Modellizzazione

Può la matematica, e in che modo, influire sullo sport, sull’ambiente, sulla medicina, sulla vita di tutti i giorni?

Da qualche tempo le simulazioni al calcolatore basate su modelli matematici consentono di rappresentare con accuratezza sempre maggiore fenomeni di reale interesse in numerosi campi delle scienze applicate e non solo nell’ingegneria.

Matematica/applicabilità

Matematica/sport

Nello sport da competizione questo approccio può rivelarsi utile per migliorare le prestazioni.

Simulazioni del :-campo di flusso aerodinamico-campo di flusso idrodinamico-turbolenze che si creano al contatto della barca con l’acqua -spinta del vento

progettazione delle forme ottimali di scafo, chiglia, bulbo e alette.

Vittoria della Coppa America per l’imbarcazione svizzera Alinghi

Matematica/sport 2

Problema:Miglioramento della forma degli alettoni posteriori di una macchina di Formula UNO, in modo che presentino il minimo attrito all’aria.

Soluzione:Scelta di un modello matematico per rappresentare la situazione dei moti turbolenti dell’aria ad alate velocità incidente sull’alettone

Soluzione più naturale:Progettare un alettone, costruirlo, montarlo e provarlo.

- Soluzione costosa- Nessuna certezza di ottenere un miglioramento

Matematica/ambiente

Ma i modelli matematici hanno un ruolo anche nella simulazione di eventi di interesse ambientale, allo scopo di formulare stime di impatto o di indicare strategie di controllo dell’inquinamento atmosferico o idrico.

modelli matematici per -la crescita urbana

(http://www.ticinoricerca.ch/catprog/attachment/documentazioni/4_ACME.pdf)

-il gioco del lotto-la meteorologia-lo studio del comportamento

(http://www.dm.unito.it/personalpages/cermelli/dispense-comp-v3.pdf)

Matematica/medicina

La matematica si applica con successo anche alla medicina: è di nuovo un problema matematico simulare al computer il flusso di sangue nel sistema cardiovascolare per capire, ad esempio, come influisce l'impianto di uno stent in un’arteria affetta da aneurisma o come migliorare la forma di un bypass coronarico

Conclusione

Modelli matematici + algortimi e calcolatori (informatica)

permettonodi estendere l’utilizzo della matematica a tutti i fenomeni del mondo che ci circonda.

Lo studio del fenomeno con un modello matematico (sistema di equazioni) fornisce l’informazione cercata senza dover effettivamente riprodurre il fenomeno con notevole risparmio di risorse economiche e temporali

Che cosa è un modello

Un modello può quindi essere schematizzato come un strumento matematico che riceve dei dati in input, li elabora calcolando tutte le grandezze fisiche di interesse e restituisce in output lo stato finale del sistema come conseguenza degli “stimoli” introdotti.

Si parla di modello matematico di un sistema fisico quando si studia il comportamento del sistema mediante un certo numero di assunzioni che si traducono in un sistema di equazioni.

Caso studio

SIGEM - SIMMA

Cliente: Ministero dell’interno Corpo Nazionale dei vigili del fuoco

Progetto: SIGEM-SIMMA Attività:Analisi e realizzazione di un sistema che fornisce una valutazione di massima dell’impatto fisico dovuto ad esplosioni, incendi e rilasci di sostanze infiammabili e/o tossiche.

Cliente

Obiettivo:

valutare le distanze di impatto entro le quali si superano le soglie di danno e di letalità

Obiettivo

Eventopericoloso

Soglia dielevata letalità

Soglia lesioniirreversibili

Soglia lesionireversibili

Incendio 12,5 kW/ m2 5 kW/ m2 3 kW/ m2

Fireball Raggio 200 kJ / m2 125 kJ / m2

Flash fire LFL ½ LFL -

UVCE 0,6 bar 0,07 bar 0,03 bar

Nota: normativa relativa ai serbatoi di stoccaggio di GPL (G.U. 9.7.1976)

Caso GPL Casalguidi

Caso: descrizioneEsempio: GPL Casalguidi

–19.2.1985 Casalguidi (PT)

–2 morti, 4 feriti

–serbatoio 2 t

–descrizione•autocisterna ferma su rampa per rifornire un serbatoio fisso indietreggia andando a urtare violentemente un fabbricato

•nell’urto si rompe una valvola e fuoriesce GPL liquido che vaporizza nel fabbricato

•il GPL trova un innesco nel fabbricato ed esplode

Modello matematico

INPUT OUTPUT

Sostanza-Caratteristiche-Quantitativo uscito-Stato fisico

Condizioni meteorologiche

Condizioni Al contorno

Portata uscitaDurata del rilascio

Campi di radiazione termica ustioni

Campi di sovrappressione crolli, schegge

schema

Campi di concentrazione intossicazione

Es.: Pool Fire

Rappresentazione grafica dell’intensità delle radiazioni in funzione della distanzaAsse y: intensità delle radiazioniAsse x: distanza

Modello di dispersionedei gas

Evoluzione dello Scenario

Fuoriuscita di liquido infiammabile e tossico

jet fire

si

pool fire

si

flash fire UVCE

si

dispersione nube tossica

no

innesco della nube?

si forma una nube di vapori

no

innesco immediato dei vapori?

si forma una pozza

no

innesco immediato della perdita?

Evoluzione dello Scenario

Incendio che avvolge un contenitore di gas liquefatto infiammabile

jet fire

si

flash fire UVCE

si

dispersione sicura

no

innesco?

si forma una nube di vapori

no

innesco?

sfiato dalla valvola di sicurezza

si

no

fireball

si

innesco immediato?

grossa nube di vapori frammenti

BLEVE

no

riscaldamento uniforme?

Scenario IncidentaleL’evoluzione temporale dello scenario

dipende da vari fattori– caratteristiche della sostanza

• infiammabile, tossica, più leggera o più pesante dell’aria, ecc.

– stato fisico durante il trasporto• gas, liquido, gas liquefatto in pressione, ecc.

– quantitativo fuoriuscito– condizioni meteorologiche

• temperatura, velocità del vento, umidità, ecc.– condizioni al contorno

• perdita su terreno, asfalto o acqua, fonti di innesco, morfologia del terreno, presenza di fabbricati, ecc.

Conseguenze

Le conseguenze della fuoriuscita di un prodotto pericoloso si estrinsecano in

– campi di radiazione termica ustioni • jet fire, pool fire, flash fire, fireball

– campi di sovrapressione crolli e schegge• UVCE, esplosione fisica, BLEVE

– campi di concentrazione intossicazione• nubi tossiche

Valutazioni

Il software valuta– portata fuoriuscita e durata del rilascio

– dimensioni della pozza, tasso di vaporizzazione

– campi di concentrazione per la dispersione del prodotto in aria in funzione del tempo e dello spazio (tridimensionali) per infiammabili e tossici

– campi di radiazione termica in funzione dello spazio in caso di jet fire, pool fire e fireball

– campi di sovrapressione in funzione dello spazio in caso di esplosione

Descrizioni scenari

- Rilascio di liquido nell’ambiente con formazione di pozze

- Dispersione di gas, vapori o nebbie in atmosfera

- Incendio di pozze, serbatoi o bacini di liquidi infiammabili (pool fires e tank fires)

- Formazione di getti infuocati (jet fires)

- Esplosione di miscele infiammabili sia confinate che non confinate (flash fires, UVCE, CVE)

- Formazione di sfere infiammabili (BLEVE, Fireballs)

Caso studio

MLG – Magazzino Lamiere Grezze

Cliente: ALENIA

Attività:progetta e sviluppa prodotti per l'aeronautica civile e militare. La sede di NOLA si occupa della produzione di parti lavorate di macchina, fabbricazione di lamiere metalliche e assemblaggio di pannelli con elevato livello di integrazione e automazione industriale.

Cliente

Stoccaggio di lamiere grezze destinate all’area di Assemblaggio e Fabbricazione

Le lamiere sono disposte in casse Ogni cassa è posizionata in un contenitoreI contenitori sono disposti in pile per un max di 9 contenitori

Problematica

Principali Attività

•StoccaggioAttività di immagazzinamento lamiere

•Approntamento:Attività del magazzino per portare a galla il contenitore con il materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte

•PrelievoAttività, eseguita dall’operatore, per il prelievo della lamiera

•DepositoAttività, eseguita dall’operatore, per il deposito di una cassa. Il deposito avviene solo in un contenitore vuoto.

Stoccaggio

Si assume:1. Ogni cassa contiene lamiere con medesimo

codice2. Il contenitore scelto per

l’immagazzinamento sia vuoto3. Ogni contenitore contiene al più una cassa4. Disposizione della cassa La cassa è centrata rispetto al baricentro del

contenitore in modo da garantire, quando il contenitore è inserito in una pila, che:- il peso complessivo della pila sia

coincidente con il baricentro stesso del contenitore/cassa

- il peso sia ben distribuito rispetto ai punti di aggancio dei contenitori.

Approntamento

L’approntamento è l’attività che “porta a galla” il contenitore interessato secondo la teoria della torre di Hanoi con il minore numero di mosse possibili. La scelta del contenitore viene fatta in base:

- alle casse con il minor numero di lamiere- alla data di immagazzinamento delle lamiere

L’attività di approntamento è eseguita di notte in modo che l’operatore al mattino si trova i contenitori contenenti il materiale da prelevare in cima alle pile per permettere il prelievo

Vista Layout Magazzino

Vista layout magazzino

pila

navetta

Prelievo

La fase di prelievo della lamiera inizia con l’avvicinare la cassa all’estremità della navetta mediante i cingoli di cui la stessa navetta è provvista.

Navetta (in giallo)

Contenitore (in blue)

Cingolo della navetta

cassa

L’operatore/i aggancia la lamiera alla barra (a sua volta legata al carroponte manuale) fissandone le estremità ai morsetti di cui la barra è provvista.

Nota: Può capitare, per la posizione della cassa, che l’operatore salga sulla navetta per prelevare la lamiera sollevandola a mano per cui il peso deve essere sostenibile per garantire la dell’operatore e l’integrità della lamiera

Limiti Attuale Magazzino

I vincoli• Ogni contenitore contiene al più una cassa (ovvero un materiale)• La cassa è posizionata al centro del contenitore• Si esegue il deposito solo se il contenitore sia vuoto

Perdita di spazio - Presenza di contenitori contenenti casse di piccole dimensioni - Materiale a terra in attesa di essere stoccato.

causa

Nuovo magazzino

La richiesta è

Ottimizzazione della capacità di immagazzinamento

Consentire lo stoccaggio di codici materiali anche diversi sullo stesso contenitore tenendo presente - la dimensione delle casse contenenti il materiale- la stabilità della pila

Elementi di Analisi

Prendendo in esame• le dimensioni del contenitore• le dimensioni delle singole casse• il codice materiale

Si è operato• nel suddividere il contenitore in aree• nello stoccare più codici materiali su di uno

stesso contenitore

Considerando- la stabilità del contenitore quando disposto in pile- la modalità di prelievo del materiale

Soluzione finale

Cod1

Cod1

Cod1 Cod1 Cod2

Cod1

Cod1Cod2

Cod1

Cod1

Cod2

Cod2

Cod1 e Cod2 sono i codici materiali

Possibili disposizioni delle casse in un contenitore

…..

Torre di HANOI

La Torre di Hanoi è un rompicapo matematico composto da tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti.

Torre di Hanoi

Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti dischi sull'ultimo paletto, con un numero mnimo di mosse, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo.

http://it.wikipedia.org/wiki/Torre_di_Hanoi

SOLUZIONE

La proprietà matematica base è che il numero minimo di mosse necessarie per completare il gioco è 2n - 1, dove n è il numero di dischi. Ad esempio avendo 3 dischi, il numero di mosse minime è 7.

Soluzione

Algoritmo

•Si etichettano i paletti con le lettere A, B e C •Dato n il numero dei dischi •Si numerano i dischi da 1 (il più piccolo, in alto) a n (il più grande, in basso) Per spostare i dischi dal paletto A al paletto B:1.Sposta i primi n-1 dischi da A a C. Questo lascia il disco n da solo sul paletto A 2.Sposta il disco n da A a B 3.Sposta n-1 dischi da C a B Questo è un algoritmo ricorsivo, di complessità esponenziale, quindi per risolvere il gioco con un numero n di dischi, bisogna applicare l'algoritmo prima a n-1 dischi. Dato che la procedura ha un numero finito di passi, in un qualche punto dell'algoritmo n sarà uguale a 1. Quando n è uguale a 1, la soluzione è banale: basta spostare il disco da A a B.

Algoritmo ricorsivo

Terminologia

• ContenitoreSupporto fisico (colore Bleu) atto a contenere le lamiere (L=12.2 m W=3.2 m H=0.4 m )

•Cassa

Insieme delle lamiere da posizionare su di un contenitore

• ApprontamentoAttività del magazzino per portare a galla il contenitore con il materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte

• GalleggiamentoOperazione con la quale il magazzino provvede a portare in superficie ossia in cima ad una pila uno o più contenitori

Resto della divisione

Calcolare il resto di una divisione nell’ipotesi in cui non si conosca l’operazione di divisione

Soluzione:Sottrarre dal dividendo il divisore fino ad ottenere un numero minore del divisore.

Esempio:Il resto della divisone 15/4 è 3. Infatti, con sole tre sottrazioni si ottiene il resto:

15-4=11-4=7-4=3