MOTO UNIFORMEMENTE

ACCELERATO

RACCOLTA DI ESERCIZI CON SOLUZIONE

Lorenzo Andreassi

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Ecco a voi una raccolta di esercizi sul moto uniformemente accelerato. Sono tutti

esercizi da svolgere con soluzione finale.

BUON LAVORO!

ESERCIZI SVOLTI DI CINEMATICA

1. Un treno A parte da Valencia alle ore 12:00 diretto verso Barcellona, distante 350  𝐾𝑚 , viaggiando ad una velocità media costante di 100  𝐾𝑚 ℎ . Un secondo treno B parte da Barcellona diretto verso Valencia alle ore 14:00 e viaggia ad una velocità media costante di 80  𝐾𝑚 ℎ. A che ora e a quale distanza da Valencia i due treni si incontrano?

14: 50;≈ 283  𝐾𝑚 SOL. Dividiamo il problema in due fasi:

a) Dalle 12:00 alle 14:00 si muove solo il treno A, mentre il treno B rimane fermo a Barcellona.

b) Dalle 14:00 in poi si muovono entrambi i treni, l’uno verso l’altro. FASE a) Fissiamo l’origine degli spazi a Valencia, il verso positivo da Valencia a Barcellona e come unità di misura degli spazi il Km. Scegliamo come origine dei tempi l’istante in cui A parte da Valencia. Quindi l’equazione oraria di A è:

𝑠 = 100  𝑡 Quando parte il treno B da Barcellona, cioè quando 𝑡 = 2  ℎ  si ha che la posizione di A è 𝑠 = 𝑠 2  ℎ = 100   ∙ 2 = 200  𝐾𝑚 . FASE b) Ora fissiamo una nuova origine degli spazi nel punto in cui si trova A alle 14:00 ( cioè come abbiamo appena visto a 200 Km da Valencia). Il verso positivo degli spazi è lo stesso di prima , ovvero da Valencia a Barcellona, e l’unità di misura ancora in Km. Fissiamo come nuova origine dei tempi l’istante in cui parte B da Barcellona. Con queste premesse le equazioni orarie dei due treni sono:

𝑡𝑟𝑒𝑛𝑜  𝐴: 𝑠 = 100  𝑡𝑡𝑟𝑒𝑛𝑜  𝐵: 𝑠 =  −80  𝑡 + 350 − 200

Osserviamo che la velocità del treno B è negativa in quanto si muove in verso opposto al nostro verso positivo e inoltre la posizione iniziale del secondo treno è 350 − 200 = 150  𝐾𝑚  poiché nella prima fase del problema A si è avvicinato a Barcellona di 200  𝐾𝑚  (riducendo così la distanza iniziale tra i due treni che era di 350  𝐾𝑚  ). Per determinare l’istante e la posizione dell’incontro basta risolvere il sistema delle due leggi orarie precedentemente scritte, quindi:

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𝑠 = 100  𝑡

𝑠 =  −80  𝑡 + 150      

𝑠 = 100  𝑡

100  𝑡 =  −80  𝑡 + 150      

𝑠 = 100  𝑡

100𝑡 + 80  𝑡 = 150      

 

𝑠 = 100  𝑡

 180  𝑡 =  150      

𝑠 = 100  𝑡

 180180

 𝑡 =  150180

     

𝑠 = 100  𝐾𝑚ℎ   ∙  

56  ℎ = 83,3  𝐾𝑚

 𝑡 =  56  ℎ =  

56   ∙ 60min = 50  𝑚𝑖𝑛

   

Ricordando che l’origine dei tempi in questa FASE b) era fissata alle ore 14:00 e che l’origine degli spazi era stata fissata a 200 Km da Valencia, interpretiamo il risultato del sistema dando la seguente risposta:

• I due treni si incontrano alle 14:50 • In una località posta a circa 283 Km da Valencia.

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2. Una Golf passa alla velocità costante di 108  𝐾𝑚 ℎ davanti ad un autovelox della polizia in un tratto in cui il limite di velocità è di 80  𝐾𝑚 ℎ. L’auto della polizia parte all’inseguimento della Golf dopo 7,20  𝑠  con accelerazione costante di 2,00  𝑚 𝑠!. Calcola quanto tempo impiega la polizia per raggiungere la Golf, dall’istante in cui la Golf era passata davanti all’autovelox, la distanza che la polizia deve percorrere per raggiungerla e la velocità della polizia nell’istante del raggiungimento della Golf.

43,2  𝑠;≈ 1,30  𝐾𝑚;≈ 259  𝐾𝑚 ℎ SOL. Dividiamo il problema in due fasi:

a) Da quando passa la Golf (che d’ora in avanti indicheremo con G) passa davanti all’autovelox a quando parte l’auto della polizia (che d’ora in avanti indicheremo con P)

b) Da quando parte P a quando P raggiunge G. FASE a) Poniamo l’origine degli spazi nel punto in cui è posizionato l’autovelox, il verso positivo degli spazi è quello in cui si muove G e l’unità di misura per gli spazi è il metro 𝑚. L’origine dei tempi è l’istante in cui la G passa davanti all’autovelox e l’unità di misura è il secondo 𝑠. Innanzitutto trasformiamo i dati del problema in modo coerente con le unità di misura scelte:

𝑣! = 108  𝐾𝑚ℎ

= 108   ∙1000  𝑚3600  𝑠

= 30  𝑚𝑠  

L’equazione oraria del moto della G è: 𝑠 =  𝑣!  𝑡       da cui segue che :

   𝑠 7,20  𝑠  =    30  𝑚𝑠   ∙ 7,20  𝑠 = 216  𝑚

FASE b) Per quanto riguarda l’asse degli spazi tutto rimane come nella prima fase. La nuova origine del tempo è l’istante in cui parte P. Il moto dell’auto G è rettilineo uniforme con una posizione iniziale diversa da zero, mentre il moto dell’auto P è un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale nulla e velocità iniziale nulla.

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Pertanto, le leggi orarie delle due auto sono:

𝑎𝑢𝑡𝑜  𝐺: 𝑠 = 30  𝑡 + 216

𝑎𝑢𝑡𝑜  𝑃: 𝑠 =  12  𝑎  𝑡!

Per determinare l’istante in cui P raggiunge G e la posizione in cui il ricongiungimento avviene basta risolvere il seguente sistema :

𝑠 = 30  𝑡 + 216

𝑠 =  12  𝑎  𝑡!

     

12  𝑎  𝑡! =  30  𝑡 + 216

𝑠 =  30  𝑡 + 216

 

l’equazione risolvente di secondo grado in t che si ottiene è la seguente:

12  2  𝑡! − 30  𝑡 − 216 = 0    𝑡! − 30  𝑡 − 216 = 0  𝑡 =

−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐2𝑎

𝑡 =30   ±   900 + 864

2=  30   ± 42

2= −6    𝑛𝑜𝑛  𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒

36            𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒   l’auto P raggiunge l’auto G dopo 36 secondi dall’istante in cui si è messa in moto P. Se aggiungiamo a questo tempo i 7,20 secondi di vantaggio di G allora troviamo la prima risposta al problema:

𝑡 = 36 + 7,20 = 43,20 = 43,2  𝑠 La distanza percorsa dalla P è esattamente la posizione di P corrispondente all’istante 𝑡 = 36  𝑠  

𝑠   36 =  12∙ 2 ∙ 36! = 1296  𝑚   ≈ 1,30  𝐾𝑚

Allo stesso risultato si giunge ovviamente anche con l’altra equazione oraria del sistema (infatti all’istante 𝑡 = 36  𝑠  le due auto occupano la medesima posizione)

𝑠   36 =  30 ∙ 36 + 216 = 1296  𝑚   ≈ 1,30  𝐾𝑚 . Per calcolare la velocità di P nell’istante del sorpasso basta usare la legge oraria della velocità: 𝑣 = 𝑎  𝑡 +  𝑣!  

   𝑣 36 = 2 ∙ 36 + 0 = 72  𝑚 𝑠 = 259,2  𝐾𝑚 ℎ≈ 260  𝐾𝑚 ℎ  .

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3. Un ciclista sta finendo di riparare la gomma che si è bucata quando un

amico passa ad una velocità costante di 3,5  𝑚 𝑠. Due secondi dopo, il ciclista balza sulla sua bicicletta e accelera in modo costante con 𝑎 = 2,4  𝑚 𝑠!, fino a raggiungere il suo amico.

a) Quanto tempo impiega a raggiungere il suo amico (calcola il tempo che trascorre da quando si rimette in sella a quando raggiunge l’amico)?

b) Quale distanza ha percorso in questo intervallo di tempo? c) Qual è la sua velocità quando lo raggiunge?

≈ 4,3  𝑠;≈ 22  𝑚;≈ 10  𝑚 𝑠 SOL. Il problema è molto simile a quello precedente. Chiamiamo il ciclista che inizialmente è fermo con C e l’amico che gli passa accanto con velocità costante A. Dividiamo il problema in due fasi:

a) Da quando A passa accanto a C che sta riparando la gomma a quando riparte C .

b) Da quando riparte C a quando C raggiunge A. FASE a) Poniamo l’origine degli spazi nel punto in cui C sta riparando la gomma della sua bici, il verso positivo degli spazi è quello in cui si muove A e l’unità di misura per gli spazi è il metro 𝑚. L’origine dei tempi è l’istante in cui A passa accanto all’amico e l’unità di misura è il secondo 𝑠.   L’equazione oraria del moto della A è: 𝑠 =  𝑣!  𝑡       da cui segue che :

   𝑠 2,0  𝑠  =    3,5  𝑚𝑠   ∙ 2,0  𝑠 = 7,0  𝑚

FASE b) Per quanto riguarda l’asse degli spazi tutto rimane come nella prima fase. La nuova origine del tempo è l’istante in cui parte C. Il moto di A è rettilineo uniforme con una posizione iniziale diversa da zero, mentre il moto dell’auto C è un moto rettilineo uniformemente accelerato con posizione iniziale nulla e velocità iniziale nulla.

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Pertanto, le leggi orarie dei due ciclisti sono:

𝑎𝑚𝑖𝑐𝑜  𝑑𝑒𝑙  𝑐𝑖𝑐𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎  𝐴: 𝑠 = 3,5  𝑡 + 7,0

𝑐𝑖𝑐𝑙𝑖𝑠𝑡𝑎  𝐶: 𝑠 =  12∙ 2,4  𝑡!

Per determinare l’istante in cui C raggiunge A e la posizione in cui avviene il sorpasso basta risolvere il seguente sistema :

𝑠 = 3,5  𝑡 + 7,0

𝑠 =  12   ∙ 2,4  𝑡!

     

12∙ 2,4  𝑡!  =  3,5  𝑡 + 7,0

𝑠 =  3,5  𝑡 + 7,0

 

l’equazione risolvente di secondo grado in t che si ottiene è la seguente: 12   ∙ 2,4  𝑡! − 3,5  𝑡 − 7,0 = 0    1,2  𝑡! − 3,5  𝑡 − 7,0 = 0  𝑡 =

−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐2𝑎

𝑡 =3,5   ±   12,25 + 33,60

2,4≈  3,5   ± 6,8

2,4≈ −1,4    𝑛𝑜𝑛  𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒

4,3            𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒  

il ciclista C raggiunge l’amico A dopo circa 4,3 secondi dall’istante in cui si è rimesso in moto. Ed ecco la prima risposta al problema:

𝑡 ≈ 4,3  𝑠 La distanza percorsa dalla C è esattamente la posizione di C corrispondente all’istante 𝑡 = 4,3  𝑠  

𝑠   4,3 =  12∙ 2,4 ∙ 4,3! ≈ 22  𝑚  

Allo stesso risultato si giunge ovviamente anche con l’altra equazione oraria del sistema (infatti all’istante 𝑡 = 4,3  𝑠  i due amici occupano la medesima posizione)

𝑠   4,3 =  3,5 ∙ 4,3 + 7 ≈ 22  𝑚   .

Per calcolare la velocità di C nell’istante del sorpasso basta usare la legge oraria della velocità:

𝑣 = 𝑎  𝑡 +  𝑣!      𝑣 4,3 = 2,4 ∙ 4,3 + 0 = 10,32  𝑚 𝑠  ≈ 10  𝑚 𝑠  .

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4. Durante una partita di pallavolo, l’alzatore alza una palla per lo

schiacciatore. La palla, lanciata verso l’alto da un’altezza di 1,8  𝑚 dal suolo, viene colpita dallo schiacciatore proprio nell’istante in cui, giunta ad un’altezza di 2,5  𝑚 dal suolo, ha assunto velocità nulla. Qual è la velocità iniziale impressa alla palla dall’alzatore? Quanto tempo passa da quando la palla è lanciata dall’alzatore a quando è colpita dallo schiacciatore? ≈ 3,7  𝑚 𝑠 ;≈ 0,38  𝑠

SOL. Il problema riguarda il moto di un grave con velocità iniziale non nulla. La prima cosa da fare è fissare come asse degli spazi una retta verticale e fissare l’origine degli spazi nel punto da cui parte la palla. Poi una scelta conveniente è quella di orientare l’asse degli spazi dal basso verso l’alto, così la velocità iniziale risulterà positiva (perché concorde col verso positivo degli spazi) mentre l’accelerazione gravitazionale risulterà negativa (perché discorde con il verso positivo degli spazi). Inoltre conviene fissare l’origine dei tempi nell’istante in cui parte la palla dalle mani dell’alzatore. Da queste scelte segue che la posizione della palla nell’istante in cui viene colpita dallo schiacciatore è la differenza fra la quota a cui viene colpita dallo schiacciatore e la quota da cui viene lanciata dall’alzatore, cioè

𝑠 = 2,5 − 1,8 = 0,7  𝑚.

Le leggi orarie dello spazio e della velocità sono dunque le seguenti:

𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒  𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎  𝑠𝑝𝑎𝑧𝑖𝑜: 𝑠 =  −12  𝑔  𝑡! +  𝑣!  𝑡

𝑙𝑒𝑔𝑔𝑒  𝑜𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎  𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à: 𝑣 =  −𝑔  𝑡 +  𝑣!  

L’istante in cui la palla viene colpita dallo schiacciatore coincide con l’istante in cui la palla raggiunge la sua altezza massima, quindi con l’istante in cui la palla si ferma. Possiamo porre la velocità uguale a zero in questo istante:

0 =  −9,8  𝑡 +  𝑣!      𝑣! = 9,8  𝑡

Se nell’equazione degli spazi inseriamo 0,7  𝑚  al posto di 𝑠   e 9,8  𝑡  al posto della velocità iniziale allora otteniamo:

0,7 =  −12∙ 9,8  𝑡! +   9,8  𝑡 ∙ 𝑡    

   0,7 =  4,9  𝑡!  

   𝑡 =  ±

0,74,9

≈ ±0,38  𝑠

Ovviamente l’unica soluzione accettabile è quella positiva 𝑡   ≈ 0,38  𝑠  . Sostituendo questo valore nell’equazione della velocità, riusciamo a determinare anche il valore della velocità iniziale:

𝑣! = 9,8  𝑡 = 9,8 ∙ 0,38 ≈ 3, 7  𝑚𝑠  

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Con il seguente problema proviamo a complicare un po’ la situazione: ci sono ben tre palline che cadono o vengono lanciate verso il basso o verso l’alto. Vediamo come le solite equazioni delle leggi orarie se ben utilizzate riescono a “sbrogliare la matassa”.

5. Tre palline A, B e C, poste ad una stessa altezza ℎ dal suolo, iniziano a muoversi nello stesso istante 𝑡 = 0 . La pallina A viene lasciata cadere con velocità iniziale nulla; la pallina B viene lanciata verso il basso con velocità iniziale di modulo 𝑣!! = 𝑣!; la pallina C viene lanciata verso l’alto con velocità iniziale di modulo 𝑣!! = 𝑣!. Sappiamo che nell’istante in cui la pallina C raggiunge l’altezza massima, la B tocca terra, mentre contemporaneamente la pallina A si trova a 9,8  𝑚 dal suolo.

a) Calcola il modulo della velocità iniziale 𝑣! (comune alle palline B e C);

b) Calcola il tempo che impiega la pallina B a giungere al suolo; c) Determina la misura dell’altezza ℎ  dal suolo da cui partono le tre

palline; d) Determina l’altezza massima dal suolo raggiunta dalla pallina C; e) Dopo quanti secondi dall’inizio del moto, toccano terra anche le

altre due palline A e C? Chi arriva per prima a terra fra la A e la C?

𝑣! = 9,8  𝑠;  𝑡! = 1,00  𝑠; ℎ = 14,7  𝑚;𝐻 = 19,6  𝑚;  𝑡!  ≈ 1,73  𝑠;  𝑡! = 3,00  𝑠   SOL. La scelta che mi sembra più comoda in questo caso è la seguente: l’asse degli spazi è una retta verticale, il verso positivo è dal basso verso l’alto, l’origine degli spazi è a livello del suolo (e non alla quota da cui partono le tre palline) ed infine l’unità di misura degli spazi è il metro. Per quanto riguarda il tempo la scelta è far partire i tempi dall’istante in cui tutte e tre le palline iniziano a muoversi.

Le leggi orarie delle tre palline sono:

𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐴: 𝑠 =  −12𝑔𝑡! + ℎ

𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐵: 𝑠 =  −12𝑔𝑡! − 𝑣!𝑡 + ℎ

𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐶: 𝑠 =  −12𝑔𝑡! + 𝑣!𝑡 + ℎ

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Le leggi orarie delle velocità sono le seguenti:

𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐴: 𝑣 =  −𝑔𝑡𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐵: 𝑣 =  −𝑔𝑡 − 𝑣!𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐶: 𝑣 =  −𝑔𝑡 + 𝑣!

Sappiamo che nell’istante in cui la pallina C raggiunge l’altezza massima, la B tocca terra, mentre contemporaneamente la pallina A si trova a 9,8  𝑚 dal suolo. C raggiunge l’altezza massima quando la sua velocità diventa nulla, quindi:

0 =  −𝑔𝑡 + 𝑣!      𝑔𝑡 =  𝑣!     #

mentre in questo stesso istante B tocca terra, quindi:

0 =  −12𝑔𝑡! − 𝑣!𝑡 + ℎ  

   0 =  −

12𝑔𝑡! − 𝑔𝑡 ∙ 𝑡 + ℎ  

   32𝑔𝑡!   = ℎ     ∗

e ancora in quest’istante A si trova a 9,8  𝑚 dal suolo, quindi:

9,8 =  −12𝑔𝑡! + ℎ  

    9,8 =  −

12𝑔𝑡! +

32𝑔𝑡!  

   9,8 = 𝑔𝑡!     ∗∗  

da quest’ultima equazione ricaviamo il valore di 𝑡  :

𝑡! =  9,8𝑔      𝑡 =  ±  

9,8𝑔    𝑡 =  ± 1  

   𝑡 =  ±1  𝑠

ovviamente solo la soluzione positiva è accettabile, dunque 𝑡 = 1  𝑠  . Sostituendo questo valore nell’equazione # si ottiene il valore di 𝑣!  :

𝑣! =  𝑔  𝑡 =  9,8 ⋅ 1 = 9,8  𝑚𝑠  

Mentre sostituendo lo stesso valore 𝑡 = 1  𝑠 nell’equazione ∗ si ottiene il valore di ℎ  :

ℎ =  32  𝑔  𝑡! =  

32⋅ 9,8 ⋅ 1! =  14,7  𝑚  

Infine sostituendo 𝑡 = 1  𝑠 nella legge oraria della pallina C ricaviamo qual è l’altezza massima dal suolo raggiunta dalla pallina C.

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𝐻 =  −12𝑔𝑡! + 𝑣!𝑡 + ℎ =  −

12⋅ 9,8 ⋅ 1! + 9,8 ⋅ 1 + 14,7 = 19,6  𝑚  

Per rispondere all’ultima domanda vediamo in che istante la pallina A tocca il suolo:

0 =  −12𝑔𝑡! + ℎ  

   12  𝑔𝑡! = ℎ  

   𝑡! =  

2  ℎ𝑔        𝑡 =  ±

2 ⋅ 14,79,8

=  ± 3  

ovviamente solo la soluzione positiva è accettabile, quindi A tocca il suolo nell’istante 𝑡! =   3  𝑠   ≈ 1,73  𝑠 . Analogamente per determinare l’istante in cui C tocca il suolo bisogna usare l’equazione oraria della pallina C:

0 =  −12𝑔𝑡! + 𝑣!𝑡 + ℎ  

   12  𝑔𝑡! − 𝑣!𝑡 − ℎ = 0  

   4,9  𝑡! − 9,8  𝑡 − 14,7 = 0

equazione di secondo grado completa che può essere semplificata dividendo tutti i coefficienti dell’equazione stessa per 4,9 ottenendo così:

         𝑡! − 2  𝑡 − 3 = 0    

   𝑡 =  

−𝑏 ± 𝑏! − 4𝑎𝑐2𝑎

=  2   ±   4 + 12

2=   −1  𝑛𝑜𝑛  𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒3          𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒  

Dunque C tocca terra dopo tre secondi dal lancio. Le tre palline toccano il suolo in quest’ordine:

𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐴  è  𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑎  𝑎  𝑡𝑜𝑐𝑐𝑎𝑟𝑒  𝑖𝑙  𝑠𝑢𝑜𝑙𝑜: 𝑡!  ≈ 1,73  𝑠𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐵  è  𝑝𝑟𝑖𝑚𝑎  𝑎  𝑡𝑜𝑐𝑐𝑎𝑟𝑒  𝑖𝑙  𝑠𝑢𝑜𝑙𝑜: 𝑡! = 1,00  𝑠𝑝𝑎𝑙𝑙𝑎  𝐶  è  𝑡𝑒𝑟𝑧𝑎  𝑎  𝑡𝑜𝑐𝑐𝑎𝑟𝑒  𝑖𝑙  𝑠𝑢𝑜𝑙𝑜: 𝑡! = 3,00  𝑠

 

Ora prova tu a risolvere i prossimi problemi di cinematica sfruttando in modo opportuno le leggi orarie degli spazi e delle velocità:

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6. Due trenini elettrici A e B si muovono l’uno contro l’altro su un binario rettilineo con velocità costante di modulo 𝑣! e 𝑣! rispettivamente. Quando arrivano ad una distanza prefissata 𝑑  ,   iniziano contemporaneamente a frenare ognuno con decelerazione costante, rispettivamente di modulo 𝑎! = 0,50  𝑚 𝑠! e 𝑎! = 0,20  𝑚 𝑠! . Il gioco consiste nel far fermare i due treni nello stesso istante, proprio quando sono quasi arrivati a contatto (supponiamo che nell’istante in cui i treni si fermano abbiano raggiunto la stessa posizione). Sappiamo che la velocità iniziale del treno A è 𝑣! = 10  𝑚 𝑠,

a) Calcola la velocità iniziale 𝑣! del treno B in modo che il gioco riesca;

b) Determina la durata della frenata, ossia quanto tempo passa dall’inizio della decelerazione al momento dell’arresto dei due treni;

c) Stabilisci a che distanza 𝑑 si trovavano i due treni nell’istante in cui inizia la frenata;

d) Quanto è lunga la frenata di A? e) Quanto è lunga la frenata di B?

7. Due ciclisti Alex e Bob sono inizialmente fermi a 130  𝑚 l’uno dall’altro.

Alex parte per primo e si muove verso Bob con velocità costante di modulo 𝑣! = 5,0  𝑚 𝑠. Dopo 2,0  𝑠 parte Bob che si muove verso Alex con velocità costante di modulo 𝑣! = 3,0  𝑚 𝑠.

a) Dopo quanto tempo dalla partenza di Alex i due ciclisti si incontrano?

b) Calcola lo spazio percorso da Alex e quello percorso da Bob.

8. Una pattuglia della polizia stradale è ferma lungo un viale in cui il limite di velocità è di 80  𝐾𝑚 ℎ . Ad un certo punto sfreccia davanti alla pattuglia un “pirata della strada” che procede alla folle velocità di 144  𝐾𝑚 ℎ . I poliziotti, dopo appena 1,0  𝑠 dal passaggio dell’auto, partono all’inseguimento del “pirata” procedendo con accelerazione costante.

a) Sapendo che dalla partenza della polizia all’istante in cui viene raggiunta l’auto pirata passano 20  𝑠 , calcola l’accelerazione dell’auto dei militari.

b) A che distanza dal posto di blocco viene raggiunta l’auto pirata? c) Che velocità ha la polizia al momento del ricongiungimento?

9. Una biglia di metallo viene lasciata cadere a terra da un’altezza di 19,6  𝑚. Trascurando la resistenza dell’aria ed ogni altro tipo di attrito,

a) calcola dopo quanto tempo tocca terra; b) quale velocità iniziale, diretta verso il basso, bisogna imprimere

alla biglia per farle raggiungere il suolo in metà tempo? c) Se la stessa velocità iniziale ottenuta nel punto b) viene diretta

verso l’alto, dopo quanto tempo la biglia tocca il suolo?

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Liceo “Carducci” Volterra - Classe 3aB Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 2010

Esercizi sul moto rettilineo

uniformemente accelerato

Esercizio 1. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 4 m/s2. Quale sara la sua velocita dopo 7secondi? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo?

Esercizio 2. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 6 m/s2. Quanto tempo impieghera perraggiungere la velocita di 108 km/h ? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo?

Esercizio 3. Un’auto passa da una velocita di 36 km/h a una velocita di 108 km/h in 25 secondi. Qual el’accelerazione? Quanta strada ha percorso durante questo intervallo di tempo?

Esercizio 4. Un’auto sta viaggiando a 90 km/h; sapendo che ha frenato in 15 s, quanto vale l’accelerazione?Qual e lo spazio di frenata?

Esercizio 5. Un’auto aumenta la sua velocita da 72 km/h a 108 km/h percorrendo un tratto di 500 m. Quale la sua accelerazione? Quanto tempo ha impiegato per percorrere questo tratto?

Esercizio 6. Un’auto si muove con accelerazione costante pari a 0, 5 m/s2; sapendo che quando esce da unagalleria lunga 180 m la sua velocita e di 126 km/h, si determini la velocita con cui e entrata nella galleria.

Esercizio 7. Un sasso viene lasciato cadere da fermo da un’altezza di 2 m. Qual e la velocita di impatto conil suolo? Qual e il tempo di caduta? Si tenga presente che l’accelerazione di gravita ha modulo 9, 8 m/s2.

Esercizio 8. Una motocicletta aumenta la sua velocita da 36 km/h a 108 km/h con un’accelerazione pari a 1m/s2. Quanto tempo ha impiegato? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo?

Esercizio 9. Un’auto frena e si ferma in 10 s. Sapendo che in questo intervallo di tempo ha percorso 100 m,determina l’accelerazione e la velocita iniziale.

Esercizio 10. Un’auto passa dalla velocita v0 alla velocita di 30 m/s in 15 s, percorrendo una distanza pari a300 m. Determinare la velocita iniziale v0 e l’accelerazione.

Esercizio 11. Un’auto inizia a frenare quando la sua velocita e di 144 km/h. Sapendo che la sua accelerazione,in modulo, e 6 m/s2, qual e il tempo di frenata? Qual e lo spazio di frenata? Determinare quanta strada hapercorso in 4 s.

Esercizio 12. Fabio e Guido stanno parlando delle loro auto; Fabio dice che la sua auto, da ferma, impiega 6 sper raggiungere la velocita di 100 km/h, mentre Guido afferma che la sua auto, da ferma, raggiunge i 90 km/hin 75 m. Qual e l’auto con la maggiore accelerazione?

Esercizio 13. Un’auto sta viaggiando a 126 km/h quando il conducente vede un ostacolo sulla strada (distante140 m) e inizia a frenare. Tenendo conto del tempo di reazione, pari a 0, 2 s, e del fatto che l’accelerazione e−5 m/s2, dire se ce la fa ad evitare l’ostacolo.

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Esercizio 14. Converti 3 m/s2 in km/h2.

Esercizio 15. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della suavelocita a istanti successivi sono i seguenti:

t (s) 3,5 6,5 9,5 12,5 15,5v (m/s) 4,2 7,4 10,6 13,8 17,0

Determina il valore dell’accelerazione.

Esercizio 16. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della suaposizione a istanti successivi sono i seguenti:

t (s) 4,7 6,5 8,3 10,1 11,9x (m) 2,5 10,96 29,14 57,04 94,66

Determina la velocita iniziale e l’accelerazione.

Esercizio 17. Due auto, inizialmente distanti 200 m, si stanno venendo incontro; la prima viaggia a 108 km/h efrena con accelerazione in modulo uguale a 4 m/s2. La seconda auto viaggia a 72 km/h e frena con accelerazionein modulo uguale a 5 m/s2. Dire se le due auto si scontreranno.

Esercizio 18. Lo spazio di frenata di un’auto e pari a 50 m se la sua velocita iniziale e v0; qual e lo spazio difrenata se la velocita e 2 v0? Si supponga che l’accelerazione sia la stessa in entrambi i casi.

Esercizio 19. Un’auto, inizialmente ferma, impiega 50 s per percorrere 1, 2 km (accelerazione e arresto com-presi). Sapendo che il tempo impiegato per raggiungere la velocita massima e quello impiegato per arrestarsisono entrambi uguali a 10 s, si determini la velocita massima raggiunta e l’accelerazione in partenza.

Esercizio 20. Alice e Barbara fanno una gara sui 100 metri piani; Alice accelera con accelerazione costantepari a 3 m/s2 per 3 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Barbara, invece, accelera con accelerazionecostante pari a 2, 5 m/s2 per 4 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Chi vincera la gara? Con qualedistacco (in metri)?

Esercizio 21. Un’auto parte da ferma e accelera per tre quarti di un certo percorso; successivamente si muovedi moto rettilineo uniforme per l’ultimo quarto del percorso. Sapendo che la velocita massima e pari a 90 km/he che il tempo impiegato totale e 21 s, si determini la lunghezza del percorso e l’accelerazione iniziale dell’auto.

Esercizio 22. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 5 m/s2. Ad un certo istante il corpo passadavanti ad un punto fisso A; 0, 5 s piu tardi passa davanti ad un altro punto fisso B, posto 4 m piu avanti. Quale l’istante in cui passa davanti al punto A? Qual e la distanza di A dal punto iniziale?

Esercizio 23. All’istante t0 = 0 s un’auto parte da ferma e in 10 s raggiunge (con accelerazione costante) lavelocita di 108 km/h; una moto, avente una velocita iniziale di 72 km/h, all’istante t = 0 s la affianca ed iniziaa frenare. Sapendo che la moto impiega 6 s per fermarsi, determinare l’istante in cui l’auto sorpassa la moto.

Esercizio 24. Un automobilista sta viaggiando ad una velocita costante di 54 km/h; ad un certo istante vedediventare rosso un semaforo distante 250 m ed inizia a frenare (con accelerazione costante) per 50 m, poi smettedi frenare e percorre a velocita costante i successivi 200 m arrivando davanti al semaforo quando scatta il verde.Tenendo conto che il rosso resta acceso esattamente per 30 s, si determini l’accelerazione dell’auto durante lafrenata.

Esercizio 25. Un ciclista viaggia ad una velocita costante di 36 km/h; ad un certo punto sorpassa un moto-ciclista fermo. Passati 4 s dal sorpasso, la moto parte con accelerazione costante di modulo pari a 1 m/s2 eraggiunge il ciclista. Qual e la velocita della moto al momento del sorpasso?

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Liceo “Carducci” Volterra - Classe 3aB Scientifico - Francesco Daddi - 8 novembre 2010

Soluzione degli esercizi sul moto

rettilineo uniformemente accelerato

Esercizio 1. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 4 m/s2. Quale sara la sua velocita dopo 7 secondi?Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo?

Soluzione. Applichiamo la formula vf = v0 + a t :

vf = 0 m/s + 4 m/s2 · 7 s ⇒ vf = 28 m/s .

Lo spazio percorso in tale intervallo di tempo e pari a

x− x0 =12· 4 m/s2 · (7 s)2 = 98 m

alternativamente possiamo applicare la formula x− x0 =v0 + vf

2· t :

x− x0 =0 m/s + 28 m/s

2· 7 s = 98 m .

Esercizio 2. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 6 m/s2. Quanto tempo impieghera per raggiungere lavelocita di 108 km/h ? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo?

Soluzione. Applichiamo la formula vf = v0 + a t :

30 m/s = 0 m/s + 6 m/s2 · t ⇒ t = 5 s .

Lo spazio percorso in tale intervallo di tempo e uguale a

x− x0 =0 m/s + 30 m/s

2· 5 s = 75 m .

Esercizio 3. Un’auto passa da una velocita di 36 km/h a una velocita di 108 km/h in 25 secondi. Qual e l’accelerazione?Quanta strada ha percorso durante questo intervallo di tempo?

Soluzione. Applichiamo la formula vf = v0 + a t :

30 m/s = 10 m/s + a · 25 s ⇒ a = 0, 8 m/s2 .

Lo spazio percorso in tale intervallo di tempo e uguale a

x− x0 =10 m/s + 30 m/s

2· 25 s = 500 m ;

alternativamente, possiamo utilizzare la formula x− x0 = v0t + 12 a t2 :

x− x0 = 10 m/s · 25 s +12· 0, 8 m/s2 · (25 s)2 = 500 m .

Esercizio 4. Un’auto sta viaggiando a 90 km/h; sapendo che ha frenato in 15 s, quanto vale l’accelerazione? Qual e lospazio di frenata?

Soluzione. L’accelerazione e

a =0 m/s− 25 m/s

15 s≈ −1, 67 m/s2 .

Lo spazio di frenata e pari a :

x− x0 =25 m/s + 0 m/s

2· 15 s = 187, 5 m ;

alternativamente possiamo sfruttare la formula x− x0 = v0t + 12 a t2 :

x− x0 = 25 m/s · 15 s +12· (−1, 67 m/s2) · (15 s)2 = 187, 5 m .

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Esercizio 5. Un’auto aumenta la sua velocita da 72 km/h a 108 km/h percorrendo un tratto di 500 m. Qual e la suaaccelerazione? Quanto tempo ha impiegato per percorrere questo tratto?

Soluzione. Sfruttiamo la formula v2f − v2

i = 2 a(x− x0) :

(30 m/s)2 − (20 m/s)2 = 2 · a · (500 m) ⇒ a = 0, 5 m/s2 .

Per determinare il tempo impiegato per percorrere questi 500 m, basta riferirsi alla formula vf = vi + a t :

30 m/s = 20 m/s + 0, 5 m/s2 · t ⇒ t = 20 s .

Esercizio 6. Un’auto si muove con accelerazione costante pari a 0, 5 m/s2; sapendo che quando esce da una gallerialunga 180 m la sua velocita e di 126 km/h, si determini la velocita con cui e entrata nella galleria.

Soluzione. Considerando la formula v2f − v2

i = 2 a(x− x0) abbiamo:

v2i = v2

f − 2 a(x− x0) ⇒ vi =√

v2f − 2 a(x− x0) =

√(35 m/s)2 − 2 · (0, 5 m/s2) · (180 m) ≈ 32, 3 m/s .

Esercizio 7. Un sasso viene lasciato cadere da fermo da un’altezza di 2 m. Qual e la velocita di impatto con il suolo?Qual e il tempo di caduta? Si tenga presente che l’accelerazione di gravita ha modulo 9, 8 m/s2.

Soluzione. Considerando la formula v2f − v2

i = 2 a(x− x0) abbiamo:

vf =√

v2i + 2 a(x− x0) =

√(0 m/s)2 + 2 · 9, 8 m/s2 · (2 m) ≈ 6, 26 m/s .

Per quanto riguarda il tempo di caduta, dalla formula x−x0 = v0t+ 12 at2 abbiamo (si noti che nel nostro caso v0 = 0 m/s):

t =

√2(x− x0)

a=

√2 · (2 m)9, 8 m/s2

≈ 0, 64 s ;

alternativamente, possiamo anche riferirci alla formula x− x0 =v0 + vf

2t:

t =2(x− x0)v0 + vf

⇒ t =2 · (2 m)

0 m/s + 6, 26 m/s≈ 0, 64 s .

Esercizio 8. Una motocicletta aumenta la sua velocita da 36 km/h a 108 km/h con un’accelerazione pari a 1 m/s2.Quanto tempo ha impiegato? Quanto spazio ha percorso in questo intervallo di tempo?

Soluzione. Dalla formula vf = vi + a t abbiamo

30 m/s = 10 m/s + 1 m/s2 · t ⇒ t = 20 s .

Lo spazio percorso e pari a

x− x0 =vi + vf

2· t =

10 m/s + 30 m/s

2· 20 s = 400 m ;

alternativamente abbiamox− x0 = 10 m/s · 20 s +

12· 1 m/s2 · (20 s)2 = 400 m .

Esercizio 9. Un’auto frena e si ferma in 10 s. Sapendo che in questo intervallo di tempo ha percorso 100 m, determinal’accelerazione e la velocita iniziale.

Soluzione. Dalla formula x− x0 =vi + vf

2· t abbiamo:

100 m =vi + 0 m/s

2· 10 s ⇒ vi = 20 m/s .

L’accelerazione si ottiene nel modo seguente:

vf = vi + a t ⇒ 0 m/s = 20 m/s + a · (10 s) ⇒ a = −2 m/s2 .

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Esercizio 10. Un’auto passa dalla velocita v0 alla velocita di 30 m/s in 15 s, percorrendo una distanza pari a 300 m.Determinare la velocita iniziale v0 e l’accelerazione.

Soluzione. Dalla formula x− x0 =vi + vf

2· t abbiamo:

300 m =v0 + 30 m/s

2· 15 s ⇒ v0 = 10 m/s .

L’accelerazione si ottiene nel modo seguente:

vf = vi + a t ⇒ 30 m/s = 10 m/s + a · (15 s) ⇒ a ≈ 1, 3 m/s2 .

Esercizio 11. Un’auto inizia a frenare quando la sua velocita e di 144 km/h. Sapendo che la sua accelerazione, inmodulo, e 6 m/s2, qual e il tempo di frenata? Qual e lo spazio di frenata? Determinare quanta strada ha percorso in 4 s.

Soluzione. Il tempo di frenata e

t =0m/s− 40 m/s

−6 m/s2≈ 6, 67 s ;

per calcolare lo spazio di frenata basta riferirsi alla formula v2f − v2

i = 2 a(x− x0) :

(0 m/s)2 − (40 m/s)2 = 2 · (−6 m/s2) · (x− x0) ⇒ x− x0 ≈ 133, 3 m .

In 4 s l’auto percorre

x− x0 = 40 m/s · 4 s +12· (−6 m/s2) · (4 s)2 = 112 m .

Esercizio 12. Fabio e Guido stanno parlando delle loro auto; Fabio dice che la sua auto, da ferma, impiega 6 s perraggiungere la velocita di 100 km/h, mentre Guido afferma che la sua auto, da ferma, raggiunge i 90 km/h in 75 m. Quale l’auto con la maggiore accelerazione?

Soluzione. Calcoliamo l’accelerazione aF dell’auto di Fabio:

aF =27, 8 m/s− 0 m/s

6 s≈ 4, 6 m/s2 ;

vediamo ora l’accelerazione aG dell’auto di Guido:

(25 m/s)2 − (0 m/s)2 = 2 aG · (75 m) ⇒ aG ≈ 4, 2 m/s2 ;

l’auto di Fabio ha quindi una migliore accelerazione.

Esercizio 13. Un’auto sta viaggiando a 126 km/h quando il conducente vede un ostacolo sulla strada (distante 140 m)e inizia a frenare. Tenendo conto del tempo di reazione, pari a 0, 2 s, e del fatto che l’accelerazione e −5 m/s2, dire sece la fa ad evitare l’ostacolo.

Soluzione. Calcoliamo lo spazio di reazione (ovvero lo spazio percorso a velocita costante prima che il conducente inizia frenare):

spazio di reazione = (35 m/s) · (0, 2 s) = 7 m ;

lo spazio di frenata e invece pari a

spazio di frenata =(0 m/s)2 − (35 m/s)2

2 · (−5 m/s2)= 122, 5 m .

sommando lo spazio di reazione e lo spazio di frenata abbiamo 129, 5 m; dal momento che l’ostacolo si trovava inizialmentea 140 m, possiamo affermare che il conducente riesce, per fortuna, ad evitare l’ostacolo.

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Esercizio 14. Converti 3 m/s2 in km/h2.

Soluzione.

3m

s2= 3

1 m

(1 s)2= 3

10−3 km(1

3, 6 · 103h

)2 = 310−3 km

112, 96 · 106

h2

=

= 3 · 10−3 · 12, 96 · 106 km

h2= 38, 88 · 103 km

h2= 3, 888 · 104 km

h2.

Esercizio 15. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della sua velocita aistanti successivi sono i seguenti:

t (s) 3,5 6,5 9,5 12,5 15,5v (m/s) 4,2 7,4 10,6 13,8 17,0

Determina il valore dell’accelerazione.

Soluzione. L’accelerazione puo essere determinata nel modo seguente:

a =7, 4 m/s− 4, 2 m/s

6, 5 s− 3, 5 s=

3, 2 m/s

3, 0 s≈ 1, 07 m/s2 .

Esercizio 16. Un punto materiale si muove di moto rettilineo uniformemente accelerato; i valori della sua posizione aistanti successivi sono i seguenti:

t (s) 4,7 6,5 8,3 10,1 11,9x (m) 2,5 10,96 29,14 57,04 94,66

Determina la velocita iniziale e l’accelerazione.

Soluzione. La legge oraria, in generale, ha la seguente espressione:

x− x0 = v0 (t− t0) +12

a (t− t0)2

con i dati t0 = 4, 7 s e x0 = 2, 5 m abbiamo:

x− 2, 5 = v0 (t− 4, 7) +12

a (t− 4, 7)2

per determinare v0 (velocita iniziale) e a (accelerazione) sostituiamo i valori agli istanti t1 = 6, 5 s e t2 = 8, 3 s :10, 96− 2, 5 = v0 (6, 5− 4, 7) +

12

a (6, 5− 4, 7)2

29, 14− 2, 5 = v0 (8, 3− 4, 7) +12

a (8, 3− 4, 7)2

risolvendo il sistema lineare 2× 2 si trovano i seguenti valori:{v0 = 2 m/s

a = 3 m/s2

Esercizio 17. Due auto, inizialmente distanti 200 m, si stanno venendo incontro; la prima viaggia a 108 km/h e frenacon accelerazione in modulo uguale a 4 m/s2. La seconda auto viaggia a 72 km/h e frena con accelerazione in modulouguale a 5 m/s2. Dire se le due auto si scontreranno.

Soluzione. Calcoliamo i due spazi di frenata, li sommiamo e confrontiamo il risultato con la distanza iniziale (200 m).Vediamo quindi il primo spazio di frenata:

(x− x0)1 =(0 m/s)2 − (30 m/s)2

2 · (−4m/s2)= 112, 5 m ;

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per quanto riguarda il secondo spazio di frenata si ha:

(x− x0)2 =(0 m/s)2 − (20 m/s)2

2 · (−5m/s2)= 40 m ;

sommando i due spazi di frenata:

(x− x0)1 + (x− x0)2 = 112, 5 m + 40 m = 152, 5 m ,

si scopre che le due auto non si scontrano in quanto 152, 5 m < 200 m .

Esercizio 18. Lo spazio di frenata di un’auto e pari a 50 m se la sua velocita iniziale e v0; qual e lo spazio di frenatase la velocita e 2 v0? Si supponga che l’accelerazione sia la stessa in entrambi i casi.

Soluzione. Vediamo la formula generale per lo spazio di frenata (si osservi che a < 0):

x− x0 =02 − v2

0

2 a⇒ x− x0 = − v2

0

2 a

se raddoppiamo la velocita iniziale si ottiene:

(x− x0)∗ = − (2 v0)2

2 a= −4

v20

2 a= 4 · (x− x0)

quindi lo spazio di frenata non raddoppia, ma quadruplica! Questo ci fa riflettere sui rischi della velocita.

Esercizio 19. Un’auto, inizialmente ferma, impiega 50 s per percorrere 1, 2 km (accelerazione e arresto compresi). Sa-pendo che il tempo impiegato per raggiungere la velocita massima e quello impiegato per arrestarsi sono entrambi ugualia 10 s, si determini la velocita massima raggiunta e l’accelerazione in partenza.

Soluzione. Indichiamo con vmax la velocita massima raggiunta dall’auto; lo spazio percorso nella fase di accelerazione

iniziale e pari a12

vmax · (10 s); osserviamo che questo spazio e identico a quello percorso durante la fase finale di frenata.

Durante i 30 s “centrali” lo spazio percorso e pari a vmax · (30 s); a questo punto possiamo sommare tutti questi spaziparziali e possiamo uguagliare a 1200 m :

12

vmax · (10 s) + vmax · (30 s) +12

vmax · (10 s) = 1200 m

risolvendo l’equazione si ricava vmax = 30 m/s . L’accelerazione iniziale e 3 m/s2 .

Esercizio 20. Alice e Barbara fanno una gara sui 100 metri piani; Alice accelera con accelerazione costante pari a 3m/s2 per 3 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Barbara, invece, accelera con accelerazione costante pari a 2, 5m/s2 per 4 s, poi si muove di moto rettilineo uniforme. Chi vincera la gara? Con quale distacco (in metri)?

Soluzione. Studiamo il moto di Alice; la sua velocita massima e di 9 m/s che mantiene dall’istante t = 3 s in poi. Nei

primi 3 secondi Alice percorre uno spazio di12

(3 m/s2) · (3 s)2 = 13, 5 m, per cui i restanti (100− 13, 5) m = 86, 5 m li

percorre in 86,5 m9 m/s ≈ 9, 61 s; Alice percorre i 100 metri in (3 + 9, 61) s = 12, 61 s.

Analizziamo ora nello stesso modo il moto di Barbara. La sua velocita massima e di 10 m/s; nei primi 4 secondi

Barbara percorre uno spazio di12

(2, 5 m/s2) · (4 s)2 = 20 m, quindi i restanti (100 − 20) m = 80 m li percorre in80 m

10 m/s = 8 s ; Barbara percorre i 100 metri in (4 + 8) s = 12 s . Barbara vince la gara.Per determinare infine il distacco in metri dobbiamo determinare la posizione di Alice all’istante t = 12 s:

x = 13, 5 m + 9 m/s · (12− 3) s = 94, 5 m

all’istante in cui Barbara taglia il traguardo Alice e staccata di 5, 5 m. Lo stesso risultato si ottiene osservando cheAlice taglia il traguardo 0, 61 s piu tardi, quindi in questo intervallo di tempo ha percorso un tratto di lunghezza0, 61 s · 9 m/s ≈ 5, 5 m.

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Esercizio 21. Un’auto parte da ferma e accelera per tre quarti di un certo percorso; successivamente si muove di motorettilineo uniforme per l’ultimo quarto del percorso. Sapendo che la velocita massima e pari a 90 km/h e che il tempoimpiegato totale e 21 s, si determini la lunghezza del percorso e l’accelerazione iniziale dell’auto.

Soluzione. Indichiamo con t l’istante in cui l’auto inizia a muoversi di moto rettilineo uniforme; lo spazio percorso nei

primi t secondi e pari a25 · t

2, mentre lo spazio percorso negli ultimi (21 − t) secondi e 25 · (21 − t) . Poiche sappiamo

che nella fase di accelerazione iniziale l’auto percorre i tre quarti dell’intero percorso, possiamo affermare che lo spazio25 · t

2risulta essere il triplo dello spazio 25 · (21− t) :

25 · t2

= 3 · [25 · (21− t)]

risolvendo l’equazione si trova t = 18 s; l’intero percorso e lungo

25 m/s · 18 s

2+ 25 m/s · (21 s− 18 s) = 300 m .

Calcoliamo infine l’accelerazione iniziale dell’auto:

a =25 m/s− 0 m/s

18 s≈ 1, 39 m/s2 .

Esercizio 22. Un corpo parte da fermo con accelerazione pari a 5 m/s2. Ad un certo istante il corpo passa davanti adun punto fisso A; 0, 5 s piu tardi passa davanti ad un altro punto fisso B, posto 4 m piu avanti. Qual e l’istante in cuipassa davanti al punto A? Qual e la distanza di A dal punto iniziale?

Soluzione. Indicato con t l’istante in cui il corpo passa davanti al punto fisso A, osservato che la velocita all’istante t e5 t (mentre all’istante (t + 0, 5 s) e 5(t + 0, 5)), abbiamo:

5 t + 5(t + 0, 5)2

· 0, 5 = 4

risolvendo l’equazione si trova t = 1, 35 s. Il punto fisso A si trova a12· 5 m/s2 · (1, 35 s)2 ≈ 4, 56 m dal punto iniziale.

Alternativamente possiamo procedere nel modo seguente:

12· 5 · (t + 0, 5)2 − 1

2· 5 · t2 = 4

risolvendo l’equazione si trova nuovamente t = 1, 35 s.

Esercizio 23. All’istante t0 = 0 s un’auto parte da ferma e in 10 s raggiunge (con accelerazione costante) la velocita di108 km/h; una moto, avente una velocita iniziale di 72 km/h, all’istante t = 0 s la affianca ed inizia a frenare. Sapendoche la moto impiega 6 s per fermarsi, determinare l’istante in cui l’auto sorpassa la moto.

Soluzione. Scriviamo il sistema delle due leggi orarie:x =

12· 3 · t2

x = 20 t +12· (−3, 33) · t2

le soluzioni sono le seguenti: x = 0 m

t = 0 s;

x = 59, 9 m

t = 6, 3 s

la prima soluzione non ci dice niente di nuovo (infatti sappiamo dal testo del problema che i due veicoli si trovanoaffiancati all’istante t = 0 s); l’auto sorpassa la moto all’istante t = 6, 3 s dopo aver percorso 60 metri (circa).

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Esercizio 24. Un automobilista sta viaggiando ad una velocita costante di 54 km/h; ad un certo istante vede diventarerosso un semaforo distante 250 m ed inizia a frenare (con accelerazione costante) per 50 m, poi smette di frenare epercorre a velocita costante i successivi 200 m arrivando davanti al semaforo quando scatta il verde. Tenendo conto cheil rosso resta acceso esattamente per 30 s, si determini l’accelerazione dell’auto durante la frenata.

Soluzione. Prima di tutto, indichiamo con t l’istante in cui l’automobilista smette di frenare; i primi 50 metri sonopercorsi con moto rettilineo uniformemente accelerato, quindi si ha

50 =15 + (15 + a t)

2· t

poiche gli ultimi 200 metri sono percorsi con velocita costante pari a (15 + a t), risulta:

200 = (15 + a t) · (30− t)

dobbiamo quindi risolvere il sistema 50 =15 + (15 + a t)

2· t

200 = (15 + a t) · (30− t)

ricaviamo a dalla prima equazione: a =

100− 30 t

t2

200 = (15 + a t) · (30− t)

sostituiamo l’espressione di a nella seconda equazione:a =

100− 30 t

t2

200 =(

15 +100− 30 t

t2· t)· (30− t)

risolvendo la seconda equazione nell’incognita t troviamo le soluzioni

t1 = 25− 5√

17 ≈ 4, 38 s ; t2 = 25 + 5√

17 ≈ 45, 62 s

la seconda soluzione va ovviamente scartata in quanto la nostra soluzione deve essere compresa tra 0 s e 30 s. La soluzione,

percio, risulta essere t = 4, 38 s; per determinare l’accelerazione e sufficiente sostituire nella formula a =100− 30 t

t2:

a =100− 30 · 4, 38

(4, 38)2⇒ a ≈ −1, 64 m/s2 .

Esercizio 25. Un ciclista viaggia ad una velocita costante di 36 km/h; ad un certo punto sorpassa un motociclista fermo.Passati 4 s dal sorpasso, la moto parte con accelerazione costante di modulo pari a 1 m/s2 e raggiunge il ciclista. Quale la velocita della moto al momento del sorpasso?

Soluzione. Nei primi 4 secondi il ciclista ha percorso 40 metri; per risolvere il problema e sufficiente risolvere il seguentesistema delle leggi orarie:

x = 40 + 10 t

x =12· 1 · t2

⇒

x = 40 + 10 t

40 + 10 t =12· 1 · t2

la seconda equazione ammette le seguenti soluzioni:

t1 ≈ −3, 4 s ; t2 ≈ 23, 4 s ;

la soluzione t1 va scartata in quanto siamo interessati alle soluzioni t > 0 s; la moto raggiunge il ciclista dopo 23, 4 sdalla sua partenza. La velocita della moto al momento del sorpasso e pari a 23, 4 m/s (infatti ogni secondo la velocitadella moto aumenta di 1 m/s).

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Problem 1: From rest, a car accelerated at 8 m/s2 for 10 seconds. a) What is the position of the car at the end of the 10 seconds? b) What is the velocity of the car at the end of the 10 seconds?

Solution to Problem 1: a) The car starts from rest therefore the initial speed u = 0. Nothing is said about the initial position and we therefore assume it is equal to 0. Hence the position x is given by the equation x = (1/2) a t 2 where a is the acceleration (=8 m/s2) and t is the period of time between initial and final positions x = (1/2)8 (10)2 = 400 m b) The velocity v of the car at the end of the 10 seconds is given by v = a t = 8 * 10 = 80 m/s

Problem 2: With an initial velocity of 20 km/h, a car accelerated at 8 m/s2 for 10 seconds. a) What is the position of the car at the end of the 10 seconds? b) What is the velocity of the car at the end of the 10 seconds? Solution to Problem 2: a) The car has an initial velocity of 20 km/h, therefore the initial speed u = 20 km/h. Nothing is said about the initial position and we therefore assume it is equal to 0. Hence the position x is given by the equation x = (1/2) a t 2 + u t where a is the acceleration (=8 m/s2) and t is period of time between initial and final positions and u is the initial velocity. Since the time is given in seconds, we need to convert 20 km/h into m/s as follows:

u = 20 km/h = 20 * 1km

1 hour

1000 m 1 km

1 hour 3600 seconds

= 5.6 m/s

We now have x = (1/2) (8) 102 + 5.6*10 = 456 m b) v = at + u = 8*10 + 5.6 = 85.6 m/s

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Problem 3: A car accelerates uniformly from 0 to 72 km/h in 11.5 seconds. a) What is the acceleration of the car in m/s2? b) What is the position of the car by the time it reaches the velocity of 72 km/h? Solution to Problem 3: a) The acceleration a is a measure if the rate of change of the velocity within a period of time. Hence

u = change in velocity

change in time

=

v - u t

=

72 km/h - 0 11.5 seconds

We now convert 72 km/h into m/s

u = 72 km/h = 72 * 1km

1 hour

1000 m 1 km

1 hour 3600 seconds

= 20 m/s

We now calculate the acceleration a a = (20 m/s) / (11.5 s) = 1.74 m/s2 (approximetd) b) Two ways to find the position x: 1) x = (1/2)(v + u) t or 2) x = (1/2) a t 2 + u t 1) We first use: x = (1/2)(v + u) t = 0.5*(20 m/s + 0)*11.5 = 115 m 2) We now use: (1/2) a t2 + u t = 0.5*1.74*(11.5) 2 + 0*t = 115 m

Problem 4: An object is thrown straight down from the top of a building at a speed of 20 m/s. It hits the ground with a speed of 40 m/s. a) How high is the building? b) How long was the object in the air? Solution to Problem 4: a) We consider that the direction from ground up is the positive direction of the falling object. We are given the initial (-20 m/s) and final velocities (-40 m/s); the minus sign was added to take into account the fact that the falling object is moving in the negative direction. We know the gravitational acceleration (g = - 9.8 m/s2) acting on the falling object and we are asked to find the height of the building. If we consider the position of the object as being x (wth x = 0 on the ground), then we may use the equation relating the initial and final velocities u and v, the acceleration a and the initial (x0 which the height of the building)

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and final (x, on the ground) positions as follows: v2 = u2 + 2 a (x - x0) (-40 m/s)2 = (-20 m/s)2 + 2 (-9.8 m/s0) (0 - x0) Solve the above for x0 x0 = 1200 / 19.6 = 61.2 m b) x - x0 = (1/2)(u + v)t -61.2 = 0.5(-20 - 40)t t = 61.2 / 30 = 2.04 s

Problem 5: A train brakes from 40 m/s to a stop over a distance of 100 m. a) What is the acceleration of the train? b) How much time does it take the train to stop? Solution to Problem 5: a) We are given the initial velocity u = 40 m/s, the final velocity v = 0 (train stops) and the distance. Hence the formula that relates these 3 quantities and the acceleration is given by v2 = u2 + 2 a x 02 = 402 + 2 a (100) Solve for the acceleration a a = -1600 / 200 = - 8 m/s2 b) There two ways to find the time: 1) Use: x = (1/2)(v + u) t 100 = 0.5(0 + 40) t Solve for t: t = 5 seconds. 2) Use x = (1/2) a t2 + ut 100 = 0.5 ( - 8) t2 + 40t

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4 t2 - 40 t + 100 = 0 4 (t2 - 10 t + 25) = 0 4(t - 5)2 = 0 t = 5 seconds.

Problem 6: A boy on a bicycle increases his velocity from 5 m/s to 20 m/s in 10 seconds. a) What is the acceleration of the bicycle? b) What distance was covered by the bicycle during the 10 seconds? Solution to Problem 6: a) In this problem the initial velocity u = 5 m/s and the final velocity v = 20 m/s. The acceleration a of the bicycle is the rate of change of the velocity and is given as follows

a = v - u

t =

20 m/s - 5 m/s 10 seconds

= 1.5 m/s2

b) There are two ways to find the distance covered by the bicyle in t = 10 seconds. 1) x = (1/2)(v + u) t = 0.5 (20 + 5) 10 = 125 m 2) x = (1/2) a t2 + u t = 0.5 * 1.5 * 100 + 5 * 10 = 125 m

Problem 7: a) How long does it take an airplane to take off if it needs to reach a speed on the ground of 350 km/h over a distance of 600 meters (assume the plane starts from rest)? b) What is the acceleration of the airplane over the 600 meters? Solution to Problem 7: a) In this problem the initial velocity u = 0 (assumed because it is not given) , the final velocity v = 350 km/h and the distance x = 600 meters = 0.6 km The relationship between the give quantities is: x = (1/2)(v + u) t 0.6 = 0.5 (350 + 0) t Solve for t

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t = (0.6 / 175) hours = 12.3 seconds b) The acceleration a of the airplane is given by a = (v - u) / t = 350 km/h / 12.3 s Convert 350 km/h into m/s 350 km/h = 350,000 m / 3,600 s = 97.2 m/s a = 97.2 m/s / 12.3 s = 8 m/s2 (to the nearest unit)

Problem 8: Starting from a distance of 20 meters to the left of the origin and at a velocity of 10 m/s, an object accelerates to the right of the origin for 5 seconds at 4 m/s2. What is the position of the object at the end of the 5 seconds of acceleration? Solution to Problem 8: a) In this problem, we may consider that the direction of the object is the positive direction and the initial position x0 = -20 meters (to the left of the origin), the initial velocity u = 10 m/s, the acceleration a = 4 m/s2 and the time is t = 5 seconds. The position is given by x = (1/2) a t2 + u t + x0 = 0.5 * 4 * (5)2 + 10 * 5 - 20 = 80 meters to the right of the origin.

Problem 9: What is the smallest distance, in meters, needed for an airplane touching the runway with a velocity of 360 km/h and an acceleration of -10 m/s2 to come to rest? Solution to Problem 9: a) In this problem the initial velocity u = 360 km/h, the final velocity v = 0 (rest) and the acceleration a = -10 m/s2. The distance x can be calculated using the formula v2 = u2 + 2 a x Convert 360 km/h into m/s: 360 km/h = (360 000 m) /(3600 s) = 100 m/s x = ( v2 - u2 ) / (2 a) = (0 - 10,000) / (-20) = 500 meters

Problem 10: To approximate the height of a water well, Martha and John drop a heavy rock into the well. 8 seconds after the rock is dropped, they hear a splash caused by the impact of the rock on the water. What is the height of the well. (Speed of sound in air is 340 m/s).

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Solution to Problem 10: a) In this problem we have: 1) a rock was dropped down the well and is uniformly accelerated downward due to gravity. If h is the height of the well and t is the time taken by the rock to reach the bottom of the well, then we have h = (1/2)(9.8) t 2 2) After the splash, the sound travels up the well at a constant speed of 340 m/s. Again the same height h of the well is given by h = 340 *(8 - t) : 8 - t is the time taken for the sound to travel from bottom to top where the sound is heard. The above equations give: (1/2)(9.8) t2 = 340 *(8 - t) 4.9 t2 + 340 t - 2720 = 0 Solve for t, two solutions: t = 7.24 s and the second solution is negative and is not valid. The height h of the well is calculated using one of the above equations: h = 340 *(8 - t) = 340 *(8 - 7.24) = 257 meters (approximated to the the nearest meter)

Problem 11: A rock is thrown straight up and reaches a height of 10 m. a) How long was the rock in the air? b) What is the initial velocity of the rock? Solution to Problem 11: a) In this problem the rock has an initial velocity u. When the rock reaches a height of 10 m, it returns down to earth and the the velocity v = 0 when x = 10 meters. Hence v = -9.8 t + u 0 = -9.8 t + u u = 9.8 t

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x = (1/2)(u + v) t 10 = 0.5 (9.8 t + 0) t = 4.9 t2 Solve for t: t = 1.42 seconds b) u = 9.8 t = 9.8 * 1.24 = 14 m/s

Problem 12: A car accelerates from rest at 1.0 m/s2 for 20.0 seconds along a straight road . It then moves at a constant speed for half an hour. It then decelerates uniformly to a stop in 30.0 s. Find the total distance covered by the car. Solution to Problem 12: a) The car goes through 3 stages: stage 1: acceleration a = 1, initial velocity = 0, t = 20 s. Hence the distance x is given by x = (1/2) a t2 = (1/2) (1) 202 = 200 meters stage 2: constant speed v is the speed at the end of stage 1. v = a t = 1 * 20 = 20 m/s x = v t = 20 m/s * (1/2 hour) = 20 m/s * 1800 s = 36,000 meters stage 3: deceleration to a stop, hence u = 20 m/s and v = 0 (stop) x = (1/2)(u + v) t = (1/2)(20 + 0) 30 = 300 meters total distance = 200 + 36,000 + 300 = 36,500 meters.