Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007 Sistemi di Supporto alle...

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007

Sistemi di Supporto alle

Decisioni I

Lezione 2

Chiara MocenniCorso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e

L2 in Ingegneria InformaticaIII ciclo


Il processo di scelta razionale

Il soggetto deve essere in grado di:

• Determinare l’insieme di scelta (le azioni);

• Una relazione che lega le azioni alle conseguenze;

• Ordinare tutte le conseguenze possibili;

• Selezionare l’azione migliore


Contesti (1/3)

• 1. Scelta in condizioni di certezza: ad ogni azione e’ associata una ed una sola conseguenza.

Nell’ambito del processo di scelta razionale questo problema diventa banale una volta che il decisore abbia definito l’insieme delle scelte ed ordinato tutte le possibili conseguenze.


Contesti (2/3)

• 2. Scelta in condizioni di incertezza: ad ogni azione sono associate piu’ conseguenze, in base ad una distribuzione di probabilita’ data. L’incertezza ‘e esogena.

– Se la probabilita’ e’ oggettiva ->> SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO

– Se la probabilita’ e’ soggettiva ->>SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA


Scelte in condizioni di incertezza

• PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo.

• L’incertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura.

• Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota.


Contesti (3/3)

• 3. Scelta in condizioni di interazione strategica: ad ogni azione sono associate piu’ conseguenze, ma ora cio’ dipende dalle scelte effettuate da altri soggetti razionali.

L’incertezza non e’ esogena.


Il processo di scelta razionale

Principio della massima utilita’

attesa: Il decisore razionale

massimizza la propria utilita’

attesa (oggettiva o soggettiva).


Le basi della teoria dell’utilita’

• Se restringiamo l’attenzione alle sole azioni che influenzano la quantita’ di denaro vediamo che gli agenti mostrano una preferenza monotona per il denaro.

• Ma non siamo ancora in grado di confrontare lotterie anche se queste coinvolgono quantita’ di denaro.


Esempio

• Supponiamo che abbiate trionfato sugli avversari in un gioco televisivo. Il presentatore vi offre una scelta: prendere il milione di euro che avete vinto o puntare tutto sul lancio di una moneta: se esce testa perdete tutto, se esce croce vincete 3 milioni di euro.

->>> Accettate? E che cosa dovrebbe fare un decisore razionale?


• Il valore atteso dell’azzardo e’ 0.5(0)+0.5(3.000.000)=1.500.000,

• Mentre il valore atteso del premio originale e’ 1.000.000.

• Supponiamo che k sia la vostra ricchezza corrente e che Sn sia lo stato in cui la ricchezza e’ n.


• E(L1)=0.5U(Sk)+0.5U(Sk+3.000.000)• E(L)=U(Sk+1.000.000)• Se ad esempio U(Sk)=5; U(Sk+3.000.000)=10;

U(Sk+1.000.000)=8• Caso1. E(L1)=7.5<8 ->>RIFIUTATE• Caso2. In banca avete 500.000.000 ->> I

benefici del 501-esimo milione saranno piu’ o meno gli stessi del 503-esimo ->>POTETE ACCETTARE


Confronto tra lotterie

il valore atteso di una lotteria non può essere preso a criterio universale (valido per tutti i decisori)


• C’è da chiedersi cosa rappresenta il valore atteso di una lotteria in questo contesto. Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una situazione in cui la decisione (tra L e L1) deve essere presa una tantum. Diverso sarebbe il discorso se si dovesse scegliere L o L1 sapendo di doverla poi giocare un numero molto elevato di volte. Infatti, ripetendo indefinitamente un processo aleatorio, potremmo prendere il valore atteso come stima del guadagno medio a ogni ripetizione.


LA FUNZIONE UTILITA’• Il valore dell’utilità, in generale, non è il

semplice guadagno in termini monetari, ma dipende da vari fattori, tra cui la predisposizione del decisore. Infatti per ogni singolo decisore dovremo definire una (diversa) funzione di utilità i cui valori attesi rappresentano le sue preferenze specifiche.

• Assumeremo però che tali preferenze siano consistenti con certi assiomi di razionalità.


LOTTERIE

• DEF. Una lotteria è una scelta il cui risultato è determinato da semplici meccanismi di fortuna. Si assume inoltre che il numero dei risultati (premi) sia finito.

• Sia

l’insieme dei possibili risultati, comprendente anche il premio nullo, cioè la perdita.

rxxxX ,...,, 21


• Le conseguenze devono essere:

• mutuamente esclusive (al piu’ se ne verifica una);

• esaustive (almeno una si verifica necessariamente).


Confronto tra lotterie (II)

• Si consideri l’insieme R dei possibili risultati certi

x1 x2 … xr

• Una generica lotteria L può rappresentarsi come

L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >


Confronto tra lotterie (II)

• Un risultato certo xi è equivalente a una particolare lotteria:

xi ~ < 0,x1 ; 0,x2 ; …; 1,xi ;…; 0,xr >

• Si vuole definire un ente matematico in grado di rappresentare le preferenze di un decisore, anche relativamente a diverse lotterie


• Associamo a ogni risultato certo un valore u(•) che ne indica il “gradimento”, ossia tale che

u(x1) u(x2) … u(xr)

• Usando queste “utilità elementari”, è possibile far corrispondere a qualsiasi lotteria un valore di utilità


Utilità (attesa) di una lotteria L

U[L] = p1 u(x1) + p2 u(x2)

+ … + pr u(xr)

• Si considerino due lotterie L,ML = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr >

M = < q1,x1 ; q2,x2 ; … ; qr,xr >


Utilità (attesa) di una lotteria L

• Vogliamo individuare una funzione u(•) dei risultati tale che:

L M

se e solo se

r

iii

r

iii xuqxup

11

)()(


Decisioni in condizioni di incertezza

• PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo.

• L’incertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura.

• Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota.

• Cominceremo ad affrontare il problema delle lotterie.


Riassumendo…

Vogliamo individuare una funzione u che permetta di:

I) definire un ordinamento nell’insieme dei risultati X di una lotteria;

II) scegliere tra lotterie in base alla regola dell’utilità attesa.

u è definita su un insieme A che contiene l’insieme dei premi X e l’insieme delle lotterie L, ma vedremo che contiene anche altri tipi di lotterie, quindi:


L

A

X

u: A R


Esistenza della funzione u

• Una simile funzione u(•) esiste?

• Assiomi “della razionalità” riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947)


Esistenza della funzione u

• X è l’insieme dei risultati certi x1, x2 , …, xi,…, xr

• L rappresenta l’insieme di tutte le lotterie che si possono definire su X


1. Ordinamento debole

• Dati due elementi a, b Aè sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste:a bb aa ~ b

• Inoltre a b, b c implica a c


2. Non banalità

• Si consideri l’insieme X dei possibili risultati certi

x1 x2 … xr

allora

x1 xr


3. Riduzione di lotterie composite (I)• Consideriamo una lotteria composita (cioè una

lotteria i cui “premi” sono altre lotterie)

L = <q1,l1;q2,l2;…;qs,ls> che dà diritto alla partecipazione a s lotterie

semplici, t.c.

Lj=<pj1,x1;pj2,x2;…;pjr,xr>, j = 1,…,s.

Sia L’ = <p1,x1;p2,x2;…;pr,xr> t.c.

pi = q1p1i+q2p2i+…+qspsi, i = 1,…,r.

Allora L L’


Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie.


Consideriamo la lotteria

L = <0,x1;0,x2;…;1,xi;…;0,xr>

che assegna il premio xi con probabilità 1.

Allora xi L

Questo corollario dell’assioma 3 (che qui non dimostriamo)

permette di stabilire che il decisore non “prova gusto” semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato.

3. Riduzione di lotterie composite (II)


3. Lotterie composite (esempio)• Una lotteria i cui “premi” sono altre

lotterie

L

0.2

0.5

0.3

L1

L2

L3

0.50.5

0.40.6

0.30.7

+10

-10

+20

-10+10

-20


Lotterie composite• Probabilità di avere +10:

L1

L2

L3

L

0.2

0.5

0.3

0.50.5

0.40.6

0.30.7

+10

-10

+20

-10+10

-20

0.2

0.5

0.30.5


0.2 * 0.5 + 0.5 * 0.3 = 0.25

L1

L2

L3

L

0.2

0.5

0.3

0.50.5

0.40.6

0.30.7

+10

-10

+20

-10+10

-20

0.2

0.5

0.30.5


La lotteria L’ è equivalente a L

L’

+20

+10

-10

-200.35

0.12

0.28

0.25


4. Sostituibilità

• Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti:

L = < …;… ; p,a ;…;…>

L’ = < …;… ; p,b ;…;…>

L L’


Lotterie di riferimento

• Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento:

Lp

1-p

x1

xr


LOTTERIE DI RIFERIMENTO

DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo

x1pxr = <p,x1;0,x2;…;0,xr-1;(1-p),xr> . Queste lotterie appartengono ad A\(XL).

DEF. Si definisce esperimento di riferimento l’insieme delle lotterie di riferimento

x1pxr A, 0p1 .


5. Monotonicità

Lp

1-p

x1

xr

L’p’

1-p’

x1

xr

L L’ p p’


6. Continuità

xi Lui

1-ui

x1

xr

~

• Esiste un valore di probabilità ui tale che:


6. Continuità

• Obiezione circa l’esistenza del valore ui (facilmente confutabile)

• Difficoltà nella determinazione precisa del valore ui

• >>> Necessità di una analisi della sensibilità


Teorema di von Neumann-Morgenstern

• Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M:

– se L è preferita a M U[L] > U[M]

– se M è preferita a L U[M] > U[L]

– se L e M sono indifferenti U[L] = U[M]


Utilità elementari

• Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 all’utilità dei due risultati estremi, ossia

u(x1) = 1

u(xr) = 0


Utilità di una lotteria di riferimento

xi Lui

1-ui

x1

xr

~

u(xi) = ui u(x1) + (1- ui )u(xr)


u(xi) = ui u(x1) + (1- ui )u(xr)

= 1 = 0


Funzione di utilità

• L’utilità del risultato xi è data dal valore di probabilità ui che rende indifferente xi rispetto alla lotteria di riferimento, ossia

u(xi) = ui


Funzione di utilità

• Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore

• Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate


Determinazione di u(•)

• Applicazione accurata dell’assioma di continuità

• Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie):

a1, a2, a3


a1

Variazione indice Dow-Jones (%)

110

< -3 [-3,+2] > +2

a2

a3

110 110

100 105 115

90 100 120

Decisioni


Assessment

• Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare l’investimento più “razionale” per il decisore in questione


L’insieme X dei risultati

• In questo caso X consiste di tutti i possibili risultati, vale a dire

120, 115, 110, 105, 100, 90

x1 xr

• Le lotterie di riferimento hanno come “premi” 90 e 120


Assessment

110 L0.5

0.5

120

90

• L’analista pone domande del tipo: cosa sceglierebbe tra queste due?


Assessment (cont.)

• Supponiamo che la risposta sia: “110 sicuri”

• Possiamo già escludere che l’utilità di 110 sia inferiore 0.5


Assessment (cont.)

110 L0.875

0.125

120

90

• L’analista pone allora la seguente alternativa


Assessment (cont.)

• Supponiamo che stavolta la risposta sia: “la lotteria”

• Possiamo escludere che l’utilità di 110 sia superiore a 0.875

• Si prosegue fino a individuare quel valore di probabilità per cui si ha indifferenza


Assessment (cont.)

110 L0.8

0.2

120

90~

• Supponiamo che si abbia per:

• Da cui, u(110)=0.8


Assessment (cont.)

• Procedendo allo stesso modo si può determinare l’utilità degli altri valori, ad esempio

u(100)=0.4

u(105)=0.6

u(115)=0.95


Verifica della consistenza

115 L0.75

0.25

120

110

• U[L] = 0.75 * u(120) + 0.25 *u(110) = 0.75 * 1 + 0.25 *0.8 = 0.95


Verifica della consistenza

• Poiché era stato misurato che l’utilità di 115 è pari a 0.95, posto di fornte alla scelta il decisore dovrebbe dichiararsi indifferente

• Se ciò non accade:– vanno rivisti i valori di utilità– il decisore rifiuta gli assiomi di von

Neumann…


Tavole di decisione, analisi di decisione e funzioni utilità

• Che relazione esiste tra la scelta tra lotterie e la scelta in condizioni di rischio?

• Cerchiamo di individuare una corrispondenza tra lotterie e tavole di decisione.


a1

Stati di natura

x11

1

a2

a3

Decisioni

Probabilità

2 3

P(1) P(2) P(3)

x12 x13

x21 x22 x21

x31 x32 x33


Consideriamo la seguente lotteria semplice:

Lk= < P(1),xk1;P(2),xk2;…;P(n),xkn>

Allora ak lk


NOTE• Nella precedente equivalenza abbiamo

leggermente modificato la notazione introdotta per le lotterie. In particolare:

1. Non assumiamo che i premi siano ordinati secondo un ordine decrescente, cioè non

assumiamo che x1 x2 … xr . Inoltre, le m lotterie che possono essere

costruite a partire dalle azioni nella tavola di decisione hanno il seguente insieme dei premi: X = xij | i=1,2,…,m; j=1,2,…,n.


• 2. Ogni conseguenza che risulta impossibile sotto la scelta ak non appartiene all’insieme dei premi (cioè non si considerano premi che hanno probabilità nulla).

3. Che cosa succede se due scelte diverse conducono agli stessi risultati? Nella notazione precedente non avevamo posto assunzioni sul fatto che i premi fossero tutti distinti. L’assioma 4 Sostituibilità afferma che se due premi sono uguali (o ugualmente graditi), allora le lotterie che si possono costruire sono tra loro equivalenti.


Assioma 7. Equivalenza di situazioni di incertezza

• Sia data la tavola di decisione precedente e siano li le m lotterie da essa estratte come mostrato. Allora il decisore considera la sua scelta nella tavola di decisione identica alla scelta tra le suddette m lotterie. In particolare,

ai ak li lk, i,k=1,2,…,m.


Corollario

• Dagli assiomi 1-6, dall’Assioma 7 e dal Teorema di von Neumann-Morgenstern

discende che

n

1jkjj

n

1jijj ))u(xP())u(xP(

kiki llaa


Riassumendo

• Dall’Assioma di continuità discende che la funzione di utilità è univocamente determinata.

• La funzione di utilità è una funzione che permette di ordinare lotterie/decisioni assumendo il fatto che le utilità attese calcolate siano effettivamente coerenti con le preferenze del decisore.


• Teorema. Se u è una funzione di utilità su X, allora w = u + (>0) è a sua volta una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze. Viceversa, se u e w sono due funzioni di utilità su X che rappresentano le stesse preferenze, allora esistono >0 e t.c. w = u + .

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007 Sistemi di Supporto alle...

Documents

Transcript of Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa. 2006-2007 Sistemi di Supporto alle...