09 – IL CALCOLO INTEGRALE

Il Calcolo integrale ha come fine quello di risolvere due problemi:

Problema 1 (antiderivazione)Sia I un intervallo; data , dire se esiste una funzione G derivabile in I tale che .

Problema 2 (quadratura)

Date , con ( ) ( )g x f x per ogni , assegnare un valore numerico che

esprima l’area dell’insieme in modo che certi

(naturali) requisiti siano soddisfatti: per esempio, si vuole che l’area di una regione A contenuta inuna B sia più piccola dell’area di B, o che l’area dell’unione di due regioni disgiunte sia la sommadelle aree, e così via.

DEFINIZIONE (primitive)Date , si dice che G è una primitiva di f in I se G è derivabile in I e risulta

per ogni .

È possibile dimostrare il seguente

TEOREMAPer ogni funzione continua in un intervallo I esistono primitive.

OSSERVAZIONI1. Se G è una primitiva di f in I, allora , con , è ancora una primitiva di f in I. Infatti,

.

2. Se e sono primitive della stessa funzione in un intervallo I, allora la funzione differenza

è costante in I. Infatti, risulta in I, e quindi è

costante in I per la 2 del Corollario 1 del Teorema di Lagrange.

3. Tenendo conto delle precedenti osservazioni, il problema del calcolo di tutte le primitive di unafunzione f in un intervallo si riconduce al calcolo di una sola primitiva.Infatti trovatane una, sia G, le funzioni G + c, al variare della costante c in R, sono tutte e sole leprimitive di f in I.

ESEMPIRicordando le derivate delle funzioni elementari, possiamo dire che:

è una primitiva di in

è una primitiva di in

:f I R 'G f

, : ,f g a b R ,x a b

2( , ) | , ( ) ( )E x y R a x b g x y f x

, :f G I R

'( ) ( )G x f x x I

( )G x c c R

( ) '( ) ( )D G x c G x f x

1G 2G

1 2G G 1 2 1 2' ' ' 0G G G G f f 1 2G G

1

( ) ( 1)1

xF x

( )f x x 0,

( ) logaF x x1

( )log

f xx a

0,

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

93

( ) lnF x x è una primitiva di1

( )f xx

in 0,

( ) cosF x x è una primitiva di ( ) sinf x x in R

( ) sinF x x è una primitiva di ( ) cosf x x in R

DEFINIZIONE (integrale indefinito)Sia I un intervallo, e sia :f I R ; si dice integrale indefinito di f l’insieme di tutte le primitive di

f. Si denota con il simbolo ( )f x dx .

In altri termini risulta ( ) ( )f x dx F x c , con F(x) primitiva di f e .

OSSERVAZIONESe il dominio di f non è un intervallo, ma, per esempio, l’unione di più intervalli, allora la

descrizione dell’integrale indefinito cambia. Per esempio, sapendo che ln x è una primitiva della

funzione1

x, definita per ,0 0,x , si ha che

al variare di tutte le possibili scelte di e in R, non necessariamente da scegliere uguali tra loro.

In particolare, la descrizione completa dell’integrale indefinito non dipende da una sola costantearbitraria (come nel caso in cui il dominio sia un intervallo) ma da più di una, in questo caso due.

PROPRIETÀ DI LINEARITÀ DELL’INTEGRALE INDEFINITOSi verifica facilmente che se f e g sono continue in I ed h e k sono due costanti reali, allora:

METODI DI INTEGRAZIONE

1. Integrali immediati

, con , con

x xe dx e c

c R

1

2

log se 01log | |

log( ) se 0

x c xdx x c

x c xx

1c 2c

( ) ( ) ( ) ( )h f x k g x dx h f x dx k g x dx

1

1

nn x

x dx cn

1n

1

( )( ) '( )

1

nn f x

f x f x dx cn

1n

1ln | |dx x c

x

'( )ln | ( ) |

( )

f xdx f x c

f x

( ) ( )'( )f x f xe f x dx e c

ln

xx a

a dx ca

( )

( ) '( )ln

f xf x a

a f x dx ca

sin cosxdx x c sin ( ) '( ) cos ( )f x f x dx f x c cos sinxdx x c cos ( ) '( ) sin ( )f x f x dx f x c

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

94

2. Integrazione per parti

Siano f e g due funzioni continue in I con derivata prima continua in I. Risulta:

Dim.

Da si ha che è una primitiva di , ossia

, segue la tesi.

ESEMPI

3. Integrazione per sostituzione

Siano I e J due intervalli, continua e continua con derivata prima continua.

Allora si ha:

ESEMPIO

Calcola

Posto , risulta

2

1tan

cosdx x c

x 2

'( )tan ( )

cos ( )

f xdx f x c

f x

2

1cot

sindx x c

x 2

'( )cot ( )

sin ( )

f xdx f x c

f x

2

1arcsin

1dx x c

x

2

'( )arcsin ( )

1 ( )

f xdx f x c

f x

2

1arctan

1dx x c

x

2

'( )arctan ( )

1 ( )

f xdx f x c

f x

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )f x g x dx f x g x f x g x dx

' ' 'f g f g f g f g ' 'f g f g

' 'f g f g f g

1x x x x xxe dx xe e dx xe e c

2 2 2 21ln ln ln

2 2 2 4

x x x xx xdx x dx x c

x

:f I R :g J I

( )( ) ( ( )) '( )

x g tf x dx f g t g t dt

21 x dx

sinx t cosdx t dt

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

95

Pertanto, essendo e , si ottiene

INTEGRAZIONE DI FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

È sempre possibile, in linea di principio, calcolare l’integrale indefinito del rapporto di due

polinomi a coefficienti reali , purché si conoscano le radici del denominatore Q(x). Se il grado

p del numeratore è maggiore o uguale al grado q del denominatore, si deve effettuare la divisionedei due polinomi ottenendo un quoziente S(x) e un resto R(x) che è un polinomio di grado h < q.Allora possiamo scrivere

ossia

ottenendo

dove l’integrale del polinomio S(x) è immediato e nell’integrale razionale il grado di R(x) èstrettamente minore del grado di Q(x). Per calcolare quest’ultimo integrale si usa il metodo dei frattisemplici.

Il polinomio Q(x) si fattorizza come:

con e i polinomi hanno il discriminante negativo.

Illustriamo il metodo dei fratti semplici con un esempio in cui Q ha una radice reale doppia e dueradici semplici complesse coniugate.

2 2 2 1 cos 2 1 11 1 sin cos cos 2cos 2

2 2 4

1 1 1 1sin 2 sin cos

2 4 2 2

tx dx t t dt t dt dt dt t dt

t t c t t t c

arcsint x 2 2cos 1 sin 1t t x

2 21 11 arcsin 1

2 2x dx x x x c

( )

( )

P x

Q x

( ) ( ) ( ) ( )P x Q x S x R x

( ) ( )( )

( ) ( )

P x R xS x

Q x Q x

( ) ( )( )

( ) ( )

P x R xdx S x dx dx

Q x Q x

11 2 21 1 1( )

srn nm m

r s sQ x a x x x x x p x q x p x q

1 1... 2 ... 2r sm m n n q 2i ix p x q

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

96

ESEMPIO

Consideriamo l’integrale indefinito . Il denominatore ha la radice doppia

e si fattorizza come

Allora si introducono delle costanti da determinare mediante la seguente uguaglianza:

Effettuando la somma a secondo membro e riducendo i termini simili si ha:

Uguagliando i coefficienti delle potenze di x dello stesso grado si arriva al sistema:

Risolvendo il sistema lineare si ottiene:

Dunque

.

Calcoliamo i tre integrali separatamente.

4 2

2 1

2 8 5

xdx

x x x

1x

2 2( ) 1 2 5Q x x x x

24 2 2

2 1

2 8 5 1 2 51

x A B Cx D

x x x x x xx

3 2

4 2 4 2

2 3 2 2 5 52 1

2 8 5 2 8 5

A C x A B C D x A B C D x A B Dx

x x x x x x

0

2 0

3 2 2 2

5 5 1

A C

A B C D

A B C D

A B D

1 3 1 9, , ,

16 8 16 16A B C D

24 2 2

1 92 1 1 3 16 16

2 8 5 16 1 2 58 1

xx

dx dx dx dxx x x x x xx

1 1

ln | 1|16 1 16

dx xx

2 12

2

13 3 3 31

8 8 2 1 8 18 1

xdx x dx

xx

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

97

1

Segue che

1 Dato con si può scrivere:

2 2 2 2

1 91 9 1 2 18 1 2 2 1616 16

2 5 16 2 5 32 2 5 32 2 5

xx x x

dx dx dx dxx x x x x x x x

2

2 22

2 2

2 2

2 2

2

1 2 2 1 16 1 1 1ln 2 5

1632 2 5 32 2 5 32 2 14

1 1 1 1 1 1ln 2 5 ln 2 5

32 2 32 81 4 11

2

11 1 1 1 12ln 2 5 2 ln 2 5 arctan

32 8 32 4 211

2

xdx dx x x dx

x x x x x

x x dx x x dxx x

xx x dx x x

x

2

4 2

2 1 1 3 1 1 1ln | 1| ln 2 5 arctan

2 8 5 16 8 1 32 4 2

x xdx x x x c

x x x x

2x px q

24 0p q

2

22 2

2 2 22 12 4 4 2 4 4

4

px

p p p px px q x x q x

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

98

a = x0 x1

m1

0 x2 x3 = b

m2 = M1

m3 = M2

M3

FUNZIONI INTEGRABILI SECONDO RIEMANN

In questo paragrafo considereremo sempre funzioni definite in un intervallo chiuso e limitato chedenoteremo con [a, b]. Daremo una definizione di integrale di una funzione, sebbene questa non sial’unica definizione possibile per affrontare il problema della quadratura esposto in precedenza. Leidee presentate sono state sviluppate dal matematico tedesco Bernhard Riemann (1826-1866), ed èper questo che l’integrale che definiremo viene detto integrale di Riemann.

Sussiste la seguente

DEFINIZIONE (suddivisione)Si dice suddivisione dell’intervallo [a, b] un sottoinsieme finito di punti tali che

.

Una generica suddivisione di [a, b] viene indicata con la notazione .

Poiché le suddivisioni di un intervallo altro non sono che suoi sottoinsiemi, fra esse sussiste l’ovviarelazione di inclusione.

Costruiremo l’integrale di una funzione con un procedimento di approssimazione basato sullenozioni introdotte nella successiva

DEFINIZIONE (somme integrali)

Sia data limitata; fissata una suddivisione di [a, b], per

poniamo:

e definiamo la somma integrale inferiore di f relativa a P ponendo

e la somma integrale superiore di f relativa a P ponendo

.

Possiamo visualizzare la situazione precedente,osservando che la somma integrale inferiorerappresenta l’area del plurirettangolo inscritto allacurva, mentre quella superiore l’area delplurirettangolo circoscritto alla curva.

Si può dimostrare che, al variare delle suddivisioni, gli

insiemi delle somme integrali inferiori e quello delle somme

integrali superiori sono due insiemi separati e la differenza fra una qualsiasi somma integrale

superiore e una qualsiasi somma integrale inferiore può essere resa piccola a piacere.

0 1, , , nx x x

0 1 na x x x b

0 1, , , nP a x x x b

: ,f a b R 0 1, , , nP a x x x b

1, ,k n

1inf ( ) :k k km f x x x x 1sup ( ) :k k kM f x x x x

11

,n

k k kk

s f P m x x

11

,n

k k kk

S f P M x x

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

99

In altri termini gli insiemi delle somme integrali inferiori e quello delle somme integrali superiori

sono due insiemi contigui, cioè ammettono un unico elemento di separazione.

Quest’unico elemento di separazione prende il nome di integrale definito della funzione f relativo

all’intervallo [a, b] e si indica con il simbolo .

Notiamo che nella notazione appena introdotta per gli integrali la variabile x è muta, può cioèessere sostituita con qualunque altro simbolo senza alterare il significato dell’espressione.

In altri termini, se f è integrabile in [a, b] allora le scritture

e

indicano lo stesso numero.

OSSERVAZIONESi può dimostrare che non tutte le funzioni sono integrabili. Un esempio di funzione non integrabileè dato dalla seguente funzione, che in genere viene chiamata funzione di Dirichlet, dal nome di unmatematico dell’ottocento:

definita da

PROPRIETÀ DELL’INTEGRALE DEFINITO

L’integrale definito gode di alcune semplici proprietà che ci limitiamo ad enunciare. Siano f e g duefunzioni reali definite in [a, b] integrabili ed h e k sono due costanti reali, allora:

1. Linearità

La funzione è integrabile, e risulta

2. Additività rispetto all’intervallo

Se allora

3. Confronto

Se per ogni , allora

( )b

a

f x dx

( )b

a

f x dx ( )b

a

f t dt

: 0,1f R

1 se 0,1( )

0 se 0,1 \

x Qf x

x Q

( ) ( )hf x kg x ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a a

hf x kg x dx h f x dx k g x dx

,c a b ( ) ( ) ( )b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

( ) ( )f x g x ,x a b ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

100

OSSERVAZIONI

1. È utile definire l’integrale anche quando il primo estremo d’integrazione è un numero realemaggiore del secondo estremo. In tale caso si pone:

per ogni integrabile. Con questa definizione, la proprietà di additività rispetto

all’intervallo vale qualunque sia l’ordine dei punti a, b, c.

2. Se è integrabile, allora anche è integrabile e risulta

3. Se sono integrabili, allora anche le funzioni , e

sono integrabili

4. Se è una funzione integrabile negativa, allora l’integrale definito ( )b

a

f x dx

rappresenta un numero negativo

5. In generale, se si ha una situazione come quella della figura successiva

l’integrale definito ( )b

a

f x dx è dato dalla somma algebrica degli integrali .

È possibile ora dare una risposta al Problema 2 (quadratura) posto all’inizio del capitolo

sull’integrazione dando la seguente

DEFINIZIONE (area)

Siano integrabili, con per ogni . Allora si dice area

dell’insieme il numero .

( ) ( )a b

b a

f x dx f x dx

: ,f a b R

: ,f a b R | ( ) |f x

( ) | ( ) |b b

a a

f x dx f x dx

, : ,f g a b R ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x

( ) ( )f x g x

: ,f a b R

1 2 3, ,I I I

, : ,f g a b R ( ) ( )g x f x ,x a b

2( , ) | , ( ) ( )E x y R a x b g x y f x ( ) ( )b

a

f x g x dx

ca0

I1 > 0

bdI2 < 0

I3 > 0

Roberto Manni

In particolare se , allora l’area dell’insieme è

data dal numero evidenziata in figura.

Se, invece, , allora l’area dell’insieme è data da

che rappresenta un numero non negativo.

Gli insiemi di punti compresi tra i grafici di due funzioni integrabili possono essere usati insituazioni più generali: dato un insieme qualunque del piano, si può infatti tentare di scomporlonell’unione disgiunta di un numero finito di insiemi del tipo detto, e la sua area sarà data dallasomma delle aree dei singoli sottoinsiemi, ciascuna calcolata come spiegato.

( ) 0g x 2( , ) | , 0 ( )E x y R a x b y f x

( )b

a

f x dx

( ) 0f x 2( , ) | , ( ) 0E x y R a x b g x y

0 ( ) ( ) ( )b b a

a a b

g x dx g x dx g x dx

a0 b

E

a0 b

E1 E2

C

alco

loin

teg

rale

101

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

102

CALCOLO DI AREE

Tenendo conto delle considerazioni svolte si possono calcolare le aree dei domini piani in figuramediane opportuni integrali definiti:

TEOREMI FONDAMENTALI DEL CALCOLO

Abbiamo visto che l’integrale è, in un certo senso, un’estensione dell’operazione di somma. Come

per n numeri si definisce la media aritmetica m ponendo , si può definire un

concetto di media integrale.

( ) ( )b

a

I f x g x dx

( ) ( )b

a

I f x g x dx

( ) ( )b

a

I f x g x dx

( ) ( ) ( )c b b

a c a

I f x dx h x dx g x dx

1, , na a1

1 n

kk

m an

a0

I

b

f

g

a

0

Ib

f

g

a0

I

b

f

g

a0

I

b

f

g

c

h

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

103

a0 b

M

m

x0

f(x0)

)

DEFINIZIONE (media integrale)

Sia integrabile; si definisce media integrale di f in [a, b] la quantità

TEOREMA DELLA MEDIA INTEGRALE

Siano integrabile, ed . Allora risulta:

1.

Inoltre se f è continua in [a, b] allora

2. esiste tale che

Dim.Per provare la prima affermazione, basta integrare le disuguaglianze in [a, b],

tenendo conto della proprietà di confronto. Si ottiene:

Per quanto riguarda la seconda affermazione, basta applicare il Teorema dei valori intermedi al

numero .

OSSERVAZIONI

1. Da , se , si ottiene , da cui .

2. Se , il numero è l’altezza del rettangolo di base che ha la stessa area del

trapezoide di f definito da .

: ,f a b R

1

( )b

a

m f f x dxb a

: ,f a b R ,

inf ( )x a b

m f x

,

sup ( )x a b

M f x

m m f M

0 ,x a b 0

1( )

b

a

f x m f f x dxb a

( )m f x M

1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b b b

a a a a a

mdx f x dx Mdx m b a f x dx M b a m f x dx M m m f Mb a

,m f m M

( ) ( ) ( )b

a

m b a f x dx M b a a b 0 ( ) 0a

a

f x dx ( ) 0a

a

f x dx

( ) 0f x m f ,a b

2( , ) | , 0 ( )E x y R a x b y f x

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

104

Data una funzione f integrabile in [a, b], per ogni si può considerare l’integrale tra a ed x

di f, ottenendo un risultato che (ovviamente!) dipende solo da x, e pertanto definisce una nuovafunzione con dominio [a, b].

DEFINIZIONE (funzione integrale)

Sia integrabile; la funzione

si definisce funzione integrale.

PRIMO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO (teorema di Torricelli)

Sia continua in [a, b]. Allora la funzione , con , è derivabile

in [a, b] e risulta per ogni , ossia è una primitiva di f in

[a,b].

Dim.

Siano ed un incremento h tale che . Risulta:

Essendo , si ha e quindi .

Pertanto si ottiene:

,x a b

: ,f a b R

( ) ( ) ,x

a

F x f t dt x a b

: ,f a b R ( ) ( )x

a

F x f t dt ,x a b

'( ) ( )F x f x ,x a b ( ) ( )x

a

F x f t dt

,x a b ,x h a b

1

per la proprietàadditiva

11

per il teoremadella media integrale

esiste tale che

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

x h x x x h x

a a a x a

x h

x

x

f t dt f t dt f t dt f t dt f t dtF x h F x

h h h

f t dtx h x f x

f xh h

1 ,x x x h 10

limh

x x

1

1 10 per la

continuità di

lim lim ( )h x x

f

f x f x f x

a0 bx

F(x)

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

105

e quindi per ogni .

OSSERVAZIONI

Data , si ha:

Gli zeri di sono punti a tangente orizzontale per , in quanto, se , si ha

Se , posto , considerata la funzione composta

si ha

ESEMPISenza eseguire alcuna integrazione, calcola la derivata di

1.

Poniamo e consideriamo la funzione composta ; si ha

.

2.

Poniamo e consideriamo la funzione composta ; si ha

3.

Poniamo e consideriamo la funzione composta ; si ha

4.

Risultando , si ha

0

( ) ( )limh

F x h F xf x

h

'( ) ( )F x f x ,x a b

( ) ( ) ,x

a

F x f t dt x a b

( ) 0F a

( )f x ( )F x 0 0f x

0 0' 0F x f x

( ) dispari ( ) parif x F x

0 e ( ) pari ( ) disparia f x F x ( )

( ) ( )g x

a

F x f t dt ( )y g x ( ) ( ) ( )y

a

F x G y f t dt

'( ) ( ) ' '( ) ' ( ) ' ( ) '( )F x G y G y y f y y f g x g x

2

0

( )x

tF x e dt

y x2

0 0

( ) ( ) ( )y y

tF x G y f t dt e dt

2 1 1

'( ) ( ) ' '( ) ' ( ) ' ( ) '( )2 2

x xF x G y G y y f y y f g x g x e ex x

1

( ) ln

xe

F x t dt

xy e1 1

( ) ( ) ( ) lny y

F x G y f t dt t dt

'( ) ( ) ' '( ) ' ( ) ' ( ) '( ) ln x x xF x G y G y y f y y f g x g x e e x e

sin

2

0

1( )

1

x

F x dtt

siny x2

1 1

1( ) ( ) ( )

1

y y

F x G y f t dt dtt

2 2

1 1 1'( ) ( ) ' '( ) ' ( ) ' ( ) '( ) cos cos

1 sin cos cosF x G y G y y f y y f g x g x x x

x x x

1

2( ) sinx

F x t dt 1

2 2

1

( ) sin sinx

x

F x t dt t dt 2'( ) sinF x x

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

106

5.

Fissato un valore reale a, si può scrivere

.

Poniamo e e consideriamo la funzione composta

Si ha

SECONDO TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

Siano continua in I e G una qualunque primitiva di f. Allora per ogni intervallo

, risulta:

Dim.

Ricordiamo che, posto , essendo , F è una primitiva di f . Allora esiste

c in R tale che , ossia . Pertanto:

OSSERVAZIONE

La differenza viene anche indicata con la scrittura . Quindi si ha:

METODI DI INTEGRAZIONE

Per il calcolo degli integrali definiti valgono regole analoghe a quelle viste per il calcolo degliintegrali indefiniti.

In particolare si ha:

1. Integrazione per parti

32

2

( ) cosx

x

F x t dt

3 3 22 2 2 2

2

( ) cos cos cos cosa x x x

x a a a

F x t dt t dt t dt t dt

1 3y x 2 2y x

1 2 1 2

2 21 2( ) ( ) ( ) cos cos

y y y y

a a a a

F x G y G y f t dt f t dt t dt t dt

2 21 1 2 2'( ) ' ' ' ' cos (3 ) 3 cos (2 ) 2F x G y y G y y x x

:f I R

,a b I

( ) ( ) ( )b

a

f x dx G b G a

( ) ( )x

a

F x f t dt '( ) ( )F x f x

( ) ( )G x F x c ( ) ( ) ( )x

a

G x F x c f t dt c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )b a b b

a a a a

G b G a F b c F a c f x dx f x dx f x dx f x dx

( ) ( )G b G a ( )b

aG x

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

f x dx G x G b G a

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b b

b

aa a

f x g x dx f x g x f x g x dx

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

107

2. Integrazione per sostituzione

Siano I e J due intervalli, continua e una funzione continua con derivata prima

continua. Allora si ha:

con .

OSSERVAZIONE

Si voglia calcolare con il metodo di sostituzione. Posto aggiungendo l’ulteriore

ipotesi che vede la funzione g invertibile, si procede come segue:

(i)

(ii)

(iii)

ESEMPI

1. Calcola

Posto si ha pertanto si ricava:

2. Calcola

Posto si ha pertanto si ricava:

:f I R :g J I

( )

( )

( ) ( ) '( )g b b

g a a

f x dx f g t g t dt

,a b J

( )b

a

f x dx ( )x g t

'( )dx g t dt

11

12

( ) ( )

( ) ( )

a g t t g a

b g t t g b

2

1

( ) ( ) '( )tb

a t

f x dx f g t g t dt

2

sin(2 )x dx

2x t1

2

1(2 ) 2

2

22

2 2

d x dt dx dt dx dt

t t

t t

22

2

1 1 1 1 1 1sin(2 ) sin cos cos(2 ) cos 1

2 2 2 2 2 2x dx t dt t

12

0

1 x dx

sinx t

1

2

sin cos

0 sin arcsin 0 0

1 sin arcsin12

dx d t t dt

t t

t t

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

108

3. Calcola

Posto si ha

e quindi

INTEGRALI DELLE FUNZIONI PARI E DISPARI

Sia una funzione dispari integrabile in , proviamo che :

Sia una funzione pari integrabile in , proviamo che :

Allo stesso risultato si giunge se si considera l’andamento di f in con opportune

considerazione di carattere grafico e algebrico.

1 2 2 2 2 2 22 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

2

0

1 cos 2 1 11 1 sin cos cos cos 2cos 2

2 2 4

1 1 1 1sin 2 sin 0 sin 0

2 4 4 4 4 4

tx dx t t dt t dt t dt dt dt t dt

t t

2

0

1 cos xdx

cos x t

2 2

1

2

1 1 1cos sin

sin 1 cos 1

cos0 1

cos 02

d x dt x dx dt dx dt dt dtx x t

t t

t t

0 0 02

20 1 1 1

0

1

1 1 11 cos 1 2

1 2 11

2 1 2 1 0 2 1 1 2

xdx t dt dt dtt tt

t

( )f x ,a a ( ) 0a

a

f x dx

0 0 0

sfrutto l'ipotesi0 0 0di dispari

0

0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

a a a a

a a a af

a a

x ta adx dt

x a t ax t

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

f t dt f x dx f x dx

( )f x ,a a0

( ) 2 ( )a a

a

f x dx f x dx

0 0 0

sfrutto l'ipotesi0 0 0di pari

0

0 0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )

a a a a

a a a af

a a a a

x tadx dt

x a t ax t

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

f t dt f x dx f x dx f x dx f x dx

,a a

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

109

CALCOLO DI VOLUMI

Vogliamo ora calcolare il volume di un solido generato dalla rotazione di una curva grafico di una

funzione continua non negativa in un intervallo . Possiamo procedere in modo intuitivo come

segue:

Consideriamo una porzione del solido di rotazione di

altezza infinitesima dx. Proprio perché la distanza fra le

due sezioni è infinitesima, essa può approssimarsi con un

cilindro di altezza dx e raggio di base .

Calcoliamone il volume: . Pertanto, per

ottenere il volume del solido di rotazione sarà sufficiente

sommare in modo continuo ossia integrare da a a b la

relazione ottenuta, ricavando

1. Volume del cono

Vogliamo calcolare il volume del cono avente raggio di base r ed altezza h. A tal fine, considerata

come f la retta di equazione

2. Volume della sfera

Calcoliamo il volume della sfera generata dalla rotazione intorno di un semicerchio intorno all’asse

delle ascisse.

Questa volta, poiché la funzione da considerare è

si ottiene:

3. Volume del toro

Si dice toro il solido generato dalla rotazione di un cerchio intorno a una retta del suo piano che non

lo attraversa.

,a b

( )f x

2

( )dV f x dx

2

( )b

a

V f x dx

ry x

h

2 2 3 2 3 22

2 2 2

0 03 3 3

hhr r x r h r h

V x dxh h h

2 2( )f x r x

3 3 3

2 2 2 3 3 34

3 3 3 3

rr

r r

x r rV r x dx r x r r r

a0 dx b

f(x)

h0

r

0 r-r

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

110

B

b

O

D

CA

M N

Se assumiamo tale retta coincidente con l’asse delle x e come asse y la

perpendicolare a questa retta condotta per il centro (0,b) del cerchio di

raggio r, l’equazione della circonferenza che lo delimita è

da cui si ottiene

Osservato che il volume V cercato si ottiene togliendo dal

volume , generato dal trapezoide MADCN nella rotazione

intorno all’asse x, il volume , generato dal trapezoide

MABCN nella rotazione intorno all’asse x, si ha (poiché le

funzioni che descrivono gli archi in questione sono pari):

APPLICAZIONI IN FISICA

1. Lavoro di una forza

Supponendo che una forza F abbia intensità variabile in funzione della posizione x occupata dal suo

punto di applicazione, ma che sia costante in direzione, compirà un lavoro infinitesimo dato da

. Perciò, il lavoro L compiuto da F quando il suo punto di applicazione si sposta dal

punto di ascissa a quello di ascissa sarà .

2. Energia di un condensatore

Calcoliamo il lavoro compiuto dalle forze del campo elettrico nella scarica di un condensatore.

Supponiamo che in un certo istante sulle armature di un condensatore di capacità C si trovi la carica

q e che tra le armature ci sia, quindi, una differenza di potenziale .

Se durante la scarica si ha uno spostamento di carica infinitesimo dq da una armatura del

condensatore all’altra il campo svolge un lavoro . Pertanto il lavoro complessivo

per perdere la carica iniziale Q è dato da .

2 2 20x y b r

2 2 2 2y b r x y b r x

1V

2V

2 22 2 2 2

1 2

0 0

2 3 2 2 3 2 2

2 2

2 1 2 12 2 2

3 2 3 2

r r

V V V b r x dx b r x dx

b r r br b r r br b r

( )dL F x dx

x a x b ( )b

a

L F x dx

qV

C

qdL Vdq dq

C

2 2

0 0

1

2 2

QQq q Q

L dqC C C

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

111

3. Spostamento e velocità di un punto materiale

Se un punto si muove con velocità variabile nel tempo , osservato che , lo

spostamento del punto nell’intervallo di tempo è .

4. Quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore

Detta la quantità di carica variabile nel tempo che attraversa la sezione di un conduttore,

l’intensità di corrente all’istante t, si ha:

( )v v t( )

( )ds t

v tdt

1 2,t t2 2 2

1 1 1

2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t t

t t t

ds t v t dt s t s t v t dt

( )q q t

( )i t

2 2 2

1 1 1

2 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t

t t t

dq ti t dq t i t dt dq t i t dt q t q t i t dt

dt

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

112

CENNI SUGLI INTEGRALI IMPROPRI

1. Integrali impropri del primo tipo

Se è continua, allora f è integrabile in ogni intervallo limitato .

Allora si dice che f è integrabile in senso improprio in se esiste finito . In

questo caso si pone:

e si dice che l’integrale improprio o generalizzato è convergente.

Se invece è infinito, allora si dice che l’integrale improprio o generalizzato

è divergente. Se il limite non esiste, allora l’integrale è indeterminato.

In modo del tutto analogo si definiscono i seguenti integrali impropri:

ESEMPIO

Stabilire se è convergente con .

Risulta

Quindi è integrabile in senso generalizzato solo se .

: ,f a b R , ,a c a b

,a b lim ( )c

c ba

f x dx

( ) lim ( )b c

c ba a

f x dx f x dx

( )b

a

f x dx

lim ( )c

c ba

f x dx

( )b

a

f x dx

( ) lim ( ) con : , continuab b

c aa c

f x dx f x dx f a b R

( ) lim ( ) con : , continuab d

c aa cd b

f x dx f x dx f a b R

1

0

1dx

x R

11

0 se 1 01 1 1 se 1 0

0

0 00

0

1 1lim 1 se 11 11lim lim 1

lim ln 1 se 1

c

c

c cc c

c

c

dx dx x dxx x c

1( )f x

x 1

Roberto Manni

Cal

colo

inte

gra

le

113

2. Integrali impropri del secondo tipo

Se è continua, allora f è integrabile in ogni intervallo limitato .

Allora si dice che f è integrabile in senso improprio in se esiste finito . In

questo caso si pone:

e si dice che l’integrale improprio o generalizzato è convergente.

Se invece è infinito, allora si dice che l’integrale improprio o generalizzato

è divergente. Se il limite non esiste, allora l’integrale è indeterminato.

In modo del tutto analogo si definiscono i seguenti integrali impropri:

ESEMPIO

Stabilire se è convergente.

Risulta , quindi l’integrale diverge.

: ,f a R , ,a b a

,a lim ( )b

ba

f x dx

( ) lim ( )b

ba a

f x dx f x dx

( )a

f x dx

lim ( )b

ba

f x dx

( )a

f x dx

( ) lim ( ) con : , continuab b

aa

f x dx f x dx f b R

( ) lim ( ) con : , continuab

aab

f x dx f x dx f R

1

1dx

x

1

1 1

1 1lim lim ln lim ln ln1

bb

b b bdx dx x b

x x