MASSIMI E MINIMI

Una funzione è crescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso l’alto

MASSIMI E MINIMI

Definizione rigorosa: data la funzione f:D→R e dato un intervallo I la f si dice CRESCENTE in I se…

I

MASSIMI E MINIMI…per ogni coppia di punti x1 e x2 appartenenti a I e tali che:

Risulta:

IX1

X2

F(X1)

F(X2)12 xx

)()( 12 xfxf

MASSIMI E MINIMI

Una funzione è decrescente quando il suo grafico è un arco di curva rivolto verso il basso

MASSIMI E MINIMI

Definizione rigorosa: data la funzione f:D→R e dato un intervallo I la f si dice DECRESCENTE in I se…

I

MASSIMI E MINIMI…per ogni coppia di punti x1 e x2 appartenenti a I e tali che:

Risulta:

IX1

X2

F(X1)

F(X2) 12 xx

)()( 12 xfxf

MASSIMI E MINIMIUn punto Xo si dice punto di massimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il massimo valore assunto dalla funzione

IXo

F(Xo)

MASSIMI E MINIMINell’esempio, sull’intervallo I la funzione assume il suo massimo valore in Xo.

IXo

F(Xo)

MASSIMI E MINIMIMa se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche maggiori, ad esempio in X1

IXo

F(Xo)

X1

F(X1)

MASSIMI E MINIMIUn punto Xo si dice punto di minimo relativo di un funzione f se esiste un intorno di Xo in cui f(Xo) è il minimo valore assunto dalla funzione

IXo

F(Xo)

MASSIMI E MINIMINell’esempio, sull’intervallo I la funzione assume il suo minimo valore in Xo.

IXo

F(Xo)

MASSIMI E MINIMIMa se guardiamo su tutto il dominio la funzione assume valori anche minori, ad esempio in X1

Xo

F(Xo)

X1

F(X1)

MASSIMI E MINIMIUn punto Xo si dice punto di flesso di un funzione f se la curva attraversa la tangente in quel punto

Xo

F(Xo)

MASSIMI E MINIMI

La determinazione dei massimi e dei minimi relativi e degli intervalli in cui una funzione cresce o decresce è molto semplice per funzioni derivabili; infatti tutto ciò è determinato dal segno della derivata.

MASSIMI E MINIMI

Sia f derivabile in un dato intervallo I, allora:

• se la funzione è crescente in I allora la derivata è maggiore o uguale a zero in tale intervallo

• se la funzione è decrescente in I allora la derivata è minore o uguale a zero in tale intervallo

MASSIMI E MINIMI

Viceversa:

• se la derivata è maggiore di zero in I allora la funzione è crescente I

• se la derivata è minore di zero in I allora la funzione è decrescente in I

MASSIMI E MINIMI

Per trovare i massimi e i minimi relativi di una funzione derivabile è quindi necessario studiare il segno della derivata prima

MASSIMI E MINIMI

• f’(x)>0 => funzione crescente

• f’(x)<0 => funzione decrescente

MASSIMI E MINIMI

Resta da determinare il caso in cui la derivata è uguale a zero

MASSIMI E MINIMI

Sia f’(Xo) = 0;

• se f è crescente a sinistra di Xo e decrescente a destra Xo è MASSIMO RELATIVO• se f è decrescente a sinistra di Xo e crescente a destra Xo è MINIMO RELATIVO

MASSIMI E MINIMI

MASSIMO MINIMO

Xo Xo

MASSIMI E MINIMI

Sia f’(Xo) = 0;

• se la funzione è crescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale ascendente• se la funzione è decrescente sia a sinistra che a destra Xo è punto di flesso a tangente orizzontale discendente

MASSIMI E MINIMI

Flesso ascendente discendente

Xo Xo