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Lez.5 Topologia

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Circuiti e reti elettriche

Presentano due aspetti caratterizzanti:

a) Tipologia

I componenti che la costituiscono, con i loro specifici tipi.

b) Topologia

Il modo in cui essi sono interconnessi, in corrispondenza dei loro

terminali

Prescinde dalla disposizione spaziale dei componenti

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Circuito semplice

Il circuito semplice è costituito da due bipoli collegati come in figura:

il morsetto 𝐴 ≡ 𝐴′ e il morsetto 𝐵 ≡ 𝐵′

A

B

1

A'

B'

2 v'

i'

v

i

a) Supposte note le caratteristiche (v,i) e (v’,i’) dei due bipoli.

b) considerato il tipo di collegamento (che impone i=i’ e v=v’)

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è possibile ricavare l’eventuale punto di funzionamento P (i*,v*) ( o di

lavoro) del circuito. Facilmente si può ricavare la soluzione grafica

riportando “congruentemente” sul piano le caratteristiche dei bipoli.

P

i*

f(i,v)=0

i

f(i',v')=0

v

v*

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Generatore ideale di tensione connesso a un resistore

Potenza erogata da E: 𝑃𝑒 = 𝐸𝑖𝑒 =𝐸2

𝑅;

Potenza assorbita da R: 𝑃𝑎 = 𝑉𝑅𝑖𝑅 =𝐸2

𝑅

0

e R

e R

R

RR R

i i Ei i

E v R

v Ev Ri

v

i

v=+RI

E P

i =E/RR

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Generatore ideale di corrente connesso a un resistore

Potenza erogata da J: 𝑃𝑒 = 𝑉𝑗𝐽 = 𝑅𝐽2;

Potenza assorbita da R: 𝑃𝑎 = 𝑉𝑅𝑖𝑅 = 𝑅𝐽2

0

R

j R

j R

R

R R

J iv v RJ

v vJ i

v Ri

v

i

v=+RI

Pv =RJ

J

R

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Topologia delle reti elettriche

Consideriamo ora reti di più bipoli.

Le connessioni elementari tra due bipoli sono:

Connessione serie

Connessione parallelo

Le interconnessioni possono anche essere estremamente complesse

La descrizione delle interconnessioni complesse può avvenire:

• in forma grafica: –> GRAFO

• in forma numerica: –> MATRICI DI CONNESSIONE

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Serie di due bipoli

A DB C

1 2

I bipoli hanno un solo morsetto in comune

Il morsetto è esclusivo dei due bipoli

A DB C

1 2E

3

F

1 e 2 NON SONO IN SERIE

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Parallelo di due bipoli

A DBC

1

2

I bipoli hanno i morsetti a coppia in comune

A

D

B

C

1

2

3E

F

1 e 2 NON SONO IN PARALLELO

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Grafo di una rete

È un disegno composto da:

• punti, rappresentanti i MORSETTI

• segmenti detti LATI (ogni lato si appoggia ad una coppia di nodi)

1

2 3

4 9

6

78

5

AB C

DEF

1

23

4

5

6

7

8

A B C

D

E F

N=6; L=9

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Tracciamento del grafo

Regole generali:

Ad ogni morsetto della rete si fa corrispondere un morsetto del grafo

Ad ogni bipolo della rete si fa corrispondere un lato del grafo

Si ottiene una figura con N morsetti e L lati.

Il grafo si dice orientato quando l’orientazione dei suoi lati coincide con

il riferimento della corrente del bipolo corrispondente.

Il grafo non è legato alla geometria della rete (se deformo un lato la

topologia non cambia) ma solo al tipo di collegamento tra bipoli.

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Grafo connesso:

Esiste un percorso lungo i lati che unisce due nodi qualsiasi

Un grafo connesso consta di un’unica parte separata

Grafo non connesso:

E’ un grafo costituito da più parti separate

1

23

4

56

78

A B

C

D

F E

GRAFO CONNESSO

9

1

2

3

4

68

A B

CD

E

F

GRAFO NON CONNESSO

5

G

7

9

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Grafo piano:

• Può essere disteso sul piano senza che nessuna coppia di lati si

intersechi in un punto che non sia un nodo

• Tutti i grafi con n≤4 sono piani

Grafo ridotto:

Ad ogni morsetto si appoggiano almeno 3 lati (no serie)

ad ogni coppia di nodi si appoggia al più un lato (no paralleli)

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Maglia:

Sottografo connesso

In ogni nodo incidono 2 e solo 2 lati

La maglia è descritta da una linea chiusa formata da lati del grafo

1

23

4

56

78

A B

C

D

FE

9

M1268

1

23

4

56

78

A B

C

D

FE

9

M3967

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Anello: (solo per reti piane):

Maglia di un grafo planare che non contiene lati interni [esistono L-

(N-1) anelli]

1

23

4

56

78

A B

C

D

F E

9M 678

1

23

4

56

78

A B

C

D

F E

9

M127

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Albero:

Sottografo connesso che contiene tutti i nodi e non forma maglie

[ha (N-1) lati]. L’albero non è unico.

1

23

4

56

78

A B

C

D

F E

9

A 23856

1

23

4

56

78

A B

C

D

F E

9

A 12356

Coalbero:

Complemento dell’albero [ha L-(N-1) lati]

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Insieme di taglio:

• Sottografo di grafo connesso

• Rimuovendone tutti i lati il grafo è non connesso

• Rimuovendone tutti i lati meno uno il grafo resta connesso

1

23

4

56

78

A B

C

D

F E

9

T27894

1

23

4

56

78

A B

C

D

F E

9

T1783

E’ individuato da una superficie chiusa che interseca i lati del grafo