LEZIONE 8 6 4 2020

Applicazioni lineari

Nucleo e immagine

a Keila colla non A

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APPLICAZIONILINEANDONNIA Quali sono le funzioni tra sposi vettorialiche si comportano bene rispetto alle

operazioni di sonno e prodotto per scalare

DEFINIZIONE

siamo ven due sposi vettoriali sul campo 1KUna funzione L W si dice Applicazione lineare se

1 L è additiva cioè

vi re EV L rete L II Lirep p

sanno di sommo di W2 L è omogenea cioè

71 Elk teen Life lilleprodotto per prodottoperscolori in colori di W

EteroI A E Mir m n

1km Mix Cnn W km f MinimaLA 1K 1km

I ALa funzione La è un'applicazione lineare perché

1 La latta A II III AI Aree Late Lake2 La lire A Che 1 Ae e leale

92

I Vi Max min W Mix min

trasposizione v W

a Ì a rif fr f frmhtfRuta

EHI Mintz Mir 3,2

at L a L

PER casa Verificare che la trasposizione è

un'applicazione lineare

criterio di linearitàV W sposi vettoriali su 1K L V W funzione

VI io C V KAMENè un'applicazione lineare 1 ha dillo Italia

diramazione per casammm

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conseguenze Notevoli

lire Ia LLI fare È III il A Io e

Io LIE G LA LLI Live

L er L I I LLI Lte ew

condizione necessaria per la linearità

L v W applicazione lineare Her ew

ii V W non è oppa lineare Her Few

ESEMPI

f IR 112 fix x e

I a 0in 1 O

f non è lineare per il criterio

ALTRI ESEMPI DI Applicazioni metta

I V l E p f Il R I f denudateW l'GR p f IR IN f continuae W sono due sposi vettoriali su R

D l'HR è GR

f D f fD è mi appassiona lineare per le iratepareti della derivatene

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CI E l'GR l'Grg get ott Ax ER

2 è calcolo della primitivaper caso Verificare che 8 è un'applicazione lineare

donna Come si comportano le applicazioni lineari

rispetto ai saltatori vettoriali

ProposizioneV W sposi vettoriali su 1K Liv W applicazione lineareHp H CV sottoposto vettoriale di V

4h free WI 7 IEA con realtàè un sottoposto vettoriale di W

Hp K C W sottospazio vettoriale di W

l'H LIEVI LIE e ho è un

sottospazio vettoriale di V

Dimostrazionemmm

Devo vantare che Lilt sia un sottopostocoltiviii E Lilt e kli.tl Elk tifate ELLA

Se ne ha ELLA allora 7 EH tali de

Lire LIED LPer ipotesi It è un sottopasso quindi diretta c It

L 1 I 11 ED e di HI the Lte live 11in E 4h

Devo verificare che K sia un sottotono cioè

VI Ia c LÌ b HA 1 EH 1,1 the c L'hocioè l 11 11 E K

Se E I E t'ho allora 7 ah Ia Ek halide

Lire µ Lire 7

LUI the e dillo Italia e dire thePer ipotesi Nè un sottoposto quindi dire 1121 C K

noi LUI the e K Es direttive Etiche tg

SOTTOSPAZI EVOLI

Ogni sposa vettoriale ho come sottoposi

LevV E V

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DEFINIZIONE

V W spazi vettoriali ma k L how applicatene lineareDefiniamonucleo di L Ker ll L few L ew

immagine di L in CL L v

Esento1 E Mix min 1km nonKer La La e m

e Ellen La II e m

Elk I Are m

p soluzioni del sistema 1 e m

NEVE her LA Nel A nucleo di A

Caso generale dei sistemi lineariAEMiklm.nl E 1km

soluzioni di te E Elk I Are L 4e c km 1 La II I La Ita

cose 1 Il Clk non è un sottospazio di km

Là E c 1k non è un sottopasso di K

Abbiamo due possibilità

LE 0 sistema non risolviatesistema risolubile 97

Per Ronchi Capelli terreno di strutto

LÌ CE I Io In Area 1 AI e

1 Io tra I E LÌ CE Era IN

Io Ken A Notazione

TEOREMA DELLA FIBRA DI UN'applicazione lineare

proposizione

V W Shai vettoriale su K Liv W applicazione lineares p e insieme di generatori di v

L s p Lire Lte è un insieme di generatoriTAI di ira l

Dimostrazionemmm

Devo far vedere in CL e Span Lin LIEDspan LLI Life e in CL ovvio

Faccio vedere in CL E Spore lire Ken

sera e im l altro esiste re e v tale de LietaPer Gi V Share I Io quindi esistono di direttitali che I 1 I t liner

1 L I L lire 1 t Irene 1,41 1 t dal heridea

98 dille It 1 47 LUI 1 treno E in CL

ESEMPIO

AE Nik min da 1k kmin LaPer la proposizione precedente porto da un insieme di

generatori di ben Considero la base coranica

I L I I 3in Ita e spore da lei dalla LaCENA

LACei Ali A È i esimo riga

I Il Hin iene Sion la II colla

colpa è il sottopasso di km generato dalle colonnedi A coincide con in d

DEFINIRE RiepilogoA E Mia cnn.in

rata L Ehi 1 Aeree 1 E K

col A Spam crisi cala E 1kmnow A e spore Rita RmIAD e K

99

OssA At scambio righe colonne

Quindie col A now Ate non A col At

InterpretazionedicollataE Mix lm.nl b E 1km

1 11 L risolubile ED RCA 11 n A

domanda che relazione c'è tra te e collaStimoliamo l'intuizione

i I IIIIcosa vorrebbe dire n A bit e al AtChe relazione c'è tra I e now At calca

I te lGIA

È teo o

te si sure come contrazione lineare

o di R At GIA Ruth Cn IA

call A E c km 1 A L è risolubile

Cosa manca per aver dimostrato rigorosamente questaaffermazioneFar vedere che il rango di A è uguale al regno di At

TEORIA del rangoHp A e Nik me n A IEI li a scala

non A now v

dive now A dive now v n

dira collaDimostrazione

mmma non A now v

neh opera con combinazioni lineari tra le righeneri è reversibile

e ci dice che now v E non A perché le rughedi U sono ottenute con contorsioni linearidelle righe di A

e A può essere riottenuta da U con operazionielementari now A e non cu

dim now A ne

Devo esibire una base fermato da n elementi

non la non lui ve È Ita noO O

Voglio dimostrare che le righe non nulle di Usono una base di now v e non A

CI dona generatori per defraudaree Loro anche lineamenti indipendenti

iiii

lapilli 1ppntlni.at_ di

1Input InX I neo

dine now pt er

dim col A ti

NI col 1A col cuAbbiano Ker 1A non v

km IN relazioni lineari tra colonne di Aln

ber v 4 ci da U 4

02

I femmina luial tanti.la t

1fah t i1n cnHI f

il Hiked1 ftp.t in cniuI f

se è una soluzione non banale allora lecolonne di A e di U sono linearmente dipendentiho una relazione non nulla tra loro

Per il processo di estrazione di una base possocancellare un generatore di colla e un generatore di

collo che corrispondono a colonna con la Aero indica

Quante cancellazioni devo fare per raggiungere un

insieme di veltri lin indipendentiTante quante il numero di soluzioni lire Indy di

Ken A cioè n n

Una base di cd A sarà quindi fatto dan n n a colonne

stessa cosa per v DM io