollo. Tornato in patria, scrisse nel 1202 il Liber Abaci, opera che gli procurò una vasta fama. Non si sa se successivamente Fibonacci sia rimasto a Pisa, o se abbia ripreso i suoi viaggi per il mondo, mancando completamente sue notizie fino al 1220, quando pubblicò un'altra opera, la Practica Geometriae.

Fibonacci

Nel 1226 incontrò a Pisa l'imperatore Federico II, con la cui corte rimase in seguito in ottimi rapporti: la revisione del Liber Abaci del 1228 è dedicata al filosofo imperiale Michele Scoto. Sono anche di quegli anni tre operette, minori solo per lunghezza ma non per importanza: il Liber Quadratorum, il Flos e la Epistola ad Magistrum Theodorum. Di due altre opere, un Commento al decimo libro degli Elementi di Euclide e un Libro di minor guisa, probabilmente un compendio del Liber Abaci, si conoscono solo i nomi, senza che si sappia nemmeno quando furono composte. Un documento del 1241, con il quale il Comune di Pisa gli conferisce una pensione, prova che era ancora in vita a quella data. Da quel momento di Leonardo Pisano non si hanno più notizie.

Fibonacci

Il Liber Abaci Il Liber Abaci vide la luce nel 1202. In esso Fibonacci inserì il sapere appreso durante le sue peregrinazioni nei paesi arabi e per il Mediterraneo, unendovi come lui stesso dice riflessioni ed elaborazioni proprie. Il risultato è un'opera che supera per mole e compete per dottrina con i suoi modelli, e che resterà per molto tempo insuperata nel panorama della matematica occidentale. Non c'è settore della matematica commerciale che non trovi il suo spazio nel Liber Abaci: dalle compagnie ai prestiti, dai cambi alla fusione delle monete, dalle vendite ai baratti, tutto esposto con sistematicità e con una serie di esempi tratti dalle operazioni commerciali correnti. Per la cultura matematica europea il Liber Abaci rappresentò un'opera dirompente; per il commercio, che stava superando i limiti della gestione familiare per assumere dimensioni europee, fu la base per una contabilità precisa e affidabile.

Fibonacci

Con la pubblicazione del suo trattato, Fibonacci riuscì a convincere i suoi colleghi europei che il sistema decimale era di gran lunga superiore a quello romano. A questo scopo egli creò una serie di enigmi che questo nuovo sistema permetteva di risolvere facilmente. Fu dopo la pubblicazione del suo libro che si verificò un vero e proprio “decollo” della matematica, che sarebbe diventata una scienza stimolante in tutta Europa, influenzando quel ritorno del sapere noto come Rinascimento, che ebbe inizio in Italia all’inizio del Trecento.

Fibonacci

Numeri di Fibonacci

Enigma dei Conigli:

Attività 1

Numeri di Fibonacci

Soluzione:

Inizio:

Dopo un mese:

Dopo due mesi:

Dopo tre mesi:

Numeri di Fibonacci

Dopo quattro mesi:

Dopo cinque mesi:

Dopo sei mesi:

Soluzione:

Numeri di Fibonacci

Numeri di Fibonacci Soluzione ad albero:

Numeri di Fibonacci

Attività 2

Divertiamo ancora un po’……….

soluzione

Numeri di Fibonacci

Nasce così la celebre successione di Fibonacci:

F0=1 F1=1 Fn=Fn-2 +Fn-1

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …

I numeri di Fibonacci godono di una gamma stupefacente di proprietà, si incontrano nei modelli matematici di svariati fenomeni e sono utilizzabili per molti procedimenti computazionali.

Numeri di Fibonacci

Proprietà 1

Proprietà 2

Numeri di Fibonacci e Triangolo di Tartaglia

Numeri di Fibonacci e Numero Aureo

Proviamo a calcolare le potenze di

Un’altra relazione

DUALITA’

Numeri di Fibonacci e

spirale logaritmica di Fibonacci

Spirale di fibonacci

Spirale logaritmica di Fibonacci e natura

Spaccato di una conchiglia di un Nautilus con le cavità disposte approssimativamente secondo una spirale logaritmica

I bracci delle galassie sono approssimativamente spirali logaritmiche. Si pensa che la nostra stessa galassia, la Via Lattea, abbia quattro bracci spirali principali, ciascuno dei quali è una spirale logaritmica con inclinazione di circa 12 gradi.

Spirale logaritmica di Fibonacci e natura

Numero Aureo Natura e Arte

Paperino e il mondo della Matemagica

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