Fisica 2019/2020 Lezione 11 8/11/2018

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Meccanica dei fluidi (2/2)Dinamica dei fluidiLezione 11, 8/11/2019, JW 14.6-14.9

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6. Flusso di un fluido e continuità

Continuità: Il fluido non si accumula e non spariscelungo il suo percorso.

La quantità di fluido ∆𝑚# che passa dal punto 1 in un tempo ∆𝑡,è uguale alla quantità di fluido ∆𝑚% che passa dal punto 2:

∆𝑚# = 𝜌#∆𝑉# = 𝜌#𝐴#𝑣#∆𝑡∆𝑚% = 𝜌%∆𝑉% = 𝜌%𝐴%𝑣%∆𝑡

segue l'equazione di continuità: 𝜌#𝐴#𝑣# = 𝜌%𝐴%𝑣%

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6. Flusso di un fluido e continuità

l'equazione di continuità:

𝜌#𝐴#𝑣# = 𝜌%𝐴%𝑣%

Per un fluido incomprimibile (e.g. liquidi) 𝜌# = 𝜌%segue: 𝐴#𝑣# = 𝐴%𝑣%Dove il tubo si restringe il flusso è più rapidoIl prodotto 𝐴𝑣 è ance chiamata la portata (unità SI: m3/s)

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7. Equazione di BernoulliSe la velocità aumenta, vuol dire che sul fluido è stato compiuto un lavoro.

Lavoro compiuto da 𝑝#: ∆𝐿# = 𝐹#∆𝑥# = 𝑝#𝐴#∆𝑥# = 𝑝#∆𝑉#Lavoro compiuto da 𝑝%: ∆𝐿% = −𝑝%∆𝑉#Lavoro totale: ∆𝐿454 = ∆𝐿# + ∆𝐿% = 𝑝#∆𝑉# − 𝑝%∆𝑉% = (𝑝# − 𝑝%)∆𝑉(per un fluido incomprimibile)

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7. Equazione di Bernoulli

Energia cinetica di un elemento di fluido𝐾 = #

%∆𝑚𝑣% = #

%𝜌∆𝑉𝑣%

Imponendo l’uguaglianza tra il lavoro svolto e l’aumento di energia cinetica otteniamo

∆𝐿454 = ∆𝐾 = 𝐾% − 𝐾#𝑝# − 𝑝% ∆𝑉 = #

%𝜌∆𝑉𝑣%% − #

%𝜌∆𝑉𝑣#%

𝑝# − 𝑝% = #%𝜌𝑣%

% − #%𝜌𝑣#

%

𝑝# + #%𝜌𝑣#

% = 𝑝% + #%𝜌𝑣%

%

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7. Equazione di Bernoulli

Se cambia anche l'altezza,contribuisce anche un termine𝜌𝑔∆𝑦 nella differenza dipressione:

𝑝# + #%𝜌𝑣#

% + 𝜌𝑔𝑦# = 𝑝% + #%𝜌𝑣%

% + 𝜌𝑔𝑦%

L’equazione di Bernoulli esprime la conservazione dell’energia in un fluido.

È valida finché si possono ignorare le perdite di energia causate dagli attriti e resistenze, che producono calore

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L’equazione di Bernoulli

𝑝 +12𝜌𝑣% + 𝜌𝑔𝑦 = costante

Termini:𝑝 : pressione = lavoro per unità di volume : 𝑝 = D

E= DFG

EFG= FH

FI#%𝜌𝑣% = densità di energia cinetica per unità di volume𝜌𝑔𝑦 = densità di energia potenziale gravitazionale per unità di volume

L'effetto Bernoulli: se aumenta la velocità di un fluido, diminuisce la pressione (e vice versa).

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8. Dimostrazione dell’effetto BernoulliL’effetto Bernoulli si dimostra facilmente:basta un foglio di carta.

Tenetelo a un’estremità (in modo tale che se fosse rigido rimarrebbe orizzontale), e soffiate parallelamente alla superficie superiore.

La maggior velocità – e quindi la minor pressione – dell’aria sopra il foglio dà origine a una forza risultante verso l’alto che fa sollevare il foglio.

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8. La legge di Torricelli

Se si pratica un foro nellasuperficie laterale di unrecipiente aperto, all’esternodel foro e in cima al recipientela pressione è la stessa(quella atmosferica).

Applicando la legge di Bernoulli:

𝑝# + JK𝜌𝑣#

% + 𝜌𝑔𝑦# = 𝑝% + JK𝜌𝑣%

% + 𝜌𝑔𝑦%

𝑝L4 + 0+𝜌𝑔ℎ = 𝑝L4 + JK𝜌𝑣%

% + 0

𝜌𝑔ℎ = JK𝜌𝑣%

%

𝑣% = 2𝑔ℎ

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8. Applicazioni dell’equazione di BernoulliSe il liquido esce diretto verso l’alto, invece, raggiungerà un’altezza pari al livello della superficie libera del liquido nel recipiente.

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𝟎, 𝟏𝟓𝐦

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9. ViscositàFinora abbiamo considerato fluidi “ideali",senza perdite dovute all'attrito, e senza interazioni tra le molecole.

Un fluido reale che scorre su una superficie risente una forza che si oppone al moto.

La proprietà di un fluido che indica la resistenza allo scorrimento si chiama viscosità.

La velocità di un fluido viscoso che scorre in un tubo è nulla vicino alle pareti e massimaal centro.

fluido ideale

fluido con viscosità

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9. Viscosità

Per mantenere in movimento un fluido viscoso è necessaria una forza

Il coefficiente di viscosità η è definito in modo tale che la differenza di pressione nel fluido possa essere espressa come

𝑝# − 𝑝% = 8𝜋𝜂𝑣𝐿𝐴

per un tubo di lunghezza 𝐿, sezione 𝐴, e velocità media 𝑣

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9. Viscosità

La portata (volume di fluido che attraverso una sezione 𝐴 nell’unità di tempo) è

∆𝑉∆𝑡 = 𝑣𝐴 =

𝑝# − 𝑝% 𝐴%

8𝜋𝜂𝐿

Nel caso di un tubo di sezione circolare∆𝑉∆𝑡 = 𝑣𝐴 =

𝑝# − 𝑝% 𝜋𝑟X

8𝜂𝐿Chiamata l'equazione di PoiseuilleSi noti la dipendenza dalla quarta potenza del raggio del tubo.

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Esperimento della goccia di pece

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Università del Queensland

Stima della viscosità:

Poiseuille: ∆I∆4 =YJZYK [\]

^_H ⇒ 𝜂 = YJZYK [\]

^H ⁄∆I ∆4Δ𝑝 = 𝜌𝑔ℎ ≈ 10dkgmZd g 10msZ% g 0,1m = 10dPa𝑟 ≈ 0,5 cm, 𝐿 ≈ 5 cm∆𝑉/∆𝑡 ≈ 10cmd/10 anni =10 g 10Zjmd/(10 g 3 g 107s) = 3,3 g 10Z#XmdsZ#

𝜂 = #lmnog[g pg#lqmr ]

^gl,lprgd,dg#lqJ]rmsqJ = 1,5 g 10^Pa s

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Equazione di continuità: 𝜌#𝐴#𝑣# = 𝜌%𝐴%𝑣% →

𝑣% = 𝑣#EJEK= 𝑣#

[ ⁄uJ % K

[ ⁄uK % K = 𝑣#uJK

uKK= 1,28m/s g ^vr K

Xvr K = 1,28m/s g 4 = 5,12m/s

portata 𝐴𝑣 = 15m g 8m g 2,5m/s = 300md/s

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Equazione di continuità: 𝜌#𝐴#𝑣# = 𝜌%𝐴%𝑣% →𝑣% = 𝑣#

EJEK= 𝑣#

[ ⁄uJ % K

[ ⁄uK % K = 𝑣#uJK

uKK= 1,5m/s g dvr K

%vr K = 1,5m/s g xX = 3,38m/s

Equazione di Bernoulli: 𝑝# + JK𝜌𝑣#% + 𝜌𝑔𝑦# = 𝑝% + J

K𝜌𝑣%% + 𝜌𝑔𝑦% →

𝑝% = 𝑝# + JK𝜌𝑣#% − J

K𝜌𝑣%% = 𝑝# + J

K𝜌 𝑣#% − 𝑣%%

= 100kPa + JKg 1000kgmZd 1,5m/s % − 3,38m/s %

= 100kPa − 4,6kPa = 95,4kPa

𝑝# − 𝑝% = 8𝜋𝜂𝑣𝐿𝐴→ 𝜂 =

𝑝# − 𝑝% 𝐴8𝜋𝑣𝐿

=967Pa g 𝜋 2 g 10Zdm %

8𝜋 g 1,5m/s g 0,1m= 3,2 g 10ZdPas

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