I.T.C.G. Mosè BianchiMauro Bosisio

Classe A2 GeometriAnno scolastico 2000\2001

Il secondo criterio di

congruenza dei triangoli

Questo criterio , come gli altri due, è utile per dimostrare la congruenza di due o più triangoli, conoscendone solo alcuni dati

• Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due angoli e il lato tra essi compreso, essi sono congruenti

Il secondo criterio dice :

Osserviamo:

Cominciamo prendendo un angolo di ampiezza qualsiasi

A

Consideriamo ora un punto B su uno dei lati dell’angolo

A

B

Ora “costruiamo” un’ altro angolo di vertice B e lato BA come in figura

A

B

C

Come si può vedere, con questi tre elementi abbiamo costruito un triangolo e uno solo

A

B

Non è stato necessario conoscere la lunghezza degli altri suoi elementi (il lato BC, il lato AC e l’angolo C).

Se osserviamo attentamente, ci rendiamo conto che queste due informazioni sono superflue, infatti il punto d’incontro delle semirette BC e AC è unico.

A

B

C

Abbiamo così osservato come, utilizzando questi tre dati solamente, si possa costruire un triangolo e uno solo…

.. e quindi il perché della congruenza di due triangoli se hanno tra loro congruenti questi elementi.

Ora dimostriamo il teorema:

C

C’

B’A’

BA

Per la dimostrazione di questo teorema useremo il metodo per assurdo

C

C’

B’A’

BA

Ipotesi: AB A’B’

CAB C’A’B’

ABC A’B’C’

Tesi: ABC A’B’C’

Ora poniamo per assurdo che i due triangoli non siano

congruenti e supponiamo che i lati AC e A’C’ siano diversi

(nel nostro caso porremo

AC > A’C’)

Prendiamo su AC un punto C” tale che AC” A’C’

Ora uniamo C” con B

C

C’

B’A’

BA

C”

C’

B’A’

B

C

C”

A

I due triangoli considerati sono quindi congruenti per il primo

criterio di congruenza dei triangoli

Consideriamo i triangoli

ABC” e A’B’C’

A A’ (per ipotesi)

AC” A’C’ (per costruzione)

AB A’B’ (per ipotesi)

C

C”

A B

Risulta:

ABC A’B’C’

ma ABC”<ABC perché C” è interno ad ABC

Per cui A’B’C’<ABC

Poichè non possiamo negare l’ ipotesi che è necessariamente vera, resta

dimostrato il teorema

Ma in questo modo si verrebbe a negare l’ipotesi, secondo cui ABC A’B’C’

Ora applichiamo quello che si è appena detto:

Osserviamo un triangolo qualsiasi :

Poniamo l’ attenzione rispettivamente sul lato AB, l’ angolo A e l’ angolo B

A

BC

Ora osserviamo quest’ altro triangolo avente alcuni dati uguali al primo :

L’angolo F è congruente all’ angolo A del triangolo precedente

Il lato FG è congruente al lato AB del triangolo precedente

E per finire l’angolo G è congruente all’angolo B del triangolo precedente

F

EG

A FB G

AB FG

A

B F

G

I due triangoli hanno abbastanza dati comuni per essere, come abbiamo visto, tra loro congruenti per il secondo criterio di congruenza dei triangoli.

Utilizzando il secondo criterio di congruenza dei triangoli abbiamo dimostrato la congruenza di queste due figure

Fine