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Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Tesi specialistica in matematicaTeorema di Liouville e sue generalizzazioni
Candidato: Simone CamossoRelatore: Domenico Delbosco
Università di Torino
6 Aprile 2011
Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni
Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Richiami: Disuguaglianza e integrale di Cauchy
Teorema
Sia f olomorfa su un dominio Ω, γ cammino chiuso, z0 6∈ |γ|
I (γ, z0)f (z0) =12πi
∫
γ
f (z)dzz − z0
. (1)
Teorema
Sia f olomorfa in un dominio Ω, sia r il raggio di un cerchioC (z0, r) di centro z0 ∈ Ω, allora
|an| ≤ M(r)rn
. (2)
con M(r) = maxz∈C(z0,r) |f (z)|
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Richiami: Teorema di Liouville
Teorema(Liouville)
Sia f : C→ C intera e limitata su tutto il piano complesso allora ècostante.
Teorema
Sia f : C→ C intera, sia r > 0, allora
∞∑
n=0
|an|2r2n =12π
∫ π
−π|f
(re iθ
)|2dθ. (3)
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
1 passo di generalizzazione
Proposizione
Sia f : C→ C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, taleche
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c(1 + |z |) (4)
allora f (z) = a + bz con a, b costanti.
Proposizione
Sia f : C→ C funzione intera e sia c > 0 costante reale, tale che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c |1 + z |m (5)
allora f (z) risulta essere un polinomio di grado al più m.
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Questi risultati non sono presenti il letteratura.
Proposizione
Sia f : C→ C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, taleche
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c |ez | (6)
allora f (z) = aez con a costante.
Proposizione
Sia f : C→ C intera e sia c > 0 reale tale che
|f (z)| ≤ c | sinh z | (7)
allora f (z) è un polinomio con potenze dispari oppure é della formaf (z) = a sinh bz ,con a, b ∈ C.
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in C
Proposizione
Sia f : C→ C intera e sia c > 0 reale tale che
|f (z)| ≤ c| cosh z | (8)
allora f (z) è un polinomio con potenze pari oppure è della formaf (z) = a cosh bz ,con a, b ∈ C.
Proposizione
Sia f : C→ C intera, con un numero infinito di zeri, e sia c > 0reale tale che
|f (z)| ≤ c | sinh z | (9)
allora f (z) è della forma f (z) = a sinh bz , con a, b ∈ C.
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
Richiami: Formula integrale di Cauchy in più variabilicomplesse
Proposizione
Sia Ω un intorno aperto del polidisco chiuso P(z, (r1, ..., rn)) di Cn
ed f : Ω → C sia una funzione olomorfa su Ω, allora∀z ∈ P(z, (r1, ..., rn)) si ha
f (z) =1
(2πi)n
∫
|ξ1−z1|=r1· · ·
∫
|ξn−zn|=rn
f (ξ1, ..., ξn)dξ1 · · · dξn(ξ1 − z1) · · · (ξn − zn)
(10)
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
Richiami: Disuguaglianza di Cauchy in piú variabilicomplesse
Proposizione
Sia Ω aperto di Cn contenente P(z, r) ed f : Ω → C sia unafunzione olomorfa, allora si ha per ogni m ∈ Nn
|am| ≤ Mrm11 · · · rmn
n(11)
ove M = max1≤j≤n(max|ξj−zj|=rj |f (z)|
).
Teorema(Liouville)
Sia f : Cn → C una funzione intera e limitata su Cn, allora f ècostante.
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
2 passo di generalizzazione
Proposizione
Sia f : Cn → C funzione intera su Cn e sia c > 0,tale che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c
1 +
∑
|m|=1
|z |m (12)
allora f (z) = a +∑n
j=1 bjzj con a, bj per i = 1, · · · n costanticomplesse.
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Sommario
Teoremi di tipo Liouville in Cn
Definizione
Definiamo la funzione E : Cn → C la seguente serie formale
E(z) =∑
m∈Nn
1m!
zm. (13)
La E(z) é una funzione intera.
Proposizione
Sia f : Cn → C funzione intera e sia c > 0 ,tale che
∀z ∈ C |f (z)| ≤ c
∣∣∣∣∣∑
m∈Nn
1m!
zm∣∣∣∣∣ = c |E(z)| (14)
allora f (z) = a∑
m∈Nn1m!z
m = aE(z).
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Sommario
Funzioni armoniche
Operatori differenziali complessi
Definizione
Si definisce operatore laplaciano
∆ = Re∇∇ =n∑
j=1
4∂2
∂zj∂z j. (15)
Definizione
Sia f : Cn → C una funzione olomorfa, se
∆f = 0 (16)
allora f (z) è detta armonica.
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Sommario
Funzioni armoniche
Olomorfia e armonicità
Proposizione
Sia f : Cn → C olomorfa allora è armonica.
Tutte le caratterizzazioni fatte in precedenza continuano a valereanche quando al posto di funzioni olomorfe si considerano funzioniarmoniche.In particolare in questo contesto il teorema di Liouvillediventa
Teorema(Liouville)
Sia f : Cn → C una funzione armonica e limitata, allora f ècostante.
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Sommario
Teoremi di Liouville in R,R2,R3
Teoremi di Liouville nel caso Reale
Definizione
Sia f : Rn → R una funzione f reale tale che f ∈ C 2(Rn) e tale che∀x ∈ Rn con x = (x1, · · · , xn) si abbia
∆f (x1, · · · , xn) =n∑
i=0
∂2
∂x2if (x1, · · · , xn) = 0. (17)
Tale funzione è detta armonica.
Teorema
Sia g : Rn → R , una funzione armonica in Rn per n = 1, 2, 3 e ivilimitata, allora è costante.
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Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Teorema di Liouville in Spazi di Banach complessi e suvarietà complesse
Teorema
Sia V uno spazio di Banach complesso, A : C→ V una funzioneanalitica e limitata su tutto C. Allora A è costante.
Teorema
Sia A ∈ L(X ) operatore lineare e limitato A : X → X con X spaziodi Banach complesso allora lo spettro σ(A) non è vuoto.
Teorema
Sia f una funzione olomorfa su X varietà complessa compatta,connessa allora f è costante su X .
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Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Bibliografia
Salvatore Coen, Teoria elementare delle funzioni analitiche dipiù variabili complesse, Università degli studi di Pisa, 1970.
Murray R.Spiegel, Complex variables, Mc Graw-Hill BookCompany, New York, 1975.
Henry Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of oneor Several Complex Variables, Dover Publications, inc. NewYork, 1995.
L. Hörmander, An introduction to Complex Analysis in SeveralVariables, Princeton New Jersey, 1966.
Enzo Martinelli, Introduzione elementare alla teoria dellefunzioni di variabili complesse con particolare riguardo allerappresentazioni integrali, Roma accademia nazionale dei lincei,1984.
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Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Bibliografia
Walter Rudin, Real and Complex Analysis, second edition,University of Wisconsin, Mc Graw-Hill, 1974.
Elias M,Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis,Princeton University Press, 2003.
A.I.Markushevich, Entire functions, New York AmericanElsevier publishing company inc. 1966.
Mike Field, Several Complex Variables and Complex ManifoldsI, Senior Lecturer, Department of Pure Mathematics, Universityof Sydney, 1982.
George Bachman and Lawrence Narici, Functional Analysis,Academic Press New York and London, 1966.
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Sommario
Generalizzazioni del teorema di Liouville
Bibliografia
Ian Stewart and David Tall, Complex Analysis, CambridgeUniversity Press, 1983.
William A.Veech, A Second Course in Complex Analysis, DoverPublications inc. Mineola New York, 1967.