Post on 24-Oct-2021
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Diciamo che una funzione è una primitiva di un’altra funzione in un dato intervallo
se in ogni punto di F(x) f (x) I
F '(x) = f (x) I.
Per esempio:
se allora perché
se allora perché
f '(x) = cos x F(x) = sin x D sin x[ ] = cos x
f '(x) = 2x F(x) =x2 D x2⎡⎣ ⎤⎦= 2x
Le primitive di una funzioneL’integrale indefinito
L’integrale indefinito
se tutte le primitive sono
se tutte le primitive sono
Ogni funzione ha infinite primitive che differiscono tra loro per una costante; relativamente ai
precedenti esempi:f (x)
f '(x) = cos x F(x) = sin x+c
f '(x) = 2x F(x) = x 2+ c
L’insieme di tutte le primitive di una funzione si dice integrale indefinito di e si indica
con il simbolo:
f (x)dx∫
f (x) f (x)
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L’integrale indefinito
con c costante reale.
L’integrale indefinito
ESEMPI
1) L’insieme delle primitive della funzione è:f (x) =1
2) L’insieme delle primitive della funzione è:f (x) = 3x 2
1dx = x + c∫
3x2 dx = x3 + c∫
perché
perché
D x + c[ ] =1
D x3 + c⎡⎣ ⎤⎦= 3x2
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L’integrale indefinito
L’integrale indefinito
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Per trovare l’integrale indefinito delle funzioni elementari dobbiamo in un certo senso invertire le
regole di derivazione. Ricordiamo le primitive di alcune tra le principali funzioni.
1dx = x + c∫
1xdx = ln x∫ + c
sin x dx = −cos x + c∫
xk dx = 1k +1
xk+1 + c se k ≠ −1∫
ex dx = ex + c∫
cos x dx = sin x + c∫
L’integrale indefinito
L’integrale indefinito
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ESEMPI
x5 dx = 15+1
x5+1 + c = 16x6 + c∫1)
ò ò +=+=++
==+
cxxcxcxdxxdxx 3341
31
31
3
43
43
1311
2)
3)
4)
1x4dx∫ = x−4 dx∫ =
1−4+1
x−4+1 + c = −13x−3 + c = − 1
3x3+ c
2 dx∫ = 2x + c
L’integrale indefinito
L’integrale indefinito
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I metodi di integrazione
Le prime proprietà dell’integrale indefinito e il metodo di scomposizione.
n L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante perl’integrale della funzione. In simboli
k ⋅ f (x)dx = k ⋅ f (x)dx con k ∈ R∫∫
n L’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degliintegrali delle singole funzioni. In simboli
f1(x)+ f2 (x)+.....+ fn (x)[ ]∫ dx = f1(x)dx∫ + f2 (x)∫ dx +..... + fn (x)∫ dx
Queste due proprietà ci dicono che l’integrale indefinito è un operatore lineare, cioè:
k1 f1(x)+ k2 f2 (x)+.....+ kn fn (x)[ ]∫ dx = k1 f1(x)dx∫ + k2 f2 (x)∫ dx +..... + kn fn (x)∫ dx
L’integrale indefinito
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Il metodo di integrazione che sfrutta le precedenti proprietà prende il nome di
metodo di scomposizione o decomposizione.
ESEMPI
1. 4x2 dx = 4 x2 dx = 4 12+1
x2+1 + c = 43x3 + c∫∫
2. (ex − sin x)dx∫ = ex dx − sin x dx = ex + cos x + c∫∫
3. x2 +1x
dx = x2
xdx∫ +
1xdx∫ = x dx + 1
xdx = 1
1+1x1+1 + ln x + c = 1
2x2 + ln x + c∫∫∫
I metodi di integrazione
L’integrale indefinito
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Dalla regola di derivazione delle funzioni composte:
D f (g(x))[ ] = f '(g(x)) ⋅ g '(x)
Ricaviamo, leggendo in senso inverso:
f '(g(x)) ⋅ g '(x)dx = f (g(x))+ c∫
Per integrare una funzione composta dobbiamo quindi avere come fattore moltiplicativo la derivata
del suo argomento.
L’integrazione delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta
I metodi di integrazione
L’integrale indefinito
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ESEMPIO
sin3 x ⋅cos x∫ dx
è la funzione potenza il cui argomento è , la derivata di
è . Possiamo quindi applicare la regola:f '(g(x)) (sin x)3 g(x) = sin x g(x)g '(x) = cos x
sin3 x ⋅cos x∫ dx = 13+1
(sin x)3+1 + c = 14sin4 x + c
f ' g '
Infatti:
D 14sin4 x + c
⎡
⎣⎢⎤
⎦⎥=14⋅ 4sin3 x ⋅cos x cioè sin3 x ⋅cos x
I metodi di integrazione
L’integrale indefinito
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ALTRI ESEMPI
1.ln2 xx
dx∫
Utilizziamo la regola di integrazione della potenza:
f (x)[ ]k ⋅ f '(x)dx∫ dove f (x) = ln x f '(x) = 1x
e
ln2 xx
dx = ln2 x∫ ⋅1xdx∫ =
13ln3 x + c
f k f '
I metodi di integrazione
L’integrale indefinito
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2.x
x4 +1∫
Dobbiamo riferirci alla regola di integrazione di
f '(x)f (x)[ ]2 +1
∫ dove f (x) = x2 f '(x) = 2xe
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2x(x2 )2 +1
dx∫ =12arctan x2 + c
f
f '
Per avere dobbiamo moltiplicare, e quindi dividere per 2:f '(x)
I metodi di integrazione
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L’integrale indefinito Integrazione per parti
Integrazione per parti
Date due funzioni ! " e #(") continue con derivata continua in un intervallo[', )], si ha:
+!, " - # " ." = ! " - # " − +!(") - #, " ."
Questa formula si applica quando la funzione integranda può essere vista comeprodotto di due funzioni, una delle quali è la derivata di una funzione nota.
La funzione #(") prende il nome di fattore finito.La funzione !(") prende il nome di fattore differenziale.
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L’integrale indefinito Integrazione per parti
ESEMPIO
!" # $%&" = $% # " − ! $% # 1 &" = "$% − $% + +
,(") /′(") /(") ,(") /(") ,′(")
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L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione
Integrazione per sostituzione
Questo metodo si usa quando, operando un cambio di variabile, si riesce ad ottenereun integrale immediato o facilmente calcolabile.
Posto ! = #(%) si sfrutta l’uguaglianza:
'( ! )! = '([# % ] , #- % )%
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L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione
ESEMPIO
Calcoliamo
! "1 + " %".
I passo: poniamo " = ( cioè " = (), con ( ≥ 0.
La funzione da integrare diventa: ,-.,/.
II passo: dobbiamo calcolare %".
Differenziamo entrambi i membri dell’uguaglianza " = ():
%" = 2( %(.
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L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione
III passo: operiamo le sostituzioni.
! "1 + " %" = ! '
1 + '( ) 2' %' = ! 2'(1 + '( %'
Calcoliamo l’integrale:
! 2'(1 + '( %' = 2! '(
1 + '( %' = 2! '( + 1 − 11 + '( %' =
= 2 ! '( + 1'( + 1 %' − ! 1
1 + '( %' = 2 !%' − arctan ' + 1 =
= 2 ' − arctan ' + 1
IV passo: operiamo la sostituzione inversa; otteniamo:
! "1 + " %" = 2 " − 2 arctan " + 1
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L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione
Sintetizziamo la procedura:
• si opera una opportuna sostituzione ! = # $• si differenziano entrambi i membri della relazione ottenendo %! = #& $ %$• si sostituisce a %! la sua espressione in funzione di $• si integra la nuova funzione in $ ottenuta• si opera infine la sostituzione inversa.
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L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione
Segnaliamo alcune sostituzioni particolari, dove ! rappresenta un numero reale:
• ∫ !# − %# &% si pone % = ! sin +
• ∫ %# ± !# &% e ∫ -./±0/ &% si pone %# ± !# = + − %
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Il caso ! ≥ #
Se la frazione $(&)((&) ha il numeratore di grado maggiore o uguale di quello deldenominatore, si esegue la divisione tra polinomi:
)(*)+(*) = - * + /(*)
+(*)- * : quoziente/ * : resto
Il calcolo dell’integrale si riconduce alla determinazione della primitiva del polinomio -(*) e della frazione 1(&)2(&) con le regole viste nei casi precedenti.
Vogliamo occuparci dell’integrazione delle funzioni che si presentano nella forma $(&)((&) ,dove )(*) è un polinomio di grado 3 e +(*) è un polinomio di grado 4.
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
ESEMPIO
!"# + 1" + 1 &"
Eseguiamo la divisione:"# + 1 " + 1
−"# − " " − 1−" + 1+" + 1
2
Quindi:
!"# + 1" + 1 &" = ! " − 1 &" + ! 2
" + 1 &" ="#2 − " + 2 ln " + 1 + ,
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L’integrale indefinito
Vogliamo occuparci dell’integrazione delle funzioni che si presentano nella forma !(#)%(#) ,dove &(') è un polinomio di grado ( e )(') è un polinomio di grado *.
Integrazione delle funzioni razionali fratte
Il caso + < -
Poiché il grado del numeratore è minore di quello del denominatore diciamo che la frazione è propria.
Le procedure di integrazione sono diverse a seconda della forma che assume la frazione.
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Qualunque sia il grado del denominatore, si ha:
!"′(%)"(%) '% = ln " % + ,
Integrale in cui il numeratore è la derivata del denominatore
ESEMPIO
! 13% − 4 '% =
13!
33% − 4 '% =
13 ln 3% − 4 + ,
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
ESEMPIO
! 1(2% + 7)) *% =
12!2(2% + 7),)*% = 1
2 - . /− 13 2% + 7 ,2 + 3 = − 16 2% + 7 2 + 3
Integrali della forma ∫ 6(789:); con ; > 6
! 1(=% + >)? = !(=% + >),?*% = 1
=!=(=% + >),?*% = 1=(−@ + 1) (=% + >),?9A+3
Applichiamo la regola della potenza:
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Integrali della forma ∫ "#$%&#'$(#$) con & ≠ +
I CASO: il discriminante è positivo Il denominatore si può scomporre nel prodotto di due o più fattori:
,-. + 0- + 1 = , - − -4 - − -. .In tal caso:• scriviamo la frazione come somma di altre frazioni che hanno come denominatori
i fattori della scomposizione;• integriamo ciascuna frazione ottenuta.
Il metodo di integrazione è diverso a seconda del segno del discriminante del polinomio al denominatore.
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
ESEMPIO
! 13$% − 4$ + 1 )$
Scomponiamo il denominatore:
3$% − 4$ + 1 = 3 + ,$ − 13 $ − 1 = 3$ − 1 $ − 1
Cerchiamo due numeri - e . tali che sia:
13$% − 4$ + 1 =
-3$ − 1 +
.$ − 1
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Poiché
!3# − 1 +
'# − 1 =
! # − 1 + '(3# − 1)(3# − 1)(# − 1) = !# − ! + 3'# − '
(3# − 1)(# − 1) = # ! + 3' − ! − '(3# − 1)(# − 1)
affinché sussista l’uguaglianza
13#+ − 4# + 1 =
# ! + 3' − ! − '(3# − 1)(# − 1)
per il principio di identità dei polinomi dovrà essere:
-! + 3' = 0 manca il termine in x−! − ' = 1 il termine noto vale 1
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Risolvendo il sistema otteniamo:
! = −32 ∧ ' = 12
Possiamo perciò scrivere:
) 13*+ − 4* + 1 .* = ) −3/2
3* − 1 .* + ) 1/2* − 1 .* =
= −12)3
3* − 1 .* +12)
1* − 1 .*
= −12 ln 3* − 1 + 12 ln * − 1 + 2
e applicando la proprietà dei logaritmi:12 ln
* − 13* − 1 + 2
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
II CASO: il discriminante è nulloIl denominatore è il quadrato di un binomio.
Se il numeratore è costante rientriamo nel caso di integrazione di una potenza.
Se il numeratore è un polinomio di primo grado, allora:
• scriviamo la frazione come somma di altre due, la prima delle quali ha aldenominatore il binomio e l’altra il quadrato del binomio;
• integriamo ciascuna frazione ottenuta.
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
ESEMPIO
! 2# + 14#' − 4# + 1 )# = ! 2# + 1
(2# − 1)' )#
Cerchiamo due numeri - e . tali che sia:
2# + 1(2# − 1)' =
-2# − 1 +
.(2# − 1)'
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Perciò:• eseguendo la somma delle due frazioni:
!2# − 1 +
'(2# − 1)* =
! 2# − 1 + '(2# − 1)* = 2!# − ! + '
(2# − 1)*• allora dovrà essere:
, 2! = 2−! + ' = 1 → .! = 1
' = 2Possiamo quindi scrivere:
/ 2# + 1(2# − 1)* 0# = / 1
2# − 1 0# + / 2(2# − 1)* =
12/
22# − 1 0# + /2(2# − 1)1*0#
Integrando otteniamo:12 ln 2# − 1 − 1
2# − 1 + 4
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
III CASO: il discriminante è negativo
Caso del numeratore costante
Il metodo di integrazione consiste nel ricondursi alla forma nota:
! "′(%)[" % ])++ ,% =
1+/012/3 "(%)
++ 1 (143 + > 0)
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
ESEMPIO
! 53$% − 2$ + 1 *$
Per trasformare il denominatore seguiamo il seguente procedimento:
1. raccogliamo il coefficiente del termine di grado massimo: 3 $% − %+ $ +
,+
2. aggiungiamo e togliamo all’interno della parentesi un termine opportuno in modo da ricondurci al quadrato di un binomio:
3 $% − 23 $ +
13 = 3 $% − 2
3 $ +19 −
19 +
13 = 3 $ − 1
3%+ 29
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
L’integrale diventa:53#
1
% − 13
'+ 29+%
con , % = % − ./, ,0 % = 1, 1 = '
2.
Applicando la regola di integrazione troviamo:
# 53%' − 2% + 1 +% =
53129345637
% − 1329+ 5 = 5 2
2 345637 2(3% − 1)2 + 5
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Caso in cui il numeratore è un polinomio di primo grado
In questo caso dobbiamo prima trasformare il numeratore in modo che compaia la derivata del numeratore e poi riscrivere la frazione come somma di due componenti: una in cui il numeratore è la derivata del denominatore e l’altra in cui il numeratore è costante.
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
ESEMPIO
! " + 1"% + " + 1 &"
' "% + " + 1 = 2" + 1.
Moltiplichiamo e dividiamo la frazione per 2 in modo da ottenere 2":12!
2" + 2"% + " + 1 &"
Abbiamo così:12!
2" + 1 + 1"% + " + 1 &" =
12 ! 2" + 1
"% + " + 1 &" + ! 1"% + " + 1 &" =
= 12!
2" + 1"% + " + 1 &" +
12!
1"% + " + 1 &"
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Calcoliamo separatamente i due integrali omettendo per il momento la costante additiva:
12#
2$ + 1$& + $ + 1 '$ =
12 ln($
& + $ + 1)
12#
1$& + $ + 1 '$ =
12#
1$& + $ + 1
4 −14 + 1
'$ = 12#
1
$ + 12
&+ 34'$ =
= 12 0
134123415
$ + 1234
= 33 123415 3(2$ + 1)
3
In definitiva:
# $ + 1$& + $ + 1 '$ =
12 ln $
& + $ + 1 + 33 123415 3(2$ + 1)
3 + 3
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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte
Riassumiamo in una tabella la procedura di calcolo nei tre casi visti: