Introduzione alle derivate

Dal rapporto incrementale alla

derivata in un punto Apriamo Geogebra

Digitiamo nella riga di inserimento l’equazione di una funzione. Ad esempio

Ricordiamo che occorre digitare

f(x):=10*(x-1)^2*e^(-x)

Per poter visualizzare/modificare la funzione, creiamo una casella di inserimento ; “legenda”=f; colleghiamo l’oggetto f(x)

xexxf 2)1(10:)(

Dal rapporto incrementale alla

derivata in un punto Scegliamo adesso un punto sull’asse x:

◦ Scegliamo il comando Punto su oggetto

◦ Portiamo il puntatore sull’asse x, e appena appare “asse x”, clicchiamo

◦ Creiamo una casella di testo per vedere le coordinate del punto scelto; scegliamo il comando testo e clicchiamo sullo schermo. Come testo scriviamo x0 e scegliamo l’oggetto appena creato.

◦ Per individuare il punto sulla funzione digitiamo nella riga di inserimento: P_0=(x[A],f(x[A]))

Dal rapporto incrementale alla

derivata in un punto Vogliamo ora

individuare un

secondo punto P1:

Definiamo uno

slider h:

◦ Lasciamo i parametri

proposti

• Costruiamo il punto P1 di ascissa x0+h:

Digitiamo nella riga di inserimento

P_1=(x[P_0]+h,f(x[P_0]+h))

• Tracciamo la retta per i due punti utilizzando il comando

Dal rapporto incrementale alla

derivata in un punto

Calcoliamo il coefficiente angolare di tale retta:

m:=(y[P_1]-y[P_0])/h

Per visualizzare sul foglio, scegliamo il comando testo

Digitiamo m e scegliamo l’oggetto m

Dal rapporto incrementale alla

derivata in un punto

Adesso possiamo modificare:

• azionando lo slider, il valore di h

• muovendo il punto A

In particolare osserviamo cosa accade ad m quando h=0

La secante e il rapporto

incrementale

Abbiamo così sperimentato quanto detto a

lezione a proposito del

• rapporto incrementale

• della secante

Possiamo ora utilizzare il foglio creato per affrontare alcuni degli

esercizi visti a lezione

La derivata in un punto

Vediamo ora come possiamo a

risolvere il problema di h=0

• abbiamo visto a lezione che per h->0 otteniamo la derivata di f(x) nel

punto P_0

• calcoliamo la derivata digitando Derivata[f]

• nascondiamo la funzione che ci viene proposta

• costruiamo la retta che passa per P_0 e ha coefficiente angolare il

valore della derivata nel punto P_0

Intuiamo il significato e l’utilità