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INDICI DI TENDENZA CENTRALE

MODA

MEDIA

MEDIANA

A cura di Monica Terenghi

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Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un fenomeno statistico, i dati possono essere:

organizzati in una tabella

tabellaunità stat./modalità

tabellamodalità/frequenze

insiemedi dati

statistici

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Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un fenomeno statistico, i dati possono essere:

rappresentati mediante un grafico

tabelladati

statistici

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Per semplificare la lettura e l’interpretazione di un fenomeno statistico, i dati possono essere:

elaborati e sintetizzati in un unico dato

tabelladati

statistici

indicecentrale

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L’indice centrale fornisceun’unica informazione

La sintesi dei dati deve conservare l’informazione più significativa

tabelladati

statistici(tante

informazioni)

indicecentrale

(un’unicaricca

informazione)

informazioneda conservare

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L’indice centrale deve descriverecome si è manifestato il fenomeno

L’informazione da conservare è quindi legata alle modalità del carattere indagato

tabelladati

statistici(tante

modalità)

indicecentralesintesi delle

modalità

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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUALITATIVI

1° CASO

il carattere si manifesta con modalità sempre diverse

(o con ripetizioni non significative)

NON ESISTE UN MODO PER STABILIRE

UN INDICE DI TENDENZA

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Esempio 1: quattro amici alla domanda “quale sport preferisci?” hanno dato quattro risposte diverse.

u.s. modalità

Andrea

Barbara

Carlo Diego

informazioneda conservare

???

NON ESISTEun indicecentrale

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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUALITATIVI

2° CASO

il carattere si manifesta con modalità

che a volte si ripetono

Si può descrivere il fenomeno conservando solo l’informazione relativa alla modalità più frequente, la MODA

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Esempio 2: tra i 4 corsi offerti da un centro sportivo, 25 ragazzi hanno optato per uno di essi secondo la seguente tabella:

modalità frequenza

7

4

12

2

modalità confrequenza max

MODA

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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUALITATIVI

3° CASO

il carattere, pur se qualitativo, si manifesta con modalità ordinabili

Si può descrivere il fenomeno conservando solo l’informazione relativa alla modalità che occupa la posizione centrale, la MEDIANA

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Esempio 3: tra i 25 dipendenti di una ditta, il titolo di studio risulta così distribuito:

modalità frequenzaordinate

Lic. elemen. 1

Lic. media 10

Diploma 8

Laurea 6

modalità conposizione centrale

(la 13a)

MEDIANA

Diploma

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Si perdono le informazioni relative ai singoli titoli di studio; si conserva solo il titolo di studio centrale

modalità frequenzaordinate

Lic. elemen. 1

Lic. media 10

Diploma 8

Laurea 6

modalità frequenza

Max ildiploma 12

Sicuramenteil diploma 1

Almeno il

diploma 12

mediana:diploma

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INDICI CENTRALI PERCARATTERI QUANTITATIVI

E’ evidente che anche in questo caso è possibile calcolare:

a volte la MODA (se il carattere si manifesta con modalità che si ripetono)

sempre la MEDIANA (un carattere quantitativo ha modalità ordinabili)

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Esempio 1: in un condominio con 25 appartamenti, il numero di occupanti ogni singolo appartamento è così distribuito:

modalità frequenzaordinate 7

4

12

2

modalità confrequenza max

MODA

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Esempio 2: dopo una gara tra 5 concorrenti viene compilata la classifica

u.s. mod.giocat. punti

Barbara 8Enza 8

Andrea 7Carlo 6Diego 2

MEDIANA

7 informazione da

conservare: punteggio centrale

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ALTRI INDICI CENTRALI PER CARATTERI QUANTITATIVI: LE MEDIE

Le modalità

sono espresse da numeri.

E’ possibile allora eseguire un’operazione

opportunamente scelta e ottenere

una grandezza che dipenda dalle modalità.

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Calcolare una MEDIA significa:

Sintetizzare le modalità di un carattere quantitativo in modo da conservare una grandezza che da esse dipenda.

tabelladati

statistici

MEDIAgrandezzada conservare

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Esempio 1: si vuole valutare il profitto medio in matematica di uno studente che in 5 prove abbiariportato i seguenti voti:

u.s. mod.PROVA VOTO

prima 7

seconda 8

terza 6

quarta 2

quinta 8

voto mediom ?

grandezza daconservare?

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Il voto medio può essere calcolato in modo che, sostituito ai singoli voti, esso non alteri il punteggio totale raggiunto dallo studente

u.s. mod.PROVA VOTO

prima 7

seconda 8

terza 6

quarta 2

quinta 8

voto mediom ?

grandezza daconservare7+8+6+2+8

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La media che conserva la SOMMA è laMEDIA ARITMETICA

u.s. mod.PROVA VOTO

prima 7

seconda 8

terza 6

quarta 2

quinta 8

7+8+6+2+8 =m+m+m+m+m

voto medio

6,2

m

7 8 6 2 8

5

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Si perdono le informazioni portate dai singoli voti; si conserva il punteggio totale

u.s. mod.PROVA VOTO

prima 7

seconda 8

terza 6

quarta 2

quinta 8

totale 31

media aritmetica:6,2

u.s. mod.PROVA VOTO

prima 6,2

seconda 6,2

terza 6,2

quarta 6,2

quinta 6,2

totale 31

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Esempio 2: si vuole valutare lo spigolo del cubo avente la stessa capacità di un parallelepipedo delle seguenti dimensioni:

grandezza daconservare?

u.s. mod.

spigolo cm

a 12

b 9

c 2

a

b

c m

m

m

m sarà una media delle dimensioni del parallelepipedo

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Lo spigolo del cubo deve essere calcolato in modo da conservare il volume del parallelepipedo

u.s. mod.

spigolo cm

a 12

b 9

c 2

a

b

c m

m

m

spigolo mediom ?

grandezza daconservare12 x 9 x 2

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La media che conserva il PRODOTTO è la MEDIA GEOMETRICA

u.s. mod.

spigolo cm

a 12

b 9

c 2

a

b

c m

m

m

spigolo mediom = 3(12x9x2)=6

12 x 9 x 2 =m x m x m

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Si perdono le informazioni relative ai singoli spigoli; si conserva il volume

u.s. mod.

spigolo cm

a 12

b 9

c 2

volume 216 cm3

a

b

c c

a

b

media geometrica:6

u.s. mod.

spigolo cm

a 6

b 6

c 6

volume 216 cm3

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PRINCIPALI TIPI DI MEDIA

t i p o d i M E D I A g r a n d e z z a d a c o n s e r v a r e f o r m u l a m = . . . . .

A R I T M E T I C A x x x m m mn1 2 . . . . . . . . . .m

x x x

nn

1 2 . . . . .

G E O M E T R I C A x x x m m mn1 2 . . . . . . . . . . m x x x nn 1 2 . . . . .

A R M O N I C A 1 1 1 1 1 1

1 2x x x m m mn

. . . . . . . . . . mn x x x n

1 1 1 1

1 2

1

. . . . .

Q U A D R A T I C A x x x m m mn12

22 2 2 2 2 . . . . . . . . . .

mx x x

nn

12

22 2. . . . .

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Confronto traMODA, MEDIA e MEDIANA

In una ditta dove lavorano 50 persone, gli stipendi mensili sono ripartiti secondo la tabella a fianco

euro/mese frequenza

23.000 1

9.400 1

6.500 2

2.600 3

2.200 19

1.700 22

1.300 2

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Il proprietario, un operaio e il commercialista della ditta fanno le seguenti affermazioni:

La paga media è di 1.700 euro

La paga media è di 2.200 euro

La paga media è di 2.700 euro

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30

Chi di loro sta affermando il falso?

La paga media è di 1.700 euro

La paga media è di 2.200 euro

La paga media è di 2.700 euro

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Nessuno! In realtà tutti hanno una “ragione”

La paga media è di 1.700 euro

La paga media è di 2.200 euro

La paga media è di 2.700 euro

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32

Cosa intende il proprietario dicendo che la paga media è di 2.700 euro?

Se sommo gli stipendi di

tutti e divido per 50

ottengo 2.700

euro/mese frequenza

23.000 1

9.400 1

6.500 2

2.600 3

2.200 19

1.700 22

1.300 2

135.000 50

Media aritmetica =

135.000 : 50 =

2.700

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Cosa intende l’operaio dicendo che la paga media è di 1.700 euro?

euro/mese frequenza

23.000 1

9.400 1

6.500 2

2.600 3

2.200 19

1.700 22

1.300 2

moda = 1.700

La maggior parte dei

dipendenti guadagna 1.700 euro

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Cosa intende il commercialista dicendo che la paga media è di 2.200 euro?

mediana =

Stipendio in 25-26ma posizione=

2.200

Chi guadagna 2.200 euro è a metà classifica

rispetto agli altri stipendi

euro/mese fr. pos.

23.000 1 1°

9.400 1 2°

6.500 2 3°-4°

2.600 3 5°-7°

2.200 19 8°-26°

1.700 22 27°-48°

1.300 2 49°-50°