Post on 03-May-2015
Lezione 8Lezione 8Processi di emissioneProcessi di emissione
Francesco Adduci Fisica della Materia 2
Emissione
Emissione spontanea
Francesco Adduci Fisica della Materia 3
Esercizio
Immaginiamo di avere un sistema a due
livelli di energia, e che ad un certo istante t0
= 0, il livello superiore sia popolato con una
densità di elettroni N0.
Sapendo che la vita media dell’elettrone nel livello superiore è descrivere l’evoluzione del sistema.
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Esercizio
2 0
2 2 2
(0)
( ) ( ) ( )
N N
N t t N t AN t t
2 22
( ) ( )( )
N t t N tAN t
t
2 2
0 2
( ) ( )lim ( )t
N t t N tAN t
t
122 sec
1
dNAN A
dt
A
2
1
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Esercizio
22 0 2
2 0
1(0) =0
t
dNN N N
dt
N N e
2
1
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Esercizio
Immaginiamo di avere un sistema a due livelli di
energia, e che ad un certo istante t0 = 0, il
livello superiore sia popolato con una densità di
elettroni N0.
Sapendo che la vita media dell’elettrone nel livello superiore è descrivere l’evoluzione del sistema.
Supponiamo ora che sul sistema incida un fascio
di fotoni di energia pari a E2 – E1 ed intensità I0, e
che inizialmente il livello superiore sia vuoto
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Esercizio
1 1 2
1 1 1 0 2
2 2 2 1 0
(0) (0) 0
1( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
N N N
N t t N t N t I t N t t
N t t N t N t t N t I t
10 1 2
22 0 1
1 =
1
=
dNI N N
dtdN
N I Ndt
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Esercizio
1 20 1 2 2 0 1
21 1 2
0 0 1 22
21 1 1
0 0 1 0 12
21 1 1
02
21 1
02
1 1 = =
1 1 1 = = ( )
1 ( - )
1 0
1 ( )
0
dN dNI N N N I N
dt dt
d N dN dNI I N N
dt dt dt
d N dN dNI I N I N
dt dt dt
d N dN dNI
dt dt dt
d N dNI
dt dt
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0
0 0
21 1
0 12
20
1( )
0 1
1 1( ) ( )
12 0 1 0 0 0
1 ( ) 0
1( ) 0
10 ( ) ( )
1 ( )
t
t t
I t
I t I t
d N dNI N Ae
dt dt
A e I Ae
I N t Ae B
dNN I N I Ae I Ae I B
dt
01
( )
2 0 I t
N Ae I B
Esercizio
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Esercizio
0
0
1( )
1
1( )
2 0
1 0
2 0
0 0
0 0 0 00
0 0 0
( )
( )
(0)
(0) 0
0
; ;1 1 1
I t
I t
N t Ae B
N t Ae I B
N A B N
N A I B
N B I B
N N I NB A N
I I I
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Esercizio
0
0
0
0
1( )
0 0 01
0 0
1( )
0 0 0 02
0 0
( 1)0
1 00
( 1)0 0
20
( ) 1 1
( )1 1
( ) ( 1) 1
( ) (1 )1
I t
I t
tI
tI
I N NN t e
I I
I N I NN t e
I I
NN t I e
I
I NN t e
I
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Esercizio
0
0 00 1
1 0 0 0
0 02 0 0
2 0 00
1
( ) = ( ) 1
( )( ) (1 ) 1
t
t
I
N NN NN t I N e I
I NN I NN t I N e I
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Esercizio
E’ evidente che il caso I0 >>1 merita un ulteriore approfondimento
0 01
0
0 02 0 0
0
00 1 2 0
0
0 1 0 2 0 0
( ) =
1
( )1
1 0;
1 ;
N NN
I
I NN I N
I
NI N N N
I
I N N N I N
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Come nel caso della lezione sull’assorbimento, anche aggiungendo la condizione di emissione con un tempo , si ha una saturazione dell’assorbimento quando si verifica la condizione Io>>1. La radiazione continua attraverserà senza essere più assorbita da un materiale di lunghezza L quando:
Invece abbiamo visto che supponendo =∞ la condizione di saturazione era:
0 0
11 1n L n L
LI I e I e
00
n LnI t e
n
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Processi con perdita di energia
PROCESSO RADIATIVO: I sistemi (atomi, molecole, solidi, liquidi…) eliminano l’energia di eccitazione in eccesso emettendo fotoni
Fluorescenza
Fosforescenza
PROCESSO NON RADIATIVO: l’energia in eccesso e’ trasferita ai gradi di liberta’ vibrazionali, rotazionali, e traslazionali dei sistemi circostanti attraverso le collisioni
DISSOCIAZIONE: la molecola dissocia e l’energia si converte in energia traslazionale dei frammenti
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Processi con perdita di energia
Se si considerano sia i processi radiativi che quelli non radiativi, gli esercizi precedenti possono essere rifatti con estrema semplicità introducendo il concetto di vita media non radiativa. Se si immagina di aver eccitato un numero di elettroni N2(0) all’istante 0,si vede facilmente che se:
1 1 1
sp nr
k
2 2 22 2( ) (0)
t
sp nr
dN N NN t N e
dt
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Processi con perdita di energiaCalcoliamo l’energia emessa durante l’emissione radiativa:
L’enegia emessa nell’intervallo di tempo t è uguale al prodotto del numero di elettroni che decadono dal livello N2 (=concentrazione per
volume) per l’energia del fotone emesso
0
0
( 1)0
1 00
( 1)0 0
20
( ) ( 1) 1
( ) (1 )1
tI
tI
NN t I e
I
I NN t e
I
2
2
1( ) ( ) ( )
1( ) ( )
E t t E t N t tV h
dEP t N t V h
dt
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Emissione stimolata
I fotoni prodotti per emissione stimolata hanno proprieta’ uniche: Il fotone emesso ha la stessa λ del fotone incidente
la stessa direzione del fotone incidente
la stessa fase del fotone incidente
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Coefficienti di Einstein
2 2 1 2 1 2 1 2 2
21 2 1 2 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
N t t N t W N t t W N t t AN t t
dNW N t W N t AN
dt
1
2
Consideriamo la radiazione di corpo nero:
E la relativa rate equation
3
3
8
1planck h
kT
h
ce
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Coefficienti di Einstein
1 21 2W B
2 12 1W B
Si consideri la condizione di equilibrio termico alla temperatura T:
2 1
2 2
1 1
E E
kTN ge
N g
2
1
1g
seg
21 2
1
h h
kT kTN
e N N eN
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
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Coefficienti di Einstein
21 1 2 2 2 1 20
dNN B N B AN
dt
2
1 1 2 2 2 11 2 2 1
h
kT
AN A
N B N BB e B
3
3
8
1planck h
kT
h
ce
1 2 2 1B B
1
2
1
2
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Coefficienti di Einstein
3
31 2
8A
B c
Teorema di Einstein
1
2
1
2
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Esercizio
x0
)( xxI 0I S I( )I x
22 2 1 2
0
( )( ) ( ) ( ( ) ( ))
1
N tN t t N t W N t N t t t
efficienza quantica W I
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Esercizio: dipendenza da t
2 21 2
2 21 2
22 1
( ( ) ( ))
( ) ( )
1( )
dN NW N t N t
dtdN N
IN t IN tdtdN
I N IN tdt
1
2
1
2
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Esercizio: dipendenza da t
22 2
22
1( ( ))
12
T
T
dNI N I N N t
dt
dNI N IN
dt
2 1
2
2 1
1
12 1
11
2 1
tI
T
tI
T
IN N e
I
IN N e
I
1
2
1
2
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Esercizio: dipendenza da t
2
1 2
1 2
2 11
2 11
2 1
T
T T
T
per t
IN N
II
N N N NI
N N NI
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Esercizio: dipendenza da x
1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
I x x I x xN x I x
dIN x I x
dx
x0
)( xxI 0I S I( )I x
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Esercizio: dipendenza da x
1 2
1 2
1 2
1
2 1 2 1 1
2 1
0
T T
T
T
I IN N N N
I Ise I
NN N
se I
N N N
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Nell’esercizio precedente si immagina che i fotoni vengano soltanto assorbiti, in realtà si ha anche una emissione di fotoni in parte dovuta al decadimento spontaneo e in parte a quello stimolato. Dal momento che il fotone “spontaneo” è emesso in una direzione casuale, mentre quello stimolato è emesso nella stessa direzione di quella incidente, calcoliamo di nuovo l’intensità che esce dal mezzo tenendo conto solo dell’aggiunta di quella stimolata.
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Guadagno
1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ( ) ( )) ( )
ass stimI x x I x K I x K I x
N x I x S x S xN x I xI x x I x
S SdI
N x N x I xdx
x0
)( xxI 0I S I( )I x
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1 2
1 2
1 2
( ( ) ( )) ( )
1
2 1 1 0
0 ( ) cost
T
dIN x N x I x
dx
per t N N NI
se I N N
dII x
dx
Il materiale diventa trasparente alla radiazione!!
Si ha la “Saturazione dell’assorbimento”
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Guadagno
2 1
1 2
( ) 0
( ) ( )
Se N N
dIN N I
dxI x x I x
L’intensità aumenta via via che aumenta il percorso all’interno del mezzo!!
L’intensità in uscita è maggiore di quella in entrata!
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Guadagno
Si definisce coefficiente di guadagno g
12 1( ) g N N g cm Affinché si abbia un aumento di
intensità deve essere g>1 e di conseguenza N2>N1
Quando ciò accade si dice che è avvenuta una:
Inversione di Popolazione