Liouville theorem

Tesi specialistica in matematica Teorema di Liouville e sue generalizzazioni

Tesi specialistica in matematicaTeorema di Liouville e sue generalizzazioni

Candidato: Simone CamossoRelatore: Domenico Delbosco

Università di Torino

6 Aprile 2011


Sommario

Teoremi di tipo Liouville in C

Richiami: Disuguaglianza e integrale di Cauchy

Teorema

Sia f olomorfa su un dominio Ω, γ cammino chiuso, z0 6∈ |γ|

I (γ, z0)f (z0) =12πi

∫

γ

f (z)dzz − z0

. (1)

Teorema

Sia f olomorfa in un dominio Ω, sia r il raggio di un cerchioC (z0, r) di centro z0 ∈ Ω, allora

|an| ≤ M(r)rn

. (2)

con M(r) = maxz∈C(z0,r) |f (z)|


Sommario


Richiami: Teorema di Liouville

Teorema(Liouville)

Sia f : C→ C intera e limitata su tutto il piano complesso allora ècostante.

Teorema

Sia f : C→ C intera, sia r > 0, allora

∞∑

n=0

|an|2r2n =12π

∫ π

−π|f

(re iθ

)|2dθ. (3)


Sommario


1 passo di generalizzazione

Proposizione

Sia f : C→ C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, taleche

∀z ∈ C |f (z)| ≤ c(1 + |z |) (4)

allora f (z) = a + bz con a, b costanti.

Proposizione

Sia f : C→ C funzione intera e sia c > 0 costante reale, tale che

∀z ∈ C |f (z)| ≤ c |1 + z |m (5)

allora f (z) risulta essere un polinomio di grado al più m.


Sommario


Questi risultati non sono presenti il letteratura.

Proposizione

Sia f : C→ C funzione intera e sia c > 0 una costante reale, taleche

∀z ∈ C |f (z)| ≤ c |ez | (6)

allora f (z) = aez con a costante.

Proposizione

Sia f : C→ C intera e sia c > 0 reale tale che

|f (z)| ≤ c | sinh z | (7)

allora f (z) è un polinomio con potenze dispari oppure é della formaf (z) = a sinh bz ,con a, b ∈ C.


Sommario


Proposizione

Sia f : C→ C intera e sia c > 0 reale tale che

|f (z)| ≤ c| cosh z | (8)

allora f (z) è un polinomio con potenze pari oppure è della formaf (z) = a cosh bz ,con a, b ∈ C.

Proposizione

Sia f : C→ C intera, con un numero infinito di zeri, e sia c > 0reale tale che

|f (z)| ≤ c | sinh z | (9)

allora f (z) è della forma f (z) = a sinh bz , con a, b ∈ C.


Sommario

Teoremi di tipo Liouville in Cn

Richiami: Formula integrale di Cauchy in più variabilicomplesse

Proposizione

Sia Ω un intorno aperto del polidisco chiuso P(z, (r1, ..., rn)) di Cn

ed f : Ω → C sia una funzione olomorfa su Ω, allora∀z ∈ P(z, (r1, ..., rn)) si ha

f (z) =1

(2πi)n

∫

|ξ1−z1|=r1· · ·

∫

|ξn−zn|=rn

f (ξ1, ..., ξn)dξ1 · · · dξn(ξ1 − z1) · · · (ξn − zn)

(10)


Sommario


Richiami: Disuguaglianza di Cauchy in piú variabilicomplesse

Proposizione

Sia Ω aperto di Cn contenente P(z, r) ed f : Ω → C sia unafunzione olomorfa, allora si ha per ogni m ∈ Nn

|am| ≤ Mrm11 · · · rmn

n(11)

ove M = max1≤j≤n(max|ξj−zj|=rj |f (z)|

).

Teorema(Liouville)

Sia f : Cn → C una funzione intera e limitata su Cn, allora f ècostante.


Sommario


2 passo di generalizzazione

Proposizione

Sia f : Cn → C funzione intera su Cn e sia c > 0,tale che

∀z ∈ C |f (z)| ≤ c

1 +

∑

|m|=1

|z |m (12)

allora f (z) = a +∑n

j=1 bjzj con a, bj per i = 1, · · · n costanticomplesse.


Sommario


Definizione

Definiamo la funzione E : Cn → C la seguente serie formale

E(z) =∑

m∈Nn

1m!

zm. (13)

La E(z) é una funzione intera.

Proposizione

Sia f : Cn → C funzione intera e sia c > 0 ,tale che

∀z ∈ C |f (z)| ≤ c

∣∣∣∣∣∑

m∈Nn

1m!

zm∣∣∣∣∣ = c |E(z)| (14)

allora f (z) = a∑

m∈Nn1m!z

m = aE(z).


Sommario

Funzioni armoniche

Operatori differenziali complessi

Definizione

Si definisce operatore laplaciano

∆ = Re∇∇ =n∑

j=1

4∂2

∂zj∂z j. (15)

Definizione

Sia f : Cn → C una funzione olomorfa, se

∆f = 0 (16)

allora f (z) è detta armonica.


Sommario

Funzioni armoniche

Olomorfia e armonicità

Proposizione

Sia f : Cn → C olomorfa allora è armonica.

Tutte le caratterizzazioni fatte in precedenza continuano a valereanche quando al posto di funzioni olomorfe si considerano funzioniarmoniche.In particolare in questo contesto il teorema di Liouvillediventa

Teorema(Liouville)

Sia f : Cn → C una funzione armonica e limitata, allora f ècostante.


Sommario

Teoremi di Liouville in R,R2,R3

Teoremi di Liouville nel caso Reale

Definizione

Sia f : Rn → R una funzione f reale tale che f ∈ C 2(Rn) e tale che∀x ∈ Rn con x = (x1, · · · , xn) si abbia

∆f (x1, · · · , xn) =n∑

i=0

∂2

∂x2if (x1, · · · , xn) = 0. (17)

Tale funzione è detta armonica.

Teorema

Sia g : Rn → R , una funzione armonica in Rn per n = 1, 2, 3 e ivilimitata, allora è costante.


Sommario

Generalizzazioni del teorema di Liouville

Teorema di Liouville in Spazi di Banach complessi e suvarietà complesse

Teorema

Sia V uno spazio di Banach complesso, A : C→ V una funzioneanalitica e limitata su tutto C. Allora A è costante.

Teorema

Sia A ∈ L(X ) operatore lineare e limitato A : X → X con X spaziodi Banach complesso allora lo spettro σ(A) non è vuoto.

Teorema

Sia f una funzione olomorfa su X varietà complessa compatta,connessa allora f è costante su X .


Sommario


Bibliografia

Salvatore Coen, Teoria elementare delle funzioni analitiche dipiù variabili complesse, Università degli studi di Pisa, 1970.

Murray R.Spiegel, Complex variables, Mc Graw-Hill BookCompany, New York, 1975.

Henry Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of oneor Several Complex Variables, Dover Publications, inc. NewYork, 1995.

L. Hörmander, An introduction to Complex Analysis in SeveralVariables, Princeton New Jersey, 1966.

Enzo Martinelli, Introduzione elementare alla teoria dellefunzioni di variabili complesse con particolare riguardo allerappresentazioni integrali, Roma accademia nazionale dei lincei,1984.


Sommario


Bibliografia

Walter Rudin, Real and Complex Analysis, second edition,University of Wisconsin, Mc Graw-Hill, 1974.

Elias M,Stein and Rami Shakarchi, Complex Analysis,Princeton University Press, 2003.

A.I.Markushevich, Entire functions, New York AmericanElsevier publishing company inc. 1966.

Mike Field, Several Complex Variables and Complex ManifoldsI, Senior Lecturer, Department of Pure Mathematics, Universityof Sydney, 1982.

George Bachman and Lawrence Narici, Functional Analysis,Academic Press New York and London, 1966.


Sommario


Bibliografia

Ian Stewart and David Tall, Complex Analysis, CambridgeUniversity Press, 1983.

William A.Veech, A Second Course in Complex Analysis, DoverPublications inc. Mineola New York, 1967.

Liouville theorem

Self Improvement

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