Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Modelli ecologici

Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali

Chiara Mocennihttp://www.dii.unisi.it/~mocenni/

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Modello malthusiano tempo continuo

Il modello logistico

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Il modello Lotka-Volterra

dove:

x = biomassa della risorsa;

y = biomassa del consumatore;

(x) = crescita della risorsa;

= mortalità del consumatore;

p(x) = risposta funzionale del consumatore (predatore).

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

La risposta funzionale di tipo I

)1,min()( haxxp

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

La risposta funzionale di tipo II

x

xxp

)(

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

La risposta funzionale di tipo III

2)(

xx

xxp

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Il modello Lotka-Volterra modificato

E’ il primo modello consumatore-risorsa con risposta

funzionale lineare. Espresso, nella sua forma

originale, dalle seguenti equazioni:

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

La competizione interspecifica

2

121

2

222

2

1

212

1

111

1

1

1

K

Nb

K

NNr

dt

dN

K

Nb

K

NNr

dt

dN

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Modello adimensionale

uavvdt

dv

vauudt

du

21

12

1

1

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Equilibri del modello

A(0,0);

B(1,0);

C(0,1);

D(u*,v*);

2112

21

2112

12

1

1*;

1

1*

aa

av

aa

au

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Matrice Jacobiano

uavva

uavauJ

2121

1212

21

21

A e’ sempre instabile;B e’ stabile per a21 > 1;C e’ stabile per a12 > 1

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Autovalori

2112

211221122

2112211221 12

11141111,

aa

aaaaaaaa

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

CASO 1.

C

1

1/a12

1/a210

a12 < 1, a21 < 1: B e C sono instabili, D e’ tale che λ1 < 0; λ2 < 0: stabile;

1D

BA

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

CASO 2.

1/a12

1/a21

1

1

Separatrice

a12 > 1, a21 > 1: B e C sono stabili, D e’ tale che λ2 < 0 < λ1 : sella;

AB

C

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

CASO 3.

1/a12

1

1/a21 1

a12 < 1, a21 > 1: B e’ l’unico equilibrio stabile

A B

C

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

CASO 4.

1

1/a12

1 1/a21

a12 > 1, a21 < 1: C e’ l’unico equilibrio stabile

A B

C

Mod

ellis

tica

e G

estio

ne d

ei S

iste

mi A

mbi

enta

li

Riassumendo

CASO 1. a12 < 1, a21 < 1: B e C sono instabili, D e’ tale

che λ1 < 0; λ2 < 0: stabile;

CASO 2. a12 > 1, a21 > 1: B e C sono stabili, D e’ tale

che λ2 < 0 < λ1 : sella;

CASO 3. a12 < 1, a21 > 1: B e’ l’unico equilibrio stabile

CASO 4. a12 > 1, a21 < 1: C e’ l’unico equilibrio stabile