Post on 16-Feb-2019
Le onde Gravitazionali e l’Esperimento Virgo
Michele PunturoIstituto Nazionale di Fisica Nucleare
Forze ed Onde
Le onde Gravitazionali 2
Legge “statica”
Onde elastiche
xkF Deformazioni dei
mezzi elastici
Forza elastica
tv
xA
tkxAtkxy
cos
cos
Legge time-dependent
2
21
04
1
r
qqF
r
Forza di Coulomb
Equazioni di Maxwell
Onde elettromagnetiche
t
c
xnEtkxE cos0
2
21
r
mmGF
Gravitazione universale
?
Necessità di introdurre una propagazione a velocità finita della perturbazione
Gravità come interazione istantanea?
• La legge della gravitazioneuniversale implica un’interazionea distanza (istantanea), cosa chegià disturbava Newton
• La risoluzione di tale incorerenzasi trova nella Relatività di Einstein, ma possiamo tentare di arrivarci“intuitivamente” passandodall’elettromagnetismo
• Partiamo dalla meccanica classica
Le onde Gravitazionali 3
Trasformazioni Galileiane
• Le leggi della meccanica classica godono del principio di invarianza Galileiana
• Effettuando una trasformazione galileiana (traslazione a velocità v lungo x)
Le onde Gravitazionali 4
zz
yy
tvxx
tt
le equazioni del moto si mantengono invariate nella forma
• Questo determina che cambiando da un sistema inerziale ad un altro in quiete o in moto rettilineo rispetto al precedente le leggi simantengono invariate
• Per determinare un punto nello spazio (un evento) in uno spazio euclideo necessitiamo di 3 coordinate spaziali (dove) e di una temporale (quando)
Distanze in uno spazio-tempo Newtoniano
• Nella meccanica newtoniana però il tempo è unavariabile indipendente
• Dobbiamo introdurre due concetti di distanza
Le onde Gravitazionali 5
2
3
1
2
321
321,
,,;
,,;
yx
i
ii
y
x
ttt
yxyxyxd
yyyty
xxxtx
2
2222
dt
dzdydxdl (intervallo spaziale)
(intervallo temporale)
• O equivalentemente:
Trasformazioni di Lorentz• Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo non risultano
invarianti per traformazioni galileiane– Per esempio, la legge dell’induzione magnetica è diversa in due
sistemi di riferimento inerziali
• Esse sono invece invarianti per trasformazioni (poi dette) diLorentz:
Le onde Gravitazionali 6
zyxtzyxt ,,;,,;
• Principio di relatività:
– Tutte le leggi fisiche devono essere invarianti per trasformazioni di Lorentz
– Invarianza qui significa che ogni legge conserva la stessa forma matematica e che le costanti numeriche conservano lo stesso valore
zz
yy
c
v
vtxx
c
v
xc
vct
tc
2
2
1
1
Relatività Ristretta• Nella RR Einstein fa proprie le nozioni scaturite
dall’elettromagnetismo e formula la teoria dellarelatività ristretta, che risulta coerente con la dinamica e l’elettromagnetismo (e con l’esperimentodi Michelson-Morley), esclusa la gravità
• In RR il tempo è una coordinata dello spazio-tempo (euclideo) 4-dimensionale e si può introdurre la nozione di distanza:
Le onde Gravitazionali 7
222222 dzdydxdtcdl (intervallo spazio-temporale)
• Introduciamo la notazione: zxyxxxctx 3210 ,,,
• La distanza diventa:
dxdxdxdxds
3
0
3
0
2
• Dove si è usata la convenzione di somma sugli indici ripetuti (muti)
• Il termine è la matrice:
1000
0100
0010
0001
che prende il nome di tensore metrico o tensore di Minkowski.
Relatività Generale• Lo spazio-tempo in RR è piatto:
– Facendo variare le 4 coordinate tra -∞ e + ∞ è possibile coprire tutto lo spazio-tempo
• In tale spazio-tempo è possibile introdurre coerentemente le leggidell’elettromagnetismo e le trasformazioni di Lorentz sono le leggi ditrasformazione da utilizzare
• Ma per introdurre la Gravità Einstein ha introdotto la Teoria dellarelatività Generale
• In tale teoria lo spazio-tempo è curvato dalla presenza della massa e l’attrazione gravitazionale è puramente un fatto geometrico
Le onde Gravitazionali 8
Spazio-Tempo curvo• La metrica dello spazio-tempo curvo è espresso dal tensore g
e la distanza è qui definita come:
Le onde Gravitazionali 9
dxdxgds 2
GG
cT
8
4
• La causa della deformazione è l’oggetto massivo che è espresso dal tensore Energia-Impulso T.
uuT 0
2222
2
0
1,
1,
1,
1
1
1
v
v
v
v
v
v
vu
vmn
zyx
densità di massa propria
• L’effetto di T è la deformazione G dello spazio tempo G. L’equazione che lega il tutto è l’equazione di campo:
Interpretazione Naif• La risoluzione dell’equazione di campo di Einstein è un incubo:
– Equazione non lineare– Tentativi di risoluzione numerica con l’uso di supercomputers
• Ma con un parallelismo del tutto naif possiamo intuire che le perturbazioni dello spazio tempo sono piccolissime e una soluzioneapprossimata lineare è “corretta” (almeno lontano dalla sorgente dimassa)
Le onde Gravitazionali 10
GG
cT
8
4
Causa della deformazione dello spazio-tempo
Tensore di deformazione:
• Confrontiamo l’eq. di campo con la generalizzazione della legge di Hooke per i mezzi elastici:
klijklij C Tensore degli sforzi
Tensore dei coefficienti elastici
Tensore delle deformazioni
• Possiamo far giocare al coefficiente c4/8G il ruolo di modulo di Young dello spazio-tempo, ma:
NG
c
PaEacciaio
424
11
108.48
102
Lo spazio-tempo è un mezzo rigidissimo. Grandi energie in gioco causano piccolissime deformazioni:approssimazione lineare
Onde Gravitazionali• Nell’approssimazione di piccole deformazioni,
possiamo considerare lo spazio-tempo quasi piattocon una piccola deformazione h:
Le onde Gravitazionali 11
dxdxhdxdxgds 2
• Dove h rispetta l’equazione (nel vuoto):
0 h
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
ttzyx
• Questa è una tipica equazione d’onda:
0
0
2
22
2
22
t
uu
t
AA Onde elettromagnetiche (A, potenziale vettore)
Onde elastiche (u(x,t), spostamento)
Effetto dell’onda gravitazionale sulla materia• Quindi la deformazione h rappresenta un’onda piana
(lontana dalla sorgente) e si dimostra che può presentare solo due polarizzazioni:
Le onde Gravitazionali 12
0000
0100
0010
0000
h
0000
0010
0100
0000
h
• Supponiamo di avere due particelle poste, in uno spazio piatto, ad una distanza dx=(0,dl,0,0) colpite da un onda di freq con polarizzazione ed ampiezza h
• La distanza diventa:
dlth
ld
dlthld
dlhdlgdxdxgds
cos2
1
cos1 22
2
1111
2
11
2
Sviluppo in serie di Taylor
… effetto dell’onda gravitazionale sulla materia• L’effetto è la modulazione della distanza delle due particelle:
Le onde Gravitazionali 13
2
th
l
l
• Nella direzione y, grazie al fatto che h22=-h11 si ha una deformazione
opposta
• L’onda gravitazionale ha quindi natura quadrupolare e il suo effetto, su una
distribuzione di massa estesa è la modulazione della distanza reciproca dei
corpi
• Consideriamo una distribuzione di massa circolare:
h+
h
Fase: 0 /2 3/2 2
Potenziale gravitazionale• Torniamo al potenziale gravitazionale Newtoniano
• Consideriamo una distribuzione continua di massa, con densità (x’). Supponiamo di valutare il potenziale gravitazionale ad una posizione x, all’esterno della massa stessa:
Le onde Gravitazionali 14
V
xdxx
xGx 3
x
x
• Essendo x esterno alla massa, possiamo scrivere lo sviluppo in multipoli per il potenziale usando lo sviluppo in serie di Taylor di 1/|x-x’| in un intorno di x’=0:
...3
2
1111
,5
2
3222
lk
lkl
k
lk
k
kk
r
xxrxx
r
xx
rzzyyxxxx
• Dove x1,2,3=x,y,z e 222 zyxr
• Il potenziale gravitazionale diventa:
...2 ,
53
lk
lkkl
k
kk
r
xxQ
GDx
r
G
r
GMx
V
xdxM 3
V
kk xdxxD 3
V
k
l
lkkl xdxrxxQ 323
è sempre possibile scegliere l’origine del sistema di riferimento coincidente con ilcentro di massa in modo che i termini di dipoloDk siano identicamente nulli
Emissione di onde gravitazionali• L’emissione di onde gravitazionali avverrà quindi per una
variazione nel tempo del potenziale gravitazionale. Ma quale termine potrà avere un ruolo in tale processo?
Le onde Gravitazionali 15
• Variazione del termine di monopolo?• Proibito dal principio di conservazione dell’energia (massa)
• Variazione del termine di dipolo?• La conservazione della quantità di moto e del suo momento lo proibiscono
• Variazione del termine di quadrupolo:
klkl Qr
xt
3
1
8,
Per avere emissione
ci deve essere un
momento di
quadrupolo non nullo
e che varia nel tempo
L’ampiezza della
deformazione è
inversamente
proporzionale
dalla distanza
della sorgente 2124
41004.2
16
cmgs
c
G
…emissione di onde gravitazionali• L’energia persa per irraggiamento è:
Le onde Gravitazionali 16
klkl QQc
G
dt
dE 545
31255
5106
45skgm
c
G
• La piccolezza del coefficiente ci dice che ogni tentativo di generareonde gravitazionali in laboratorio è fallimentare
• Le uniche sorgenti che possiamo immaginare di poter rivelare sonoquelle astrofisiche, dove le masse e le accelerazioni in gioco sonoenormi.
Sorgenti Astronomiche di onde gravitazionali
• Quindi, per avere una sorgente di onde gravitazionali occorrono corpi massivi, accelerati a velocità relativistiche:
– Sistemi binari di stelle “dense”:• Stelle a neutroni
• Buchi neri
– Esplosioni di supernovae
– Pulsars
Le onde Gravitazionali 17
Sistemi di binarie coalescenti• Stelle a neutroni:
– massive (m~0.253MQ)
– “puntiformi”
– Nella fase finale con velocità relativistiche
• Approssimazione newtoniana– Niente spin ed orbita circolare
Le onde Gravitazionali 18
z
r0
r
klkl Qr
xt
3
1
8,
6
100
03
1sin2sin
2
1
02sin2
1
3
1cos
2 2
2
2
0 crtcrt
crtcrt
MrQ orborb
orborb
kl
tMrrc
Ghh
tMrrc
Ghh
L
L
orb
orb
orb
22
042112
orb
22
042211
2sin8
2cos8
2
kgM 30109891.1 Q
… sistemi di binarie coalescenti• Questa formula è utile per calcolare gli ordini di grandezza aspettati:
Le onde Gravitazionali 19
Q
21
0
166
30
102
390
50
1031010MPc10
1024.14.1
h
Hzf
kmr
mr
kgMMGW
• ma è palese che è insufficiente.
• Infatti, se il sistema emette onde gravitazionali, perde energia. Questo si devetrovare sia nella frequenza orbitale che nell’ampiezza dell’onda emessa
• Occorre utilizzare l’approssimazione lineare per ottenere:
tttrc
MGiirth
tttrc
MGiirth
2sin
~
cos4,,
2cos
~
2
cos14,,
3
2
4
3
5
3
2
4
3
5
2
… sistemi di binarie coalescenti
Le onde Gravitazionali 20
• Dove:3
2
5
3~
TMM
Chirp mass
Reduced mass:TM
MM 21
21 MMMT
• i è l’angolo d’incidenza fra la direzione di propagazione ed il piano su cui stiamo guardando la deformazione
• (t) è la frequenza orbitale tempo-dipendente:
8
3
8
3
5
3
5
5
~
8
1
ttc
MGt c
chirp
Ma ci sono queste onde? Rivelazione indiretta: 1993 Premio Nobel a Taylor e Hulse
Le onde Gravitazionali 21
• Nel 1974 Taylor & Hulse scoprirono un sistema binario(1913+16), composto da due stelle a neutroni, di massacirca 1.4MQ, di cui una è una pulsar.
• Le due stelle ruotano intorno al CM con periodo di 7,75ore e la pulsar emette un impulso ogni 59ms
• La velocità è di circa 3·105m/s al periastro e 0,75·105m/s all’afastro
• Usando la tracciatura elettromagnetica essi fecero unaserie interessantissima di test relativistici
• Lo shift misurato testimonia una perdita di energia
sotto una forma non elettromagnetica: Onde
Gravitazionali. Il modello di radiazione previsto dalla
GR (parabola sovra-imposta) è compatibile con
quanto misurato
• In uno di questi tests, fu riportato (tramite effetto doppler)
la variazione del tempo di occorrenza del periastro, in
funzione dell’anno di misura
Rivelatori di onde gravitazionali
• La rivelazione diretta delle onde gravitazionali è un fondamentale tassello che ancora manca a questo puzzle.
• Se le onde gravitazionali esistono, trasportano energia ed impulso, deve essere possibile rivelarle.
• Sono stati sviluppati due tipi diversi di detectors per GW
– Barre Risonanti
– Interferometri
Le onde Gravitazionali 22
Barre Risonanti• Sono il primo tipo di rivelatore sviluppato per
le GW
• Sono costituite essenzialmente da un cilindro di metallo (alluminio o niobio), di circa 103kg di massa portato a temperatura ultra-criogenica
• Il modo di oscillazione fondamentale è quello longitudinale che ha un momento di quadrupolo non nullo
Le onde Gravitazionali 23
• L’onda gravitazionale trasmette energia(alla frequenza di risonanza) alla barrache oscilla per un periodo “lungo” (dipende dal Q meccanico)
• La lettura avviene tramite un risuonatore accoppiato che ne amplifical’oscillazione, restringendone però la banda sensibile
Il network di rivelatori risonanti
Le onde Gravitazionali 24
Foto Barre
ALLEGRO AURIGA EXPLORER NAUTILUS NIOBE
• Le barre risonanti stanno per andare in disuso, ma hanno realizzato nel passato il primo network mondiale di rivelatori, in cui l’Italia, grazie all’INFN, ha avuto un ruolo dominante
I rivelatori interferometrici
• Negli ultimi anni un nuovo tipo di rivelatori ha soppiantato le barre risonanti:
– Gli interferometri
• Questi sono interferometri Michelson (con cavità Fabry-Perot) giganteschi distribuiti sul globo terrestre a formare un network
Le onde Gravitazionali 25
Interferometri nel mondo
Le onde Gravitazionali 26
TAMA, Tokyo, 300 m
GEO, Hannover, 600 m
LIGO Hanford, 4 km: 2 ITF on the same site!
LIGO Livingston, 4 km
Virgo, Cascina, 3 km
Le onde Gravitazionali 27
VIRGO• INFN – Firenze-Urbino
• INFN – Genoa
• INFN – Napoli
• INFN – Padova-Trento
• INFN – Perugia
• INFN – Pisa
• INFN – Roma 1
• INFN – Roma 2
• APC – Paris
• LAPP – Annecy
• LAL – Orsay
• IPN – Lyon / ESPCI Paris
• OCA – Nice
• NIKHEF – Amsterdam
• Univ of Warsav
VIRGO Collaboration
EGO consortium
Le onde Gravitazionali 29
Infrastrutture
Perchè un interferometro gigantesco?• Gigantesco?
Le onde Gravitazionali 30
02
Lh
L
2110h
NS/NS collapse
@ Virgo cluster
Detector “Kilometrico”
mLmL 183
0 1010
• Interferometro Michelson?
E1
E2Ein
2cos
2cos
coscos2
1212
21
21
tLtLkt
tLtLkE
tLkttLktE
tEtEtE
in
in
out
Termine di interferenza
• Natura quadrupolare dell’onda:
• un Michelson, che misura la differenza dicammino ottico fra i bracci ortogonali sembraappropriato
Segnale in uscita• Ipotesi quasi-statica: TGW>>2L/c
Le onde Gravitazionali 31
• La potenza del campo elettromagnetico, letta in uscita da un fotodiodo, risulta:
thL
nPthL
nPtP
laser
in
laser
inout
22cos1
2
2cos2
thL
t
tntPtP
laser
inout
22cos1
2
• Il più grande sistema in ultra-alto vuoto in Europa: Circa 7000 m3
• Interamente sotto vuoto?
• In un Michelson, la sensibilità ad una differenza di lunghezza L=2L=h.L0 , è data dallapendenza della curva in frangia grigia
1
0
P x( )
6 6 x5 10
60 5 10
60
0.5
1
0 /2/2
thhLLt rtLaseroptMich
44
c
Lrt
2
Cavità Fabry-Perot• In realtà I maggiori detectors interferometrici usano cavità Fabry-Perot inserite
nei bracci
Le onde Gravitazionali 32
laser
• Ricordiamo il principio di funzionamento di una cavità FP:
• Essa è costituita da (almeno) una coppia di specchi, come riportato in figura: M2M1
laser0E
10rE
L
• Ciascun specchio è dotato di un coating riflessivo, con coefficiente di riflettività in ampiezza r1,2.
• Ciascuno dei due substrati (più i coatings) è dotato di un coefficiente ditrasmissione in ampiezza t1,2 e di assorbimento a1,2, tale che:
12
2,1
2
2,1
2
2,1 atr e se si possono trascurare le perdite: 12
2,1
2
2,1 tr
… cavità Fabry-Perot
• Sommando fra I loro tutti I contributi in trasmissione e così anche quelli in riflessione si ha:
Le onde Gravitazionali 33
M2M1
laser10rE
10tE
L
0EikLettE
210
kLiertE 2
2
2
10
kLierrttE 3
21210
kLierrtE 42
21
2
10
kLierrttE 52
2
2
1210
kL
kLi
n
nkLkLirc
kL
ikL
n
nkLikLtc
err
ettrerrertr
E
Er
err
etterrett
E
Et
2
21
2
211
0
2
21
2
2
2
1
0
2
21
21
0
2
2121
0
11
1
• La cavità si comporta come uno
specchio a reflettività e transmittività complesse
• Se 2kL=2n la cavità si dice in risonanza (i denominatori assumono il
loro minimo valore):
• La luce viene immagazzinata nella cavità
• Comportamento risonante
Comportamento risonante
Le onde Gravitazionali 34
21
21
1 rr
rrF
Finesse
-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10
-4
-2
0
2
4
[
rad]
L/
FP100
FP25
Michelson
opt
Mich
opt
FP
L
FF
L
28
• La sensibilità viene amplificata dalla pendenza che la (variazione di) fase assume alla risonanza:
Power Recycling• La frangia grigia (esempio Michelson) non è il giusto punto dove operare:
Le onde Gravitazionali 35
I fisici vogliono realizzare sempre un “Null Instrument”• Uscita zero se l’ingresso è nullo•Uscita proporzionale (linearmente) all’ingresso
• La prima condizione è idealmente soddisfatta solo in frangiaoscura
• La seconda condizione è soddisfatta utilizzando tecniche dimodulazione e demodulazione (Pound-Driver) o spostandosileggermente dalla frangia oscura (DC detection)
• Non tratteremo qui questa seconda parte
laser
• In frangia oscura la maggior parte della luce è riflessa verso la “input port”:
• Aumento della potenza circolante (e riduzione dello “shot noise”) tramiteil riciclaggio della luce
36
Virgo simplified Optical Scheme
3km140m
Rumori Fondamentali• Se vogliamo vedere fluttuazioni della distanza reciproca fra gli specchi di 10-19 m
(ad una distanza di 3km), ogni altra sorgente di fluttuazione compete con l’onda gravitazionale e deve essere soppressa
• Curva di sensibilità:
Le onde Gravitazionali 37
1 10 100 1000 10000
10-23
10-22
10-21
10-20
10-19
10-18
h(f)
[1
/sqr
t(H
z)]
Frequency [Hz]
(a) Seismic noise
(b) Thermal pendulum
(c) Thermal Mirror
(d) Optical Read-Out
(e) Newtonian noise
(f) Nominal Virgo
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(f)
Rumore sismico• Il rumore sismico, cioè la continua vibrazione del sito dove è costruito
il rivelatore, è dovuto da molteplici cause– Attività sismica profonda
– Onde degli oceani o dei mari vicini
– Vento
– Attività umana (industrie, città, vie di comunicazione)
• Ogni sito sperimentale ha la propria caratteristica sismica, ma più o meno lo spettro del rumore è del tipo (in ogni direzione):
Le onde Gravitazionali 38
HzfHzmf
HzfHzm
fxseism 5.01.010
5.01.010
2
7
7
• A distanze chilometriche la vibrazione è pressocchè scorrelata e quindi tale
rumore, renderebbe cieco il rivelatore
Filtri Sismici• Occorre filtrare il rumore sismico
• Un oscillatore armonico opera come un filtro a frequenze superiori a quella di risonanza
Le onde Gravitazionali 39
seismx
x
seismseism xxxxx ~~0
22
0
2
02
0
• Un pendolo è un oscillatore armonico (in 2 direzioni orizzontali) difrequenza naturale:
L
gf
2
10
• Una catena di N pendoli è un filtro multi-stadio la cui funzione di trasferimento è:
N
seism f
f
x
x2
0
~
~
40
XYZ pendulum chains
to reduce seismic motion by
a factor 1014 above 10 Hz
Virgo “Superattenuators”
Blades
Magnetic anti-springs
DC-0.01 Hz
0.01-8 Hz
8-50 Hz
Locking• I filtri sismici sono però degli amplificatori di vibrazione alla
risonanza, con fluttuazione dell’ordine di 10-4m.
• La marea dovuta ala Luna causa spostamenti delle torri di sospensione di circa 200m
Le onde Gravitazionali 41
• La condizione di risonanza richiede di mantenere gli specchi, distanti 3 km, fermientro 1 pm
• Controllo gerarchico del superattenuatore
Ma ci riusciamo davvero?
Le onde Gravitazionali 42
Network Mondiale
Le onde Gravitazionali 43
Prospettive Future• Il network di interferometri è operativo, ma il rate di detection è previsto essere
piuttosto basso
Le onde Gravitazionali 44
NS-NS• Piano di evoluzione dei detectors già
definito:
• Virgo+ / eLIGO: Ora!
• advVirgo / advLIGO: 2011-2015
• La rivelazione delle GW è considerata“scontata” con I detectors avanzati
• Ma il passaggio dalla rivelazioneall’astronomia richiederà probabilmenteuna terza generazione di detectors
ET• La comunità Europea, sotto FP7, finanzia il disegno concettuale di un
detector di onde gravitazionali di terza generazione:
– Criogenia
– Istallazione sotterranea
• Il progetto (ET) vede la collaborazione dei maggiori esperti di Virgo e GEO e lo scopo è il disegno di un detector che abbia una sensibilità un fattore 10 circa migliore degli “advanced” in modo da aprire la finestra dell’astronomia gravitazionale
Le onde Gravitazionali 45
Links
• http://www.virgo.infn.it/
• http://www.et-gw.eu/
• http://www.ligo.caltech.edu/
• http://www.infn.it/
Le onde Gravitazionali 46