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0V
500mV
Misure sui sistemi del primo ordine
v0 vc
R=22kΩ
C=2.2nF
Il circuito RC: studio nel dominio del tempo
dt
tdvC
dt
tdqti c )()()( ⋅==
)()()(0 tvtvtv CR +=
)()()(0 tvtiRtv C+⋅=
)()(
)(0 tvdt
tdvRCtv C
C +⋅=
00 )( Vtv =
)e(V(t)v RC
t
C
−−= 10
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 1
Time
0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us
V(C1:1) V(V1:+)
-500mV
•Un parametro molto importante, che quantifica la velocità del circuito, è la costante di tempo τ :
RC=τdefinita come il tempo necessario affinché la tensione ai capi del
condensatore sia pari al 63.2 % della tensione a regime. Infatti per t = τsi ha:
0
1
0c V632.0)e1(V)(v =−=τ −
dopo un tempo t =5ττττ la tensione sul condensatore sarà:
0
5
0C V993.0)e1(V)5(v =−=τ −cioè il 99.3% del valore di regime V0 .
•Tempo di salita (rise time) del circuito: l’intervallo di tempo che
intercorre tra l’istante in cui la tensione Vc=0.1V0 e l’istante di tempo
richiesto affinchè Vc=0.9V0.
Misure sui sistemi del primo ordine
v0 vc
R=22kΩ
C=2.2nF
Per calcolare la costante di tempo, bisogna valutare l’istante di tempo in
corrispondenza del quale la risposta al gradino raggiunge il 63.2%
dell’ampiezza del gradino [(63.2*1V)/100]. Tale valore, nel caso di un’oda
quadra con Vpp=1V, vale 132mV.
sRC µτ 50≅=
500mV
(50.000u,132.820m)
Il circuito RC: studio nel dominio del tempo
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 2
Time
0s 50us 100us 150us 200us 250us 300usV(C1:1)
-500mV
0V
Il tempo di salita si ottiene calcolando la differenza tra gli istanti di tempo relativi al 10% e al 90% del valore massimo della risposta al gradino ed è pari a:ts = 112.515µs-6.108µs= 106.406µs .
Time
0s 40us 80us 120us 160us 200usV(C1:1)
-500mV
0V
500mV
(112.515u,400.181m)
(6.1088u,-400.000m)
Misure sui sistemi del primo ordine
v0 vc
R=22kΩ
C=2.2nF
2
2
12
)(1
CR
AA
ω+
=
( )ωRCarctgΦΦ −= 12
)sin(sin)( 2222 φωφ ++−=−
tAeAtv RC
t
c
( )11 sin)( φω += tAtvo
0V
1.0V
(30.577u,-47.933m)
(14.577u,176.285m)
Il circuito RC: studio nel dominio del tempo
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 3
Time
0s 10us 20us 30us 40us 50us
V(V1:+) V(C1:1)
-1.0V
Il circuito RC sollecitato da un segnale sinusoidale fornisce una risposta
a regime di tipo sinusoidale con:
-la stessa pulsazione angolare ω;
-ampiezza attenuata al crescere di ω;-sfasamento in ritardo crescente con ω da 0° a 90°;
Da queste proprietà, cioè riduzione di ampiezza e sfasamento inritardo all’aumentare della frequenza, si vede che il circuito RC ha delle
proprietà filtranti. Il sistema filtra le componenti con frequenza
maggiore di 1/(2πRC):
KHzRC
f t 183.32
1==
π
Misure sui sistemi del primo ordine
Il circuito RC: studio nel dominio della freq.
RCj1
1
Cj
1R
Cj
1
V
V)j(G
i
u
ω+=
ω+
ω==ω
v0 vc
R=22kΩ
C=2.2nF
T
j
jG
ω
ωω
+
=
1
1)(
RCT
1=ω
Nota: per ω = ωT, si ha:
°−=∠
=
45)(2
1)(
T
T
jG
jG
ω
ω
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0
1
1|)(|
2
≈≈
+
=ω
ω
ω
ωω T
T
jG
|G(jω)| ≈ 1.
°−≈−=∠ 90)(T
arctgjGω
ωω
°=∠ 0)( ωjG
Se ω>> ωT
Se ω<< ωT
•Filtro passa basso•Integratore
T
Misure sui sistemi del primo ordine
Il circuito RC: studio nel dominio della freq.
v0 vc
R=22kΩ
C=2.2nF
Nota: per ω = ωT, si ha:
°−=∠
=
45)(2
1)(
T
T
jG
jG
ω
ω
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Misure sui sistemi del primo ordine
Il circuito RC: comportamento da integratore
v0 vc
R=22kΩ
C=2.2nF
0V
1.0V
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Time
0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us
V(V1:+) V(C1:1)
-1.0V
La forma d’onda in uscita è sfasata di 90°rispetto a quella in ingresso!!
Misure sui sistemi del primo ordine
Il circuito RC: comportamento da integratore
v0 vc
R=22kΩ
C=2.2nF
Forzando il circuito con un’onda quadra si ottiene in uscita un’onda triangolare!!!!
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 7
τττ
tV
tVeVv
t
c 000 111 =
−−≅
−=
−
Misure sui sistemi del primo ordine
Misure sul circuito RC:il problema della non idealità del generatore
•Es. risposta in frequenza.Si invia un segnalesinusoidale all’ingresso delcircuito RC e ad un canaledell’oscilloscopio; l’uscita Vu
si invia all’altro canaledell’oscilloscopio.
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 8
•Mantenendo costante l’ampiezza di Vi, al variare dellafrequenza, possiamo valutare l’ampiezza della sinusoided’uscita e la sua fase. Questa operazione mi consente dideterminare i diagrammi di Bode del modulo e della fasedella f.d.t. del circuito RC.•Affinché il risultato della misura non venga compromesso,l’ampiezza del segnale d’ingresso sinusoidale Vi devemantenersi costante al variare della frequenza.
•In realtà al variare della frequenza varial’impedenza d’ingresso del circuito RC, equindi l’effetto caricante del circuito RC sulgeneratore (varia la caduta su R
G).
•Tale effetto è trascurabile se:
dell’oscilloscopio.
2
2
ωC
1R
+<<GR
Misure sui sistemi del primo ordine
Misure sul circuito RC:il problema della non idealità del generatore
•Es. si invia un’ondaquadra all’ingresso delcircuito RC e ad un canaledell’oscilloscopio mentrel’uscita Vu si invia all’altrocanale dell’oscilloscopio.
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 9
•Gli effetti di carico sul generatore si manifestano anche inquesto caso con la deformazione dell’onda quadra iningresso al circuito RC.
Misure sui sistemi del primo ordine
Misure sul circuito RC:il problema della non idealità del generatore
•Per evitare gli effetti di carico sul generatore si deve farein modo che RG risulti trascurabile rispetto al carico RC.
•A tal proposito viene inserito un partitore resistivo postotra il generatore ed il circuito RC, come mostrato in figura:
R
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 10
•Lo scopo del partitore resistivo è che il circuito RC veda al suo ingresso
un generatore ideale: e che il generatore sia adattato sul
carico (RG<Req,Gen).
•Se R1 > R2 e R2 << R si ha:
Req=R2 // (R1 + RG)≅R2 << R e quindi:eqRR
ωCRZ >>≥
+=
2
2 1
Req
eqRZ >>
•Per opportuni valori di R1 (>RG) il generatore vede uncarico >RG e quindi le cadute su RG diventano trascurabilie così anche gli effetti di carico al variare delle frequenza.
Req, Gen
Misure sui sistemi del primo ordine
Misure sul circuito RC:il problema della non idealità del generatore
Valori tipici per le resistenze del partitore sono:R1=100Ω R2=10Ω.L’effetto del partitore è quello di ridurre ledistorsioni della forma d’onda in ingresso alcircuito RC:
Onda quadra in ingresso al circuito RC senza partitore.
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 11
Caso con partitore.
Misure sui sistemi del primo ordine
Ro Co
Zo = Ro // Co
Ro = 1 MΩ
Co = 15÷20 pFZo
VGR
R1
RG
G
Misure sul circuito RC:effetti dell’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 12
•L’impedenza di ingresso Zo non è infinita,pertanto l’oscilloscopio può causare un effetto dicarico nei riguardi del circuito sotto misura.
•La presenza del circuito di ingressodell’oscilloscopio provoca evidenti modifichenella costante di tempo del circuito RC.
VuVi CoRoCR2
Misure sui sistemi del primo ordine
Req
D
CB
A
Ceq
R1
RGC CoRo
R
R2
RAB = R2 // (R1 + RG) ≈ R2
perché R2< R1+RG
Req=Ro//(R + RAB)≈Ro//(R + R2)≈Ro//R
perché R <<R
Misure sul circuito RC:effetti dell’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 13
perché R2<<R
Req≈Ro//RCeq = C + Co
In definitiva si ricava che: τ = (Ro//R)(C+Co)
Le condizioni da verificare affinché non si verifichinoeffetti di carico dovuti all’oscilloscopio sono:
R<<Ro e C>>Co
In tali condizioni il modulo dell’impedenza d’ingresso
dell’oscilloscopio sarà grande anche a frequenze elevate:
τ = RC
Misure sui sistemi del primo ordine
Req
D
CB
A
Ceq
R1
RGC CoRo
R
R2
•Per valutare gli effetti della ZIN dell’oscilloscopio è possibile
effettuare misure su un circuito RC con :
C = 2.2 nF e R = 200 kΩ
•La frequenza di taglio teorica dovrebbe essere:
Misure sul circuito RC:effetti dell’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 14
•Tenendo conto invece del carico offerto dall’oscilloscopio si ottiene:
τ = (Ro // R) (C + Co)= 373 µs
da cui fT= 426.7 Hz
•Da osservazione sperimentale si ricava: τ = 370 µs
da cui si ottiene f T= 430 Hz
•Come ulteriore verifica, a tale frequenza si è misurato uno
sfasamento pari a:
dove A = 455 mV, B = 643.7 mV
Hz5.361RC2
1
2
1 fT =
π=
πτ=
°== 45)/arcsin( BAϕ
sµτ 440=
Misure sui sistemi del primo ordine
•L’energia assorbita al circuito da parte dell’oscilloscopiopuò essere minimizzata disaccoppiando le impedenzemediante una sonda opportuna.
•La sonda realizza una connessione elettrica tra il circuitosotto misura e l’oscilloscopio attraverso un cavo flessibilee schermato.
•Alcune sonde sono dotate di un commutatore:
Commutatore in posizione 1: la tensione prelevatadalla sonda è direttamente inviata in ingresso
Misure sul circuito RC:effetti dell’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 15
dalla sonda è direttamente inviata in ingressoall’oscilloscopio.Commutatore in posizione 10: la tensione prelevatadalla sonda viene attenuata attraverso un opportunocircuito RC.
•L’effetto della sonda è quello di modificare l’impedenzadi ingresso dell’oscilloscopio, aumentando la resistenzae diminuendo la capacità.
VuVi
Co
C
R
Ro
CS
RSsonda
os
osi
si
CC
CCC
RRR
+=
+= 0
Misure sui sistemi del primo ordine
Misure sul circuito RC:effetti dell’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio
VuVi
Co
C
R
Ro
CS
RSsonda
La sonda deve garantire un trasferimento tra Vi e Vu
indipendente dalla frequenza: compensazione.
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os
o
i
u
ZZ
Z
V
V
+=
=+ω++ω
+ω=
+ω+
+ω
+ω=
ω
ω+
ω
ω
ω
ω
=⋅⋅
⋅
++
+
)1RCj(R)1RCj(R
)1RCj(R
1RCj
R
1RCj
R
1RCj
R
Cj
1R
Cj
R
Cj
1R
Cj
R
Cj
1R
Cj
R
V
V
ssooos
sso
oo
o
ss
s
oo
o
o
o
o
o
s
s
s
s
o
o
o
o
i
u
1)CC(RR
RRj
1RCj
RR
R
so
os
so
ss
os
o
+++
ω
+ω
+=
ssso
os
soRC)CC(
RR
RR=+
+
La condizione di compensazione è data da:
)RR(C)CC(R osssoo +=+
ssoo RCCR =
Misure sui sistemi del primo ordine
VuVi
Co
C
R
Ro
CS
RSsonda
Essendo la sonda composta da:
un condensatore variabile Cs di valore
1÷15 pF
una resistenza R di elevato valore, in
Misure sul circuito RC:effetti dell’impedenza di ingresso dell’oscilloscopio
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 17
una resistenza Rs di elevato valore, in
genere 9 MΩ
la resistenza Ri e la capacità Ci del sistema
sonda- oscilloscopio sono date da:
Ri = Rs + Ro = 9 MΩ + 1MΩ = 10 MΩ
pFCC
CCC
os
osi 10≅
+=
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sul circuito RLC nel dominio del tempo
)(1
)(1)()(
2
2
tvLC
tvLCdt
tdv
L
R
dt
tvdic
cc =++
( ) )(11
)( 21
12 tuesesss
tvtsts
c
+−
−=
−−−=
−+−=
2
0
2
2
2
0
2
1
ωαα
ωαα
s
s
L
R
2=α
LCO
1=ω
Caso sovrasmorzato
>
>
LR 2
0ωα
Risposte al gradino unitario
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( ) )(1)( 12
21
tuesesss
tvc
+−−
=
( ) )(1cos)( 0 tutetv d
t
d
c
+−
−= − φω
ω
ω α
=+=
d
dω
αφωαω arctan22
0
>C
LR 2
Caso sottosmorzato
<
>=
00
01)(
se t
se ttu
( )[ ] )(1cos)( 0 tuttvc +−= φω Caso loss-less 0=α
<
<
C
LR 2
0ωα
Misure sul circuito RLC nel dominio del tempo
)(1
)(1)()(
2
2
tvLC
tvLCdt
tdv
L
R
dt
tvdic
cc =++
( ) )(1cos)( 0 tutetv d
t
c
+−
−= − φω
ω
ω α
−−−=
−+−=
2
0
2
2
2
0
2
1
ωαα
ωαα
s
s
L
R
2=α
LCO
1=ω
Caso sottosmorzato
Caso sottosmorzato
<
<
LR 2
0ωα
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 19
( ) )(1cos)( tutetv d
d
c
+−= φωω
=+=
d
dω
αφωαω arctan22
0
<
>=
00
01)(
se t
se ttu
<C
LR 2
Sovraelongazione S: differenza fra il picco massimo ed il valore a regime della risposta del circuito, oppure valore percentuale del loro rapporto;tempo di salita ts: tempo necessario affinchè la forma d’onda di uscita passi dal 10% al 90% del valore a regime.
S
−−−
−=
−−=
ξ
ξπ
ξω
ξ
πξ
2
2
2
1
1
1
)1
exp(
arctgt
S
n
s
Misure sul circuito RLC: la risonanza
−+=
CLjRZ
ωω
1.
•Alla frequenza di risonanza
•La corrente che scorre nel circuito, alla
risonanza, può essere elevata:
•Le cadute su L e C sono uguali in modulo:
R
E
Z
EI
.
.
.
0
.
==
IL
LIjV == ω
R Z si ha: LC
ω ==1
Misure sui sistemi del secondo ordine
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•Fattore Q:C
L
RQ
1
2
0 ==α
ω Caso sovrasmorzato Q<1/2
Caso sottosmorzato Q>1/2
Caso loss-less Q→∞
0
0
00
1I
C
LI
CjV
IC
LIjV
C
L
==
==
ω
ω
00
00
ωωωω ==
==
====
i
C
i
L
iCL
V
V
V
VQ
QVQRIIC
LVValla risonanza
e quindi:
Misure sul circuito RLC:
interpretazione del fattore di bontà
Tanto più è alto il valore di Q, cioè tanto piùpiccola è la resistenza rispetto ad ω0L, tanto piùle componenti in frequenza vicine allapulsazione di risonanza vengono esaltaterispetto alle altre.
•Q può essereinterpretato comemisura della selettivitàin frequenza del
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 21
•Un’ altra interpretazione del parametro Q si basa suconsiderazioni di carattere energetico. E’ possibiledimostrare che Q è proporzionale al rapporto tral’energia immagazzinata nel circuito e la potenza mediadissipata ad ogni ciclo. Ne segue che tanto più Q èelevato tanto più lentamente il circuito dissiperà l’energiain esso contenuta, ovvero tanto più prolungato sarà iltransitorio che caratterizza la risposta del sistema neldominio del tempo.
in frequenza delcircuito: un circuitoRLC con un Q elevatoè molto selettivo.
Misure sul circuito RLC: dominio della frequenza
1) Se ξ>1 i poli sono reali e distinti :
1
1
)(
)()(
2 ++==
RCsLCssU
sYsG
12
1)(
0
2
0
2
++
=
ss
sG
ω
ξ
ωLC
10 =ω
L
CR
LC
RC
22==ξ
1
2
001 1 λξωξω =−−−=s
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 22
2
2
002
1001
1
1
λξωξω
λξωξω
=−+−=
=−−−=
s
s
2) Se ξ=1 i poli sono coincidenti :
[ ][ ]2
2
2
1
1
1
ξωξω
ξωξω
−+−=
−−−=
nn
nn
js
js
ns ξω−=2,1
3) Se ξ<1 i poli sono complessi e coniugati :
( )221 ξωω −= nR
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Un esempioCOMPONENTI CIRCUITALI:
R1=56ΩR=100Ω oppure 680ΩC=127nF
L=0.01H
Precisione ±1% a 1KHz
Imax =1.5A,
Resistenza in CC a 20°C: 2.1Ω
Al variare della resistenza R inserita nel circuito,
possiamo distinguere i seguenti casi :
1.sottosmorzato ( R < Rc )
2.sovrasmorzato ( R > Rc )
Misure sui sistemi del secondo ordine
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2.sovrasmorzato ( R > Rc )
dove Rc rappresenta la resistenza critica:
Ω== 21.5612C
LRC
Lo scopo dell’esercitazione di laboratorio sulcircuito RLC è la determinazione dei seguenti parametri:
Caso sottosmorzato: ts, S da cui ξ ed ωn (dominio del tempo)diagrammi di bode e fr. (dominio della freq.)
Caso sovrasmorzato: ts (dominio del tempo)diagrammi di bode (dominio della freq.)
Ω per Rω
.ξ
n
10028060
17810=
=
=
Ω per Rω
.ξ
n
68028868
21161=
=
=
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Misure nel dominio del tempo
Per effettuare le misure nel dominio del tempoè necessario inviare all’ingresso del circuitoRLC un’onda quadra di ampiezza nota efrequenza tale da portare a regime larisposta.Scopo: misura di ts, S, ξξξξ, ωωωωn.
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 24
Misure nel dominio della frequenza
Per effettuare le misure nel dominio del tempoè necessario inviare all’ingresso del circuitoRLC un’onda sinusoidale di ampiezza nota efrequenza variabile.Scopo: diagrammi di Bode, fR, ξξξξ, ωωωωn.
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Misure nel dominio del tempo
Nel caso in particolare è stata scelta un’ondaquadra di ampiezza 1Volt misurata conl’oscilloscopio.
Caso sottosmorzato ( R=100Ω )In questo caso si è ottenuta la seguente formad’onda d’uscita:
Vu
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 25
S=∆V2 – ∆V1 =
=1.55V-1V = 0.55V
ts=45.9 µs
−−−
−=
−−=
ξ
ξπ
ξω
ξ
πξ
2
2
2
1
1
1
)1
exp(
arctgt
S
n
s
=
=
27206
1869.0
nω
ξExp.
Theor. ω
.ξ
n
=
=
28060
17810
t
Vu
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Misure nel dominio del tempo
Nel caso in particolare è stata scelta un’ondaquadra di ampiezza 1Volt misurata conl’oscilloscopio.
Caso sovrasmorzato ( R=680Ω )In questo caso si è ottenuta la seguente formad’onda d’uscita:
V
Misure sui sistemi del secondo ordine
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Si rimanda allo studio in frequenza per la determinazionedi ξ ed ωn.
Vu
t
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Misure nel dominio della frequenza•I parametri caratteristici del sistema vengono ricavatimediante l’ausilio dei diagrammi di Bode ricavatisperimentalmente.
Diagramma delle ampiezze: rapporto tra i valori massimidelle sinusoidi d’ingresso e d’uscita al variare dellafrequenza;
Diagramma delle fasi: mediante le figure di Lissajous.
•Nel caso di un sistema sottosmorzato:la fR si ricava osservando la frequenza per cui si ottiene
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 27
la fR si ricava osservando la frequenza per cui si ottienela massima ampiezza del segnale d’uscita;Il Modulo alla risonanza si ottiene………
Da queste grandezze misurate è possibile determinare ξed ωn:
2
2
212
1
21
ξξ
ξωω
−=
−=
R
nR
M
•Nel caso di un sistema sovrasmorzato:ωn si ricava dal diagramma delle fasi cercando lafrequenza in corrispondenza della quale abbiamo una fasedi – 90°.
ξ si ricava una volta noto il valore di ( )n
jGωω
ω=
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
f (Hz) Vi Vu Vu/Vi Vu/Vi(dB) A B φφφφ
100 1 1.01 1.01 0.086427476 1 0 0
1000 1 1.08 1.08 0.66847511 1.07 0.082 -4.39743
2000 1 1.29 1.29 2.211794206 1.22 0.24 -11.351
3000 1 1.7 1.7 4.608978428 1.53 0.64 -24.7399
4000 1 2.2 2.2 6.848453616 1.9 1.64 -59.7033
4200 1 2.23 2.23 6.966097261 1.91 1.81 -71.4139
4300 1 2.32 2.32 7.309759698 1.85 1.85 -90.0456
4400 1 2.18 2.18 6.769129872 1.84 1.83 -95.9336
Misure nel dominio della frequenza
Caso sottosmorzato (R=100 Ω)
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 28
fR ≈ 4300 Hz, ωR=27017
MR=2.32
4500 1 2.14 2.14 6.608275467 1.835 1.8 -101.169
5000 1 1.87 1.87 5.436832131 1.55 1.35 -119.398
7000 1 0.74 0.74 -2.615365605 0.572 0.23 -156.279
2
2
212
1
21
ξξ
ξωω
−=
−=
R
nR
M
=
=
28442
221.0
nω
ξ
ω
.ξ
n
=
=
28060
17810
Exp.
Theor.
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Misure nel dominio della frequenza
Caso sottosmorzato (R=100 Ω)
-4
-2
0
2
4
6
8
1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04
f(Hz)
Vu/V
i (dB
)
0
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 29
fR ≈ 4300 Hz, ωR=27017
MR=2.32
2
2
212
1
21
ξξ
ξωω
−=
−=
R
nR
M
=
=
28442
221.0
nω
ξ
ω
.ξ
n
=
=
28060
17810
Exp.
Theor.
-200
-150
-100
-50
1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04
f(Hz)
φ
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Misure nel dominio della frequenza
Caso sovrasmorzato (R=680 Ω)
f (Hz) Vi Vu Vu/Vi Vu/Vi(dB) A B φφφφ
100 1 1.05 1.05 0.423785981 1.055 0 0
1000 1 0.98 0.98 -0.175478486 0.98 0.485 -29.6781
2000 1 0.76 0.76 -2.383728154 0.765 0.59 -50.4911
3000 1 0.605 0.605 -4.364892507 0.61 0.53 -60.3562
4000 1 0.46 0.46 -6.744843366 0.48 0.48 -90.0456
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 30
fn ≈ 4000 Hz, ωn=25132
|G(jωn)| = 0.465
=
=
25132
175.1
nω
ξ
ω
.ξ
n
=
=
28060
17810
Exp.
Theor.
5000 1 0.41 0.41 -7.744322866 0.41 0.4 -102.641
6000 1 0.33 0.33 -9.629721202 0.32 0.29 -114.975
10000 1 0.14 0.14 -17.07743929 0.19 0.12 -140.813
( ) ( ) 12
1)(
2
2
++
=
n
nn
n
n
jj
jG
ωω
ξ
ω
ωω
Misure sul circuito RLC: in laboratorio!!!
Misure nel dominio della frequenza
Caso sovrasmorzato (R=680 Ω)
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04
f(Hz)
Vu/V
i (dB
)
-40
-20
0
Misure sui sistemi del secondo ordine
Misure sui sistemi del primo ordine - Ing. B. Andò - DIEES - Università degli Studi di Catania 31
fn ≈ 4000 Hz, ωn=25132
|G(jωn)| = 0.465
=
=
25132
175.1
nω
ξ
ω
.ξ
n
=
=
28060
17810
Exp.
Theor.( ) ( ) 12
1)(
2
2
++
=
n
nn
n
n
jj
jG
ωω
ξ
ω
ωω
-140
-120
-100
-80
-60
-40
1.0E+02 1.0E+03 1.0E+04
f(Hz)
φ