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Elementi di Statistica descrittiva

Lez. 2 - Misure di tendenza centrale

- le Medie

- la Moda

- la Mediana____________________

Anno scolastico 2012/2013

I.T.I.S. “P.A. Fiocchi” - Lecco

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Valori MEDI (o indici di posizione)

Nello studio dei fenomeni collettivi è importante calcolare dei valori sintetici che siano rappresentativi dell’insieme dei dati, che diano una visione d’insiemevisione d’insieme del fenomeno.

Tali valori si dicono MEDIE

Si possono definire diversi tipi di medie, tra le più comuni si hanno: le medie aritmetiche, la mediana, la moda, (la media geometrica, la media armonica, la media quadratica).

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Esempio Si vogliono confrontare le stature di 3 gruppi:

• Un gruppo di bambini• Un gruppo di giocatori di pallacanestro• Un gruppo di clienti di un supermercato

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Poligono di frequenza - Statura Bambini

5

810

15

30

20

10

20

5

10

15

20

25

30

35

146-

148

148-

150

150-

152

152-

154

154-

156

156-

158

158-

160

160-

162

freq

uenz

ePoligono di frequenza dei giocatori

5

12

2527

11 10

7

3

0

5

10

15

20

25

30

freq

uenz

e

Clienti di un supermercato

2

4

7

10

12

14 1413

10

8

5

10

2

4

6

8

10

12

14

16

158-

160

160-

162

162-

164

164-

166

166-

168

168-

170

170-

172

172-

174

174-

176

176-

178

178-

180

180-

182

freq

uenz

e

Poligoni di frequenza dei tre Poligoni di frequenza dei tre gruppigruppi

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Elementi per cui le tre distribuzioni Elementi per cui le tre distribuzioni differisconodifferiscono

• Valore attorno al quale si distribuiscono i datiValore attorno al quale si distribuiscono i dati

• Diversa distribuzione dei dati attorno al centroDiversa distribuzione dei dati attorno al centro

• Presenza più o meno accentuata di code a destra Presenza più o meno accentuata di code a destra

o sinistrao sinistra

• Distribuzione più o meno appuntita.Distribuzione più o meno appuntita.

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Confronto delle tre distribuzioniConfronto delle tre distribuzioni

Confronto tre distribuzioni

0

5

10

15

20

25

30

35

bambini

clienti supermercato

giocatori basket

7

Fra le misure che permettono di valutare Fra le misure che permettono di valutare sinteticamente tali caratteristiche ci sono:sinteticamente tali caratteristiche ci sono:

• Misure di tendenza centrale: MEDIEMisure di tendenza centrale: MEDIE

• Misure di variabilità o dispersioneMisure di variabilità o dispersione

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Le misure di tendenza centrale possono essere distinte in due gruppi:

Medie aritmeticheMedia geometricaMedia armonicaMedia quadratica

2° gruppoMedie lasche o di posizione

Moda

Mediana

1° gruppoMedie ferme o analitiche

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Quali di queste è la Media “più giusta”?

Non esiste la “media migliore”, ma la media da utilizzare deve essere scelta in relazione al problema che si sta risolvendo.

La media più adatta, “più giusta”, va scelta a seconda dei DATI e degli SCOPI dell’elaborazione statistica.

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La Media aritmeticaLa Media aritmetica

ponderata

La Moda

La Mediana

Noi vedremo le seguenti medie:

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Esempio 1: ValutazioniIn una verifica di matematica nella classe 1^C si sono avute

le seguenti valutazioni: ALBERIO BEATRICE 9,0BANFI SARA 8,0BENOTTI MANUEL 6,0BIANCHI CHIARA 8,0BISI STEFANO 7,0BONAVOLTA ALICE 7,0CARBONIN ANDREA 7,5CASU MATTEO 5,5CATTANEO CARLOMARIA 5,0COLOMBO EMANUELE 6,5CUPANI MARIKA 6,0FERRARO PAOLO 6,0FRASSON MILENA 5,5FUSARO DAVIDE 3,0GIUDICI GUIDO 6,5LAINATI DAVIDE 8,0

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LA MEDIA ARITMETICA semplice

• Permette di ottenere come informazione quale è, in media, la valutazione generale della classe.

• Essa si calcola addizionando tutte le valutazione e dividendo tale somma per il numero degli alunni:

5,616

...5,55,7778689 votiMedia

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In generale,

se x1, x2, … xn sono n dati numerici,

la loro Media aritmetica (media aritmetica semplice) si ottiene sommando tutti i dati numerici e dividendo la somma per il numero dei dati:

i1 2 1

xMedia

n

n ix x ... xM x

n n

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Esempio 2

Una società di ricerca statistica deve determinare la ricchezza degli abitanti di alcuni paesi al fine di decidere dove aprire alcuni punti vendita per una ditta operante nel settore commerciale.

I dati raccolti sono riportati nella seguente tabella

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.

reddito in migliaia di € freq. 1° paese freq. 2° paese

0 11 45 8 1610 13 3415 24 4620 16 2430 32 1240 12 1050 4 4

totali 120 150

Esempio 2 - Tabella dei redditi rilevati

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Diagramma delle frequenze

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40 50 60

reddito

freq

uenz

e

1° paese

2° paese

Esempio 2 - Diagramma delle frequenze dei redditi

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Vogliamo calcolare dei valori numerici che siano indicativi del grado di ricchezza/povertà della popolazione del paese considerato.

Gli indici più utili potrebbero essere:

– il reddito medio

– il reddito più diffuso

– il reddito rispetto al quale la popolazione risulta divisa in due parti uguali.

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Reddito relativo al 1° paese:

2490450131085110 totaleReddito ...

75,20120

2490 redditi dei Media

Questa media aritmetica si dice ponderata, le frequenze rappresentano i diversi “pesi” che hanno i singoli valori nel calcolo della media. Più grande è la frequenza di un valore, maggiore è l’influenza che esso ha sul valore medio.

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In particolare se gli n dati numerici sono tali che:

il dato x1 compare f1 volte, x2 f2 volte,…. xk fk volte,

la Media Aritmetica ponderata) è data da:

n

f

f...ff

fx...fxfx

k

ii

k

kk

1i

21

2211

xM

LA MEDIA ARITMETICA ponderata

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La Moda (o valore modale)

La moda è uguale al dato che, nella distribuzione, compare con frequenza più elevata, cioè è il dato più rilevante, il dato più diffuso.

Nel caso dell’ Esempio 1 - 2° paese

Moda= = 15 milioni

infatti 15 milioni è il reddito più diffuso

Cioè il gruppo di abitanti con un reddito di 15 mil. è il più numeroso.

x)

x̂

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Diagramma a colonne

4

16

34

46

24

12 104

05

101520253035404550

0 5 10 15 20 30 40 50

reddito (milioni)

freq

uenz

e

Moda = 15 mil.

L’ortogramma dei redditi del secondo paese mostra chiaramente

un valore modale

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Osservazioni

La MODA è un valore medio interessante

Se la moda è un reddito basso allora c’è un gruppo consistente di cittadini poveri

Se la moda è un valore alto c’è un gruppo consistente di cittadini ricchi.

Se il reddito è legato al tipo di attività potrebbe indicare che in quel paese una certa attività è la più diffusa, o indicare il ceto sociale prevalente.

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La MedianaLa Mediana è una media di posizione, è uguale al valore che si trova al centro di una distribuzione ordinata in modo crescente (o decrescente)

La Mediana divide i dati in due parti tali che : • il numero di osservazioni della Mediana

è uguale al• numero di osservazioni della Mediana

ˆx x%

x~

34

.

voti conseguiti freq. 1° prova freq. 2° prova

2 1 03 1 54 2 35 4 26 3 57 2 38 2 49 0 4

totali 15 26

Esempio 1 - Tabella dei voti

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Esempio:

2 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 9 9

Mediana

2 3 4 4 5 5 5 5 6 6 6 8 8 9 9 9

Madiana = 5 + 6 = 5,5 2

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Io sono il valore

MEDIANO

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Esercizio 3

Classi di peso Frequenza50-55 755-60 1060-65 865-70 3

La seguente tabella mostra i pesi in kg, degli studenti di una classe di 28 alunni. Dopo aver compilato una tabella e un grafico in excel, determina il valore centrale per ogni classe di peso e calcola la media ponderata.

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Esercizio 4

Raccogli i dati relativi alle altezze in cm dei tuoi compagni di classe. Compila su un foglio di calcolo elettronico una tabella ed un grafico significativo. Calcola la media aritmetica, la moda e la mediana.

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Fine lezione