Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

1

Meccanica (8/8) oscillazioniLezione 9, 28/10/2019, JW 13.1-13.6

1

1. Moto periodico –moto che si ripete

Periodo 𝑇: tempo necessarioper compiere un ciclo completo

Frequenza 𝑓 : numero di oscillazioni per unità di tempo

𝑓 = $%

Nel SI si misura in cicli al secondo o Hertz (Hz):

1 Hz = 1 ciclo/secondo

1 kHz = 1000 cicli/secondo

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

2

2. Moto armonico sempliceUna molla esercita una forza di richiamo proporzionale allo spostamento dalla posizione di equilibrio: 𝐹 = −𝑘𝑥

Una massa attaccata ad una molla e spostata dalla posizione di equilibrio oscilla:

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

3

2. Moto armonico sempliceLo spostamento di una massa attaccata a una molla ha un andamento temporale sinusoidale o cosinusoidale.

A è detta ampiezza del moto.

2. Moto armonico semplice

Possiamo esprimere la posizione 𝑥 in funzione del tempo 𝑡 :

𝑥 𝑡 = 𝐴 cos2𝜋𝑇𝑡

La posizione all’istante 𝑡 + 𝑇 è uguale alla posizione all’istante 𝑡:

𝑥 𝑡 + 𝑇 = 𝐴cos2𝜋𝑇 (𝑡 + 𝑇) = 𝐴cos

2𝜋𝑇 𝑡 + 2𝜋 = 𝐴cos

2𝜋𝑇 𝑡

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

4

3. Relazioni tra moto circolare uniforme e moto armonico semplice

Un oggetto in moto armonico si muove come una delle componentidi un oggetto che segue un moto circolare uniforme.

𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡

dove 𝜔 = 89%= 2𝜋𝑓 è la pulsazione,

misurato in radianti al secondo (rad/s)

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

5

La velocità del moto circolare è 𝑣 = ?

@ =89A% = 𝐴𝜔,

tangente alla traiettoria.

La componente 𝑥 della velocità 𝑣(𝑡) = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡

3. Relazioni tra moto circolare uniforme e moto armonico semplice

L'accelerazione del moto circolare è

𝑎 = EF

G =(AH)F

A = 𝐴𝜔8,verso il centro.

La componente 𝑥 dell'accelerazione𝑎(𝑡) = −𝐴𝜔8 cos 𝜔𝑡

3. Relazioni tra moto circolare uniforme e moto armonico semplice

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

6

3. Il moto armonico semplice

posizione: 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 ampiezza 𝐴velocità: 𝑣 𝑡 = −𝐴𝜔 sin 𝜔𝑡 ampiezza 𝐴𝜔accelerazione: 𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔8cos 𝜔𝑡 ampiezza 𝐴𝜔8

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

7

𝑣 = −𝐴𝜔 sen(𝜔𝑡)

4. Massa collegata a una molla

La forza su una massa attaccata a una molla è proporzionale allo spostamento: 𝐹 = −𝑘𝑥

e anche proporzionale all'accelerazione: 𝐹 = 𝑚𝑎

Dunque: 𝑚𝑎 = −𝑘𝑥

Sostituendo 𝑥 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔𝑡 e 𝑎 𝑡 = −𝐴𝜔8cos 𝜔𝑡

troviamo −𝑚𝐴𝜔8cos 𝜔𝑡 = −𝑘𝐴 cos 𝜔𝑡

o 𝑚𝜔8 = 𝑘

Dunque: 𝜔8 = KL

, 𝜔 = KL

𝑇 = 89H = 2𝜋 L

K

NB: il periodo è indipendente dall'ampiezza!

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

8

4. Periodo di una massa collegata a una molla

ll periodo è

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

9

5. Conservazione dell’energia nel moto oscillatorio

In assenza di forze non conservative, l’energia meccanica si conserva. Per una massa attaccata a una molla:

Conoscendo la posizione e la velocità in funzione del tempo possiamo calcolare il massimo dell’energia cinetica e dell’energia potenziale

5. Conservazione dell’energia nel moto oscillatorio

Dipendenza temporale:

Perciò l’energia totale è costante: all’aumentare dell’energia cinetica diminuisce quella potenziale e viceversa.

Fisica 2019/2020 Lezione 9 28/10/2019

10

6. Il pendolo semplice

Massa puntiforme appesa ad un filo di massa trascurabileForza di richiamo: 𝐹 = 𝐹M sin 𝜃 ≈ 𝐹M𝜃 = 𝑚𝑔 Q

R (per 𝜃 ≪ 1) 𝐹 ∝ 𝑙 ⇒ moto armonico!

Come molla con 𝑘 = LMR

periodo 𝑇 = 2𝜋 LK= 2𝜋 L

LM/R= 2𝜋 R

M

NB: periodo non dipende dalla• massa• ampiezza ( per ampiezze piccole!)

𝑇 = 2𝜋𝐿𝑔 → 𝑇8 = 4𝜋8

𝐿𝑔 → 𝐿 =

𝑔𝑇8

4𝜋8

𝐿 =9,81ms_8 ` 2s 8

4𝜋8 = 0,99m

𝑇 = 2𝜋𝐿𝑔 → 𝑇8 = 4𝜋8

𝐿𝑔 → 𝑔 =

4𝜋8𝐿𝑇8

𝑔 =4𝜋8 ` 0,64m

2,6s 8 = 3,74ms_8