Post on 06-Jul-2020
Soluzione di Adriana Lanza
Il petrolio
La figura 1 rappresenta un modello grafico della produzione annua nazionale del petrolio, a
confronto con la curva della produzione cumulativa. I parametri in gioco nel modello sono tre:
il tempo necessario per portare la produzione al livello desiderato
la durata del periodo in cui è possibile mantenere il livello raggiunto (plateau)
il tasso di declino della produzione alla fine del plateau
.
Figura 1: In rosso la fase di salita, in viola la fase di plateau e in giallo il declino. La curva nera è la
produzione cumulativa il cui valore si legge nella scala di destra e che è ovviamente la somma delle
produzioni annuali.
I valori scelti per i tre parametri descritti nel testo sono, nel caso di questa figura, 5 anni per la
salita, 10 anni per la durata del plateau seguito da un declino al tasso di 5% annuo.
a. Spiega come si può costruire la curva di produzione cumulativa , calcola il valore
complessivo, fino al 2100, e confrontalo con il valore che si legge in figura
b. Valuta, secondo il modello considerato, fino a che anno la produzione può essere
economicamente sostenibile tenendo conto che le riserve di petrolio, secondo i dati
ufficiali, ammontano attualmente a 177,90 Mt.ufficiali
c. Approssima la curva di produzione annua con il grafico di una funzione P(t) continua
definita “a tratti”, tenendo conto del fatto che nel primo intervallo si può pensare a
una crescita lineare, nel secondo la funzione è costante, nel terzo il tasso di variazione
percentuale è costante.
In un opportuno riferimento cartesiano scrivi l’espressione analitica e traccia il grafico sia
della funzione P(t) , sia della funzione F(t) che rappresenta la produzione cumulativa
d. Stabilisci, motivando la risposta, se P(t) è derivabile nell’intervallo considerato e traccia il
grafico di P’(t) indicandone il significato fisico
Soluzione di Adriana Lanza
Soluzione
a. Modello discreto
La produzione cumulativa è data dalla somma di tutti i rettangoli in cui è suddiviso il grafico di produzione
annua.
Poichè il tempo è misurato in anni e la produzione annua in Mt/anni, il risultato corrisponde alla
produzione cumulativa in Mt
Primo intervallo
Progressione aritmetica di ragione 6/5 e primo termine uguale a 6
Secondo intervallo
Area di un rettangolo di base 19 e altezza 12 = 120
La produzione cumulativa corrispondente alle prime due fasi è quindi pari a 162 Mt, inferiore al valore
delle riserve disponibili, pari a 177,90 Mt.
Terzo intervallo
Progressione geometrica di ragione 0,95 e primo termine uguale a 12
Produzione totale
il grafico della produzione cumulativa elaborato con Excel
Soluzione di Adriana Lanza
b. la fase di declino dovrebbe arrestarsi nel momento in cui il valore della produzione cumulativa è
uguale al valore delle riserve disponibili
Imponiamo che
=0,93375 dove t è una variabile continua
Essendo
sarà n=2, cioè la fase di declino durerebbe circa 2 anni e le riserve si
esaurirebbero tra il 2030 e il 2031.
Modello continuo
Consideriamo un riferimento cartesiano in cui sull’asse delle ascisse l’origine corrisponde all’anno 2015 e
l’unità di misura corrisponde a un anno
Soluzione di Adriana Lanza
Funzione integrale
Soluzione di Adriana Lanza
P(t) è continua ma non derivabile nei punti di raccordo , in cui solo una delle due derivate , destra o
sinistra è nulla,
Significato fisico: velocità di crescita della produzione annnua , positiva nella prima fase, nulla nella
seconda, negativa nella terza.
e. Se la produzione annua dura un tempo infinto, la produzione cumulativa tende a
Mt ( asintoto orizzontale del grafico di F(t)