Post on 18-Feb-2019
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica discreta:
origine e comportamento
Simone Zuccher
Piano Lauree Scientifiche per la Matematica
16 Novembre 2016
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Agenda
1 Un modello per la dinamica delle popolazioni
2 La mappa logistica
3 Dall’ordine al caos
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Agenda
1 Un modello per la dinamica delle popolazioni
2 La mappa logistica
3 Dall’ordine al caos
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Agenda
1 Un modello per la dinamica delle popolazioni
2 La mappa logistica
3 Dall’ordine al caos
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Agenda
1 Un modello per la dinamica delle popolazioni
2 La mappa logistica
3 Dall’ordine al caos
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Evoluzione di una popolazione (1/2)
Indichiamo con pn il numero di individui di una popolazione al
tempo tn (n-esimo passo temporale), pn ≥ 0.
Introduciamo:
il tasso di natalità τnati, definito come il numero di individui
nati durante il passo n diviso per il numero di individui pn
il tasso di mortalità τmorti, definito come il numero di
individui morti durante il passo n diviso per il numero di
individui pn
Tassi costanti nel tempo? Risorse limitate: al crescere della
popolazione il tasso di natalità diminuisce e/o quello di mortalità
cresce.
τnatin = τnati
0 − apn e τmortin = τmorti
0 + bpn,
dove τnati0 , τmorti
0 , a e b sono tutte costanti positive.
a e b misurano il grado di competizione per le risorse
all’interno della specie.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Evoluzione di una popolazione (1/2)
Indichiamo con pn il numero di individui di una popolazione al
tempo tn (n-esimo passo temporale), pn ≥ 0.
Introduciamo:
il tasso di natalità τnati, definito come il numero di individui
nati durante il passo n diviso per il numero di individui pn
il tasso di mortalità τmorti, definito come il numero di
individui morti durante il passo n diviso per il numero di
individui pn
Tassi costanti nel tempo? Risorse limitate: al crescere della
popolazione il tasso di natalità diminuisce e/o quello di mortalità
cresce.
τnatin = τnati
0 − apn e τmortin = τmorti
0 + bpn,
dove τnati0 , τmorti
0 , a e b sono tutte costanti positive.
a e b misurano il grado di competizione per le risorse
all’interno della specie.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Evoluzione di una popolazione (1/2)
Indichiamo con pn il numero di individui di una popolazione al
tempo tn (n-esimo passo temporale), pn ≥ 0.
Introduciamo:
il tasso di natalità τnati, definito come il numero di individui
nati durante il passo n diviso per il numero di individui pn
il tasso di mortalità τmorti, definito come il numero di
individui morti durante il passo n diviso per il numero di
individui pn
Tassi costanti nel tempo? Risorse limitate: al crescere della
popolazione il tasso di natalità diminuisce e/o quello di mortalità
cresce.
τnatin = τnati
0 − apn e τmortin = τmorti
0 + bpn,
dove τnati0 , τmorti
0 , a e b sono tutte costanti positive.
a e b misurano il grado di competizione per le risorse
all’interno della specie.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Evoluzione di una popolazione (1/2)
Indichiamo con pn il numero di individui di una popolazione al
tempo tn (n-esimo passo temporale), pn ≥ 0.
Introduciamo:
il tasso di natalità τnati, definito come il numero di individui
nati durante il passo n diviso per il numero di individui pn
il tasso di mortalità τmorti, definito come il numero di
individui morti durante il passo n diviso per il numero di
individui pn
Tassi costanti nel tempo? Risorse limitate: al crescere della
popolazione il tasso di natalità diminuisce e/o quello di mortalità
cresce.
τnatin = τnati
0 − apn e τmortin = τmorti
0 + bpn,
dove τnati0 , τmorti
0 , a e b sono tutte costanti positive.
a e b misurano il grado di competizione per le risorse
all’interno della specie.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Evoluzione di una popolazione (2/2)
In assenza di flusso migratorio:
pn+1 = pn + τnatin pn − τmorti
n pn
= (1 + τnatin − τmorti
n )pn
= (1 + τnati0 − apn − τmorti
0 − bpn)pn
= [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn, (1)
Questo è solo un modello di evoluzione di una popolazione,
detto modello logistico o di Verhulst.
Domande:
1 Esiste un valore asintotico p∞ della popolazione?
2 Esiste un valore massimo pmax della popolazione?
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Evoluzione di una popolazione (2/2)
In assenza di flusso migratorio:
pn+1 = pn + τnatin pn − τmorti
n pn
= (1 + τnatin − τmorti
n )pn
= (1 + τnati0 − apn − τmorti
0 − bpn)pn
= [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn, (1)
Questo è solo un modello di evoluzione di una popolazione,
detto modello logistico o di Verhulst.
Domande:
1 Esiste un valore asintotico p∞ della popolazione?
2 Esiste un valore massimo pmax della popolazione?
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 1: calcolo di p∞
p∞ = [(1+τnati0 −τmorti
0 )−(a+b)p∞]p∞ =⇒ p∞ =τnati
0 − τmorti0
a + b.
Considerazioni:
se τnati0 ≤ τmorti
0 allora p∞ = 0: la popolazione si estingue
se τnati0 > τmorti
0 allora p∞ 6= 0: la popolazione si stabilizza;
“comportamenti strani”?
al crescere di a e b (competizione) p∞ diminuisce
limite a = b = 0: pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]pn, da cui
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]np1
esplosione (τnati0 > τmorti
0 ) o estinzione (τnati0 < τmorti
0 ).
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 1: calcolo di p∞
p∞ = [(1+τnati0 −τmorti
0 )−(a+b)p∞]p∞ =⇒ p∞ =τnati
0 − τmorti0
a + b.
Considerazioni:
se τnati0 ≤ τmorti
0 allora p∞ = 0: la popolazione si estingue
se τnati0 > τmorti
0 allora p∞ 6= 0: la popolazione si stabilizza;
“comportamenti strani”?
al crescere di a e b (competizione) p∞ diminuisce
limite a = b = 0: pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]pn, da cui
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]np1
esplosione (τnati0 > τmorti
0 ) o estinzione (τnati0 < τmorti
0 ).
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 1: calcolo di p∞
p∞ = [(1+τnati0 −τmorti
0 )−(a+b)p∞]p∞ =⇒ p∞ =τnati
0 − τmorti0
a + b.
Considerazioni:
se τnati0 ≤ τmorti
0 allora p∞ = 0: la popolazione si estingue
se τnati0 > τmorti
0 allora p∞ 6= 0: la popolazione si stabilizza;
“comportamenti strani”?
al crescere di a e b (competizione) p∞ diminuisce
limite a = b = 0: pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]pn, da cui
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]np1
esplosione (τnati0 > τmorti
0 ) o estinzione (τnati0 < τmorti
0 ).
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 1: calcolo di p∞
p∞ = [(1+τnati0 −τmorti
0 )−(a+b)p∞]p∞ =⇒ p∞ =τnati
0 − τmorti0
a + b.
Considerazioni:
se τnati0 ≤ τmorti
0 allora p∞ = 0: la popolazione si estingue
se τnati0 > τmorti
0 allora p∞ 6= 0: la popolazione si stabilizza;
“comportamenti strani”?
al crescere di a e b (competizione) p∞ diminuisce
limite a = b = 0: pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]pn, da cui
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]np1
esplosione (τnati0 > τmorti
0 ) o estinzione (τnati0 < τmorti
0 ).
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 1: calcolo di p∞
p∞ = [(1+τnati0 −τmorti
0 )−(a+b)p∞]p∞ =⇒ p∞ =τnati
0 − τmorti0
a + b.
Considerazioni:
se τnati0 ≤ τmorti
0 allora p∞ = 0: la popolazione si estingue
se τnati0 > τmorti
0 allora p∞ 6= 0: la popolazione si stabilizza;
“comportamenti strani”?
al crescere di a e b (competizione) p∞ diminuisce
limite a = b = 0: pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]pn, da cui
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )]np1
esplosione (τnati0 > τmorti
0 ) o estinzione (τnati0 < τmorti
0 ).
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 2: calcolo di pmax
Sotto l’ipotesi pn ≥ 0, si ha
pn+1 ≥ 0 ⇐⇒ [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn ≥ 0
da cui
0 ≤ pn ≤ 1 + τnati0 − τmorti
0
a + b,
pertanto
pmax =1 + τnati
0 − τmorti0
a + b> p∞.
pmax > p∞?
Sì: possibili fenomeni di overshooting, l’assestamento della
popolazione avviene in maniera non monotòna.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 2: calcolo di pmax
Sotto l’ipotesi pn ≥ 0, si ha
pn+1 ≥ 0 ⇐⇒ [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn ≥ 0
da cui
0 ≤ pn ≤ 1 + τnati0 − τmorti
0
a + b,
pertanto
pmax =1 + τnati
0 − τmorti0
a + b> p∞.
pmax > p∞?
Sì: possibili fenomeni di overshooting, l’assestamento della
popolazione avviene in maniera non monotòna.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 2: calcolo di pmax
Sotto l’ipotesi pn ≥ 0, si ha
pn+1 ≥ 0 ⇐⇒ [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn ≥ 0
da cui
0 ≤ pn ≤ 1 + τnati0 − τmorti
0
a + b,
pertanto
pmax =1 + τnati
0 − τmorti0
a + b> p∞.
pmax > p∞?
Sì: possibili fenomeni di overshooting, l’assestamento della
popolazione avviene in maniera non monotòna.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 2: calcolo di pmax
Sotto l’ipotesi pn ≥ 0, si ha
pn+1 ≥ 0 ⇐⇒ [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn ≥ 0
da cui
0 ≤ pn ≤ 1 + τnati0 − τmorti
0
a + b,
pertanto
pmax =1 + τnati
0 − τmorti0
a + b> p∞.
pmax > p∞?
Sì: possibili fenomeni di overshooting, l’assestamento della
popolazione avviene in maniera non monotòna.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Agenda
1 Un modello per la dinamica delle popolazioni
2 La mappa logistica
3 Dall’ordine al caos
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica (1/2)
Siccome esiste pmax, anziché utilizzare il numero “assoluto” di
individui pn, introduciamo una popolazione “riscalata”
xn = pn/pmax tale che 0 ≤ xn ≤ 1. Da
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn,
dividendo entrambi i membri per pmax e rielaborando si ottiene
pn+1
pmax= [(1 + τnati
0 − τmorti0 )− (a + b)pn]
pn
pmax
= (1 + τnati0 − τmorti
0 )
[
1 − a + b
1 + τnati0 − τmorti
0
pn
]
pn
pmax
= (1 + τnati0 − τmorti
0 )
[
1 − pn
pmax
]
pn
pmax
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica (1/2)
Siccome esiste pmax, anziché utilizzare il numero “assoluto” di
individui pn, introduciamo una popolazione “riscalata”
xn = pn/pmax tale che 0 ≤ xn ≤ 1. Da
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn,
dividendo entrambi i membri per pmax e rielaborando si ottiene
pn+1
pmax= [(1 + τnati
0 − τmorti0 )− (a + b)pn]
pn
pmax
= (1 + τnati0 − τmorti
0 )
[
1 − a + b
1 + τnati0 − τmorti
0
pn
]
pn
pmax
= (1 + τnati0 − τmorti
0 )
[
1 − pn
pmax
]
pn
pmax
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica (1/2)
Siccome esiste pmax, anziché utilizzare il numero “assoluto” di
individui pn, introduciamo una popolazione “riscalata”
xn = pn/pmax tale che 0 ≤ xn ≤ 1. Da
pn+1 = [(1 + τnati0 − τmorti
0 )− (a + b)pn]pn,
dividendo entrambi i membri per pmax e rielaborando si ottiene
pn+1
pmax= [(1 + τnati
0 − τmorti0 )− (a + b)pn]
pn
pmax
= (1 + τnati0 − τmorti
0 )
[
1 − a + b
1 + τnati0 − τmorti
0
pn
]
pn
pmax
= (1 + τnati0 − τmorti
0 )
[
1 − pn
pmax
]
pn
pmax
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica (2/2)
Introducendo
A = 1+τnati0 −τmorti
0 > 0 e xn =pn
pmax=
a + b
1 + τnati0 − τmorti
0
pn,
si ottiene semplicemente
xn+1 = Axn(1 − xn), (2)
nota come equazione logistica discreta.
Domande:
1 Quanto vale x∞ (valore asintotico normalizzato)?
2 Quali valori può assumere A in modo che la popolazione
normalizzata xn sia sempre 0 ≤ xn ≤ 1?
3 Si può pensare ad un metodo grafico per determinare il
destino della popolazione normalizzata xn?
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica (2/2)
Introducendo
A = 1+τnati0 −τmorti
0 > 0 e xn =pn
pmax=
a + b
1 + τnati0 − τmorti
0
pn,
si ottiene semplicemente
xn+1 = Axn(1 − xn), (2)
nota come equazione logistica discreta.
Domande:
1 Quanto vale x∞ (valore asintotico normalizzato)?
2 Quali valori può assumere A in modo che la popolazione
normalizzata xn sia sempre 0 ≤ xn ≤ 1?
3 Si può pensare ad un metodo grafico per determinare il
destino della popolazione normalizzata xn?
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica (2/2)
Introducendo
A = 1+τnati0 −τmorti
0 > 0 e xn =pn
pmax=
a + b
1 + τnati0 − τmorti
0
pn,
si ottiene semplicemente
xn+1 = Axn(1 − xn), (2)
nota come equazione logistica discreta.
Domande:
1 Quanto vale x∞ (valore asintotico normalizzato)?
2 Quali valori può assumere A in modo che la popolazione
normalizzata xn sia sempre 0 ≤ xn ≤ 1?
3 Si può pensare ad un metodo grafico per determinare il
destino della popolazione normalizzata xn?
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
La mappa logistica (2/2)
Introducendo
A = 1+τnati0 −τmorti
0 > 0 e xn =pn
pmax=
a + b
1 + τnati0 − τmorti
0
pn,
si ottiene semplicemente
xn+1 = Axn(1 − xn), (2)
nota come equazione logistica discreta.
Domande:
1 Quanto vale x∞ (valore asintotico normalizzato)?
2 Quali valori può assumere A in modo che la popolazione
normalizzata xn sia sempre 0 ≤ xn ≤ 1?
3 Si può pensare ad un metodo grafico per determinare il
destino della popolazione normalizzata xn?
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domande 1 e 2 (1/2)
1 calcolo di x∞:
x∞ = Ax∞(1 − x∞)
da cui
x∞ = 0 e x∞ = 1 − 1/A.
Affinché la specie non si estingua (x∞ > 0), deve essere
1 − 1/A > 0 che implica A > 1.
2 valori ammissibili di A: il vertice della parabola
y = Ax(1 − x) è V (1/2,A/4), per avere 0 < xn ≤ 1 deve
essere 0 < A/4 ≤ 1 che implica 0 < A ≤ 4.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domande 1 e 2 (1/2)
1 calcolo di x∞:
x∞ = Ax∞(1 − x∞)
da cui
x∞ = 0 e x∞ = 1 − 1/A.
Affinché la specie non si estingua (x∞ > 0), deve essere
1 − 1/A > 0 che implica A > 1.
2 valori ammissibili di A: il vertice della parabola
y = Ax(1 − x) è V (1/2,A/4), per avere 0 < xn ≤ 1 deve
essere 0 < A/4 ≤ 1 che implica 0 < A ≤ 4.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domande 1 e 2 (2/2)
per 0 ≤ A ≤ 1 si ha x∞ = 0
per 1 < A ≤ 4 si hanno x∞ = 0 oppure x∞ = 1 − 1/A.
y = xA = 3.5
A = 3.0
A = 2.5
A = 1.5
A = 1.0
A = 0.5
x
f(x
)=
Ax(1
−x)
10.80.60.40.20
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domanda 3: metodo grafico per calcolare xn+1?
Sì: basta riportare sullo stesso grafico y = f (x) e y = x e poi
1 partire dal dato iniziale x1 e calcolare x2 = f (x1)
2 riportare il valore di x2 sull’asse delle ascisse sfruttando la
bisettrice y = x
3 calcolare x3 = f (x2)
4 . . .
5 calcolare xn+1 = f (xn)
6 se |xn+1 − xn| < ǫ, esci dal ciclo
7 riportare il valore di xn+1 sull’asse delle ascisse sfruttando
la bisettrice y = x e ripetere dal punto 5
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Vediamo cosa succede per A ≤ 3...
Giochiamo un po’ con Octave o Excel: per 0 < A < 3 si
osservano varie transizioni, in ogni caso c’è almeno una
soluzione di equilibrio stabile:
Se 0 < A ≤ 1, ovvero se τnati0 ≤ τmorti
0 , allora
x∞ = 1 − 1/A = 0 e la specie si estingue.
Se 1 < A ≤ 2 la popolazione si stabilizza velocemente al
valore 1 − 1/A, indipendentemente dal valore iniziale della
popolazione.
Se 2 < A ≤ 3 la popolazione si stabilizza comunque al
valore 1 − 1/A ma oscillando attorno ad esso per un po’ di
tempo. La convergenza risulta molto lenta per A = 3.
Cosa succede per 3 < A ≤ 4?
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Agenda
1 Un modello per la dinamica delle popolazioni
2 La mappa logistica
3 Dall’ordine al caos
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (1/3)
per 3 < A < 1 +√
6: xn oscilla tra 2 valori stabili
per 1 +√
6 < A < 3.54409: xn oscilla tra 4 valori stabili
per 3.54409 < A < 3.56995: xn oscilla tra 8 valori stabili,
poi 16, 32 etc.: period-doubling cascade.
per A ≈ 3.56995: si raggiunge una condizione in cui xn
assume tutti valori diversi con l’impossibilità di riconoscere
delle oscillazioni periodiche: caos matematico! ma...
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843: si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
per 3.848 < A ≤ 4: ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (1/3)
per 3 < A < 1 +√
6: xn oscilla tra 2 valori stabili
per 1 +√
6 < A < 3.54409: xn oscilla tra 4 valori stabili
per 3.54409 < A < 3.56995: xn oscilla tra 8 valori stabili,
poi 16, 32 etc.: period-doubling cascade.
per A ≈ 3.56995: si raggiunge una condizione in cui xn
assume tutti valori diversi con l’impossibilità di riconoscere
delle oscillazioni periodiche: caos matematico! ma...
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843: si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
per 3.848 < A ≤ 4: ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (1/3)
per 3 < A < 1 +√
6: xn oscilla tra 2 valori stabili
per 1 +√
6 < A < 3.54409: xn oscilla tra 4 valori stabili
per 3.54409 < A < 3.56995: xn oscilla tra 8 valori stabili,
poi 16, 32 etc.: period-doubling cascade.
per A ≈ 3.56995: si raggiunge una condizione in cui xn
assume tutti valori diversi con l’impossibilità di riconoscere
delle oscillazioni periodiche: caos matematico! ma...
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843: si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
per 3.848 < A ≤ 4: ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (1/3)
per 3 < A < 1 +√
6: xn oscilla tra 2 valori stabili
per 1 +√
6 < A < 3.54409: xn oscilla tra 4 valori stabili
per 3.54409 < A < 3.56995: xn oscilla tra 8 valori stabili,
poi 16, 32 etc.: period-doubling cascade.
per A ≈ 3.56995: si raggiunge una condizione in cui xn
assume tutti valori diversi con l’impossibilità di riconoscere
delle oscillazioni periodiche: caos matematico! ma...
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843: si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
per 3.848 < A ≤ 4: ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (1/3)
per 3 < A < 1 +√
6: xn oscilla tra 2 valori stabili
per 1 +√
6 < A < 3.54409: xn oscilla tra 4 valori stabili
per 3.54409 < A < 3.56995: xn oscilla tra 8 valori stabili,
poi 16, 32 etc.: period-doubling cascade.
per A ≈ 3.56995: si raggiunge una condizione in cui xn
assume tutti valori diversi con l’impossibilità di riconoscere
delle oscillazioni periodiche: caos matematico! ma...
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843: si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
per 3.848 < A ≤ 4: ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (1/3)
per 3 < A < 1 +√
6: xn oscilla tra 2 valori stabili
per 1 +√
6 < A < 3.54409: xn oscilla tra 4 valori stabili
per 3.54409 < A < 3.56995: xn oscilla tra 8 valori stabili,
poi 16, 32 etc.: period-doubling cascade.
per A ≈ 3.56995: si raggiunge una condizione in cui xn
assume tutti valori diversi con l’impossibilità di riconoscere
delle oscillazioni periodiche: caos matematico! ma...
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843: si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
per 3.848 < A ≤ 4: ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (2/3)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4
A
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Cosa succede per 3 < A ≤ 4? (3/3)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3.8 3.82 3.84 3.86 3.88 3.9
A
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Sensibilità alle condizioni iniziali
k
xk
50454035302520151050
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
A = 4.0, confronto tra x1 = 0.1000 (linea continua, pallini pieni) e
x1 = 0.1001 (linea tratteggiata, pallini vuoti). Si noti che le due
soluzioni sono praticamente sovrapposte fino a k = 6, ma poi si
allontanano l’una dall’altra.
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Riassumendo
se 0 < A ≤ 1 la popolazione è condannata all’estinzione
se 1 < A ≤ 3 la popolazione raggiunge il valore asintotico
1 − 1/A (velocemente se 1 < A ≤ 2, oscillando se
2 < A ≤ 3).
se 3 < A < 1 +√
6 ≈ 3.44948 la popolazione oscilla tra 2
(valori che dipendono solo da A): comportamento
periodico.
se 1 +√
6 < A < 3.54409 il numero di individui oscilla tra 4
valori
se 3.54409 < A < 3.56995 il numero di individui oscilla tra
8 valori, poi 16, etc.
se A ≈ 3.56995 non si capisce più niente... caos
matematico!
da A = 1 +√
8 ≈ 3.82843 si osservano oscillazioni tra 3
valori, poi 6, poi 12 etc. (isole di stabilità)
se 3.848 < A ≤ 4 ritorna il comportamento caotico
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Conclusioni
Modelliamo il comportamento della Natura con delle leggi
deterministiche, spesso all’apparenza semplici, che
hanno sempre bisogno di una condizione iniziale.
Al variare dei parametri queste leggi possono esibire un
comportamento strano (soluzioni periodiche, caotiche).
Se cambio di poco il dato iniziale, solitamente, mi aspetto
che il risultato cambi di poco. Per soluzioni caotiche no:
variando di pochissimo il dato iniziale si ottengono
evoluzioni completamente diverse. Dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali.
Ci sembra che l’ordine sia sparito: il chaos apparente
scaturisce da una legge deterministica.
Esempi in Natura:
le previsioni metereologiche (effetto farfalla)
la turbolenza (argomento irrisolto della fisica classica)
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Conclusioni
Modelliamo il comportamento della Natura con delle leggi
deterministiche, spesso all’apparenza semplici, che
hanno sempre bisogno di una condizione iniziale.
Al variare dei parametri queste leggi possono esibire un
comportamento strano (soluzioni periodiche, caotiche).
Se cambio di poco il dato iniziale, solitamente, mi aspetto
che il risultato cambi di poco. Per soluzioni caotiche no:
variando di pochissimo il dato iniziale si ottengono
evoluzioni completamente diverse. Dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali.
Ci sembra che l’ordine sia sparito: il chaos apparente
scaturisce da una legge deterministica.
Esempi in Natura:
le previsioni metereologiche (effetto farfalla)
la turbolenza (argomento irrisolto della fisica classica)
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Conclusioni
Modelliamo il comportamento della Natura con delle leggi
deterministiche, spesso all’apparenza semplici, che
hanno sempre bisogno di una condizione iniziale.
Al variare dei parametri queste leggi possono esibire un
comportamento strano (soluzioni periodiche, caotiche).
Se cambio di poco il dato iniziale, solitamente, mi aspetto
che il risultato cambi di poco. Per soluzioni caotiche no:
variando di pochissimo il dato iniziale si ottengono
evoluzioni completamente diverse. Dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali.
Ci sembra che l’ordine sia sparito: il chaos apparente
scaturisce da una legge deterministica.
Esempi in Natura:
le previsioni metereologiche (effetto farfalla)
la turbolenza (argomento irrisolto della fisica classica)
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Conclusioni
Modelliamo il comportamento della Natura con delle leggi
deterministiche, spesso all’apparenza semplici, che
hanno sempre bisogno di una condizione iniziale.
Al variare dei parametri queste leggi possono esibire un
comportamento strano (soluzioni periodiche, caotiche).
Se cambio di poco il dato iniziale, solitamente, mi aspetto
che il risultato cambi di poco. Per soluzioni caotiche no:
variando di pochissimo il dato iniziale si ottengono
evoluzioni completamente diverse. Dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali.
Ci sembra che l’ordine sia sparito: il chaos apparente
scaturisce da una legge deterministica.
Esempi in Natura:
le previsioni metereologiche (effetto farfalla)
la turbolenza (argomento irrisolto della fisica classica)
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Conclusioni
Modelliamo il comportamento della Natura con delle leggi
deterministiche, spesso all’apparenza semplici, che
hanno sempre bisogno di una condizione iniziale.
Al variare dei parametri queste leggi possono esibire un
comportamento strano (soluzioni periodiche, caotiche).
Se cambio di poco il dato iniziale, solitamente, mi aspetto
che il risultato cambi di poco. Per soluzioni caotiche no:
variando di pochissimo il dato iniziale si ottengono
evoluzioni completamente diverse. Dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali.
Ci sembra che l’ordine sia sparito: il chaos apparente
scaturisce da una legge deterministica.
Esempi in Natura:
le previsioni metereologiche (effetto farfalla)
la turbolenza (argomento irrisolto della fisica classica)
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Conclusioni
Modelliamo il comportamento della Natura con delle leggi
deterministiche, spesso all’apparenza semplici, che
hanno sempre bisogno di una condizione iniziale.
Al variare dei parametri queste leggi possono esibire un
comportamento strano (soluzioni periodiche, caotiche).
Se cambio di poco il dato iniziale, solitamente, mi aspetto
che il risultato cambi di poco. Per soluzioni caotiche no:
variando di pochissimo il dato iniziale si ottengono
evoluzioni completamente diverse. Dipendenza sensibile
dalle condizioni iniziali.
Ci sembra che l’ordine sia sparito: il chaos apparente
scaturisce da una legge deterministica.
Esempi in Natura:
le previsioni metereologiche (effetto farfalla)
la turbolenza (argomento irrisolto della fisica classica)
Un modello per la dinamica delle popolazioni La mappa logistica Dall’ordine al caos
Domande?