Modellizzazione. Può la matematica, e in che modo, influire sullo sport, sullambiente, sulla...
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Modellizzazione
Può la matematica, e in che modo, influire sullo sport, sull’ambiente, sulla medicina, sulla vita di tutti i giorni?
Da qualche tempo le simulazioni al calcolatore basate su modelli matematici consentono di rappresentare con accuratezza sempre maggiore fenomeni di reale interesse in numerosi campi delle scienze applicate e non solo nell’ingegneria.
Matematica/applicabilità
Matematica/sport
Nello sport da competizione questo approccio può rivelarsi utile per migliorare le prestazioni.
Simulazioni del :-campo di flusso aerodinamico-campo di flusso idrodinamico-turbolenze che si creano al contatto della barca con l’acqua -spinta del vento
progettazione delle forme ottimali di scafo, chiglia, bulbo e alette.
Vittoria della Coppa America per l’imbarcazione svizzera Alinghi
Matematica/sport 2
Problema:Miglioramento della forma degli alettoni posteriori di una macchina di Formula UNO, in modo che presentino il minimo attrito all’aria.
Soluzione:Scelta di un modello matematico per rappresentare la situazione dei moti turbolenti dell’aria ad alate velocità incidente sull’alettone
Soluzione più naturale:Progettare un alettone, costruirlo, montarlo e provarlo.
- Soluzione costosa- Nessuna certezza di ottenere un miglioramento
Matematica/ambiente
Ma i modelli matematici hanno un ruolo anche nella simulazione di eventi di interesse ambientale, allo scopo di formulare stime di impatto o di indicare strategie di controllo dell’inquinamento atmosferico o idrico.
modelli matematici per -la crescita urbana
(http://www.ticinoricerca.ch/catprog/attachment/documentazioni/4_ACME.pdf)
-il gioco del lotto-la meteorologia-lo studio del comportamento
(http://www.dm.unito.it/personalpages/cermelli/dispense-comp-v3.pdf)
Matematica/medicina
La matematica si applica con successo anche alla medicina: è di nuovo un problema matematico simulare al computer il flusso di sangue nel sistema cardiovascolare per capire, ad esempio, come influisce l'impianto di uno stent in un’arteria affetta da aneurisma o come migliorare la forma di un bypass coronarico
Conclusione
Modelli matematici + algortimi e calcolatori (informatica)
permettonodi estendere l’utilizzo della matematica a tutti i fenomeni del mondo che ci circonda.
Lo studio del fenomeno con un modello matematico (sistema di equazioni) fornisce l’informazione cercata senza dover effettivamente riprodurre il fenomeno con notevole risparmio di risorse economiche e temporali
Che cosa è un modello
Un modello può quindi essere schematizzato come un strumento matematico che riceve dei dati in input, li elabora calcolando tutte le grandezze fisiche di interesse e restituisce in output lo stato finale del sistema come conseguenza degli “stimoli” introdotti.
Si parla di modello matematico di un sistema fisico quando si studia il comportamento del sistema mediante un certo numero di assunzioni che si traducono in un sistema di equazioni.
Caso studio
SIGEM - SIMMA
Cliente: Ministero dell’interno Corpo Nazionale dei vigili del fuoco
Progetto: SIGEM-SIMMA Attività:Analisi e realizzazione di un sistema che fornisce una valutazione di massima dell’impatto fisico dovuto ad esplosioni, incendi e rilasci di sostanze infiammabili e/o tossiche.
Cliente
Obiettivo:
valutare le distanze di impatto entro le quali si superano le soglie di danno e di letalità
Obiettivo
Eventopericoloso
Soglia dielevata letalità
Soglia lesioniirreversibili
Soglia lesionireversibili
Incendio 12,5 kW/ m2 5 kW/ m2 3 kW/ m2
Fireball Raggio 200 kJ / m2 125 kJ / m2
Flash fire LFL ½ LFL -
UVCE 0,6 bar 0,07 bar 0,03 bar
Nota: normativa relativa ai serbatoi di stoccaggio di GPL (G.U. 9.7.1976)
Caso GPL Casalguidi
Caso: descrizioneEsempio: GPL Casalguidi
–19.2.1985 Casalguidi (PT)
–2 morti, 4 feriti
–serbatoio 2 t
–descrizione•autocisterna ferma su rampa per rifornire un serbatoio fisso indietreggia andando a urtare violentemente un fabbricato
•nell’urto si rompe una valvola e fuoriesce GPL liquido che vaporizza nel fabbricato
•il GPL trova un innesco nel fabbricato ed esplode
Modello matematico
INPUT OUTPUT
Sostanza-Caratteristiche-Quantitativo uscito-Stato fisico
Condizioni meteorologiche
Condizioni Al contorno
Portata uscitaDurata del rilascio
Campi di radiazione termica ustioni
Campi di sovrappressione crolli, schegge
schema
Campi di concentrazione intossicazione
Es.: Pool Fire
Rappresentazione grafica dell’intensità delle radiazioni in funzione della distanzaAsse y: intensità delle radiazioniAsse x: distanza
Modello di dispersionedei gas
Evoluzione dello Scenario
Fuoriuscita di liquido infiammabile e tossico
jet fire
si
pool fire
si
flash fire UVCE
si
dispersione nube tossica
no
innesco della nube?
si forma una nube di vapori
no
innesco immediato dei vapori?
si forma una pozza
no
innesco immediato della perdita?
Evoluzione dello Scenario
Incendio che avvolge un contenitore di gas liquefatto infiammabile
jet fire
si
flash fire UVCE
si
dispersione sicura
no
innesco?
si forma una nube di vapori
no
innesco?
sfiato dalla valvola di sicurezza
si
no
fireball
si
innesco immediato?
grossa nube di vapori frammenti
BLEVE
no
riscaldamento uniforme?
Scenario IncidentaleL’evoluzione temporale dello scenario
dipende da vari fattori– caratteristiche della sostanza
• infiammabile, tossica, più leggera o più pesante dell’aria, ecc.
– stato fisico durante il trasporto• gas, liquido, gas liquefatto in pressione, ecc.
– quantitativo fuoriuscito– condizioni meteorologiche
• temperatura, velocità del vento, umidità, ecc.– condizioni al contorno
• perdita su terreno, asfalto o acqua, fonti di innesco, morfologia del terreno, presenza di fabbricati, ecc.
Conseguenze
Le conseguenze della fuoriuscita di un prodotto pericoloso si estrinsecano in
– campi di radiazione termica ustioni • jet fire, pool fire, flash fire, fireball
– campi di sovrapressione crolli e schegge• UVCE, esplosione fisica, BLEVE
– campi di concentrazione intossicazione• nubi tossiche
Valutazioni
Il software valuta– portata fuoriuscita e durata del rilascio
– dimensioni della pozza, tasso di vaporizzazione
– campi di concentrazione per la dispersione del prodotto in aria in funzione del tempo e dello spazio (tridimensionali) per infiammabili e tossici
– campi di radiazione termica in funzione dello spazio in caso di jet fire, pool fire e fireball
– campi di sovrapressione in funzione dello spazio in caso di esplosione
Descrizioni scenari
- Rilascio di liquido nell’ambiente con formazione di pozze
- Dispersione di gas, vapori o nebbie in atmosfera
- Incendio di pozze, serbatoi o bacini di liquidi infiammabili (pool fires e tank fires)
- Formazione di getti infuocati (jet fires)
- Esplosione di miscele infiammabili sia confinate che non confinate (flash fires, UVCE, CVE)
- Formazione di sfere infiammabili (BLEVE, Fireballs)
Caso studio
MLG – Magazzino Lamiere Grezze
Cliente: ALENIA
Attività:progetta e sviluppa prodotti per l'aeronautica civile e militare. La sede di NOLA si occupa della produzione di parti lavorate di macchina, fabbricazione di lamiere metalliche e assemblaggio di pannelli con elevato livello di integrazione e automazione industriale.
Cliente
Stoccaggio di lamiere grezze destinate all’area di Assemblaggio e Fabbricazione
Le lamiere sono disposte in casse Ogni cassa è posizionata in un contenitoreI contenitori sono disposti in pile per un max di 9 contenitori
Problematica
Principali Attività
•StoccaggioAttività di immagazzinamento lamiere
•Approntamento:Attività del magazzino per portare a galla il contenitore con il materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte
•PrelievoAttività, eseguita dall’operatore, per il prelievo della lamiera
•DepositoAttività, eseguita dall’operatore, per il deposito di una cassa. Il deposito avviene solo in un contenitore vuoto.
Stoccaggio
Si assume:1. Ogni cassa contiene lamiere con medesimo
codice2. Il contenitore scelto per
l’immagazzinamento sia vuoto3. Ogni contenitore contiene al più una cassa4. Disposizione della cassa La cassa è centrata rispetto al baricentro del
contenitore in modo da garantire, quando il contenitore è inserito in una pila, che:- il peso complessivo della pila sia
coincidente con il baricentro stesso del contenitore/cassa
- il peso sia ben distribuito rispetto ai punti di aggancio dei contenitori.
Approntamento
L’approntamento è l’attività che “porta a galla” il contenitore interessato secondo la teoria della torre di Hanoi con il minore numero di mosse possibili. La scelta del contenitore viene fatta in base:
- alle casse con il minor numero di lamiere- alla data di immagazzinamento delle lamiere
L’attività di approntamento è eseguita di notte in modo che l’operatore al mattino si trova i contenitori contenenti il materiale da prelevare in cima alle pile per permettere il prelievo
Vista Layout Magazzino
Vista layout magazzino
pila
navetta
Prelievo
La fase di prelievo della lamiera inizia con l’avvicinare la cassa all’estremità della navetta mediante i cingoli di cui la stessa navetta è provvista.
Navetta (in giallo)
Contenitore (in blue)
Cingolo della navetta
cassa
L’operatore/i aggancia la lamiera alla barra (a sua volta legata al carroponte manuale) fissandone le estremità ai morsetti di cui la barra è provvista.
Nota: Può capitare, per la posizione della cassa, che l’operatore salga sulla navetta per prelevare la lamiera sollevandola a mano per cui il peso deve essere sostenibile per garantire la dell’operatore e l’integrità della lamiera
Limiti Attuale Magazzino
I vincoli• Ogni contenitore contiene al più una cassa (ovvero un materiale)• La cassa è posizionata al centro del contenitore• Si esegue il deposito solo se il contenitore sia vuoto
Perdita di spazio - Presenza di contenitori contenenti casse di piccole dimensioni - Materiale a terra in attesa di essere stoccato.
causa
Nuovo magazzino
La richiesta è
Ottimizzazione della capacità di immagazzinamento
Consentire lo stoccaggio di codici materiali anche diversi sullo stesso contenitore tenendo presente - la dimensione delle casse contenenti il materiale- la stabilità della pila
Elementi di Analisi
Prendendo in esame• le dimensioni del contenitore• le dimensioni delle singole casse• il codice materiale
Si è operato• nel suddividere il contenitore in aree• nello stoccare più codici materiali su di uno
stesso contenitore
Considerando- la stabilità del contenitore quando disposto in pile- la modalità di prelievo del materiale
Soluzione finale
Cod1
Cod1
Cod1 Cod1 Cod2
Cod1
Cod1Cod2
Cod1
Cod1
Cod2
Cod2
Cod1 e Cod2 sono i codici materiali
Possibili disposizioni delle casse in un contenitore
…..
Torre di HANOI
La Torre di Hanoi è un rompicapo matematico composto da tre paletti e un certo numero di dischi di grandezza decrescente, che possono essere infilati in uno qualsiasi dei paletti.
Torre di Hanoi
Il gioco inizia con tutti i dischi incolonnati su un paletto in ordine decrescente, in modo da formare un cono. Lo scopo del gioco è portare tutti dischi sull'ultimo paletto, con un numero mnimo di mosse, potendo spostare solo un disco alla volta e potendo mettere un disco solo su un altro disco più grande, mai su uno più piccolo.
http://it.wikipedia.org/wiki/Torre_di_Hanoi
SOLUZIONE
La proprietà matematica base è che il numero minimo di mosse necessarie per completare il gioco è 2n - 1, dove n è il numero di dischi. Ad esempio avendo 3 dischi, il numero di mosse minime è 7.
Soluzione
Algoritmo
•Si etichettano i paletti con le lettere A, B e C •Dato n il numero dei dischi •Si numerano i dischi da 1 (il più piccolo, in alto) a n (il più grande, in basso) Per spostare i dischi dal paletto A al paletto B:1.Sposta i primi n-1 dischi da A a C. Questo lascia il disco n da solo sul paletto A 2.Sposta il disco n da A a B 3.Sposta n-1 dischi da C a B Questo è un algoritmo ricorsivo, di complessità esponenziale, quindi per risolvere il gioco con un numero n di dischi, bisogna applicare l'algoritmo prima a n-1 dischi. Dato che la procedura ha un numero finito di passi, in un qualche punto dell'algoritmo n sarà uguale a 1. Quando n è uguale a 1, la soluzione è banale: basta spostare il disco da A a B.
Algoritmo ricorsivo
Terminologia
• ContenitoreSupporto fisico (colore Bleu) atto a contenere le lamiere (L=12.2 m W=3.2 m H=0.4 m )
•Cassa
Insieme delle lamiere da posizionare su di un contenitore
• ApprontamentoAttività del magazzino per portare a galla il contenitore con il materiale di interesse. Tale attività è eseguita di notte
• GalleggiamentoOperazione con la quale il magazzino provvede a portare in superficie ossia in cima ad una pila uno o più contenitori
Resto della divisione
Calcolare il resto di una divisione nell’ipotesi in cui non si conosca l’operazione di divisione
Soluzione:Sottrarre dal dividendo il divisore fino ad ottenere un numero minore del divisore.
Esempio:Il resto della divisone 15/4 è 3. Infatti, con sole tre sottrazioni si ottiene il resto:
15-4=11-4=7-4=3