IL GIOCO IL GIOCO DELLA DELLA LOGICALOGICA

IL GIOCO IL GIOCO DELLA DELLA LOGICALOGICA

OVVERO

Come la logica aristotelica può esser trasformata

in un gioco semplice e affascinante

DiAlessia Longo

Laura PizzicaroliAlice Schirone

Numero di giocatori:

ALMENO UNO!

Proposizioni

• “Alcune torte fresche sono dolci”

• “Nessuna torta fresca è dolce”

• “Tutte le torte fresche sono dolci”

Proposizione Un enunciato che asserisce che

alcuni, o nessuno, o tutti gli oggetti appartenenti ad una certa classe, detta soggetto dell’enunciato, sono anche oggetti appartenenti ad una certa altra classe, detta predicato dell’enunciato.

Consideriamo il diagramma seguente e supponiamo che esso sia una dispensa progettata per tutte le torte del mondo

Supponiamo che le torte fresche siano state collocate nella metà superiore e le rimanenti (cioè quelle non-fresche) nella metà inferiore

Torte fresche

Torte fresche

Torte non-fresche

Torte non-fresche

Supponiamo inoltre che tutte le torte dolci siano state collocate nella metà di sinistra e le rimenenti (cioè quelle non-dolci) nella metà a destra

Torte dolci

Torte non-dolci

Torte dolci

Torte non-dolci

A questo punto possiamo dedurre che, se il settore in alto a sinistra contiene delle torte, esse dovranno avere il duplice attributo di fresche e dolci

Fresche e

dolci

Ora stabiliamo:

1. che il numero 1 in un settore indichi che è occupato, cioè che in esso ci sono alcune torte.

2. che il numero 0 in un settore indichi che tale settore è vuoto, cioè che in esso non vi sono torte.

Fissando l’attenzione sulla metà superiore della dispensa, in cui tutte le torte hanno l’attributo fresco, la prima proposizione proposta ”alcune torte fresche sono dolci” viene allora ad essere così rappresentata:

1

DUE PRECISAZIONI:• La parola alcuni/e in logica significa

uno o più• Chiamiamo l’intera classe degli oggetti

a cui è destinata la dispensa l’universo

Naturalmente qualsiasi altro oggetto andrebbe bene proprio come le torte!

Che significato hanno, allora, i seguenti

diagrammi superiori?

1 1

1. Alcune torte fresche sono dolci2. Alcune torte fresche sono non-

dolci

…E questi?

0 0

1. Nessuna torta fresca è dolce (SECONDA PROPOSIZIONE)

2. Nessuna torta fresca è non-dolce

…E questi altri?

1 1 0 0

1. Alcune torte fresche sono dolci, e alcune sono non-dolci

2. Nessuna torta fresca è dolce, e nessuna è non-dolce, ovvero nessuna torta fresca esiste, ovvero nessuna torta è fresca!

Si tratta di PROPOSIZIONI DOPPIE, come le

seguenti:

1 0 0 1

1. Alcune torte fresche sono dolci, e nessuna torta fresca è non-dolce. Quindi: Tutte le torte fresche sono dolci (TERZA PROPOSIZIONE)

2. Tutte le torte fresche sono non-dolci

Divisioni ESAUSTIVE

Suddivisioni che tra loro esauriscono

l’intera classe

Consideriamo ora il diagramma seguente: possiamo considerarlo come una dispensa divisa nello stesso modo della precedente, ma divisa ulteriormente in due zone relative all’attributo mangiabile

Supponiamo che tutte le torte mangiabili siano poste dentro il quadrato centrale, mentre tutte quelle immangiabili fuori, cioè in uno dei quattro settori esterni di forma irregolare

Vediamo che, come nel diagramma minore le torte in ciascun settore avevano due attributi, così qui le torte contenute in ciascun settore hanno tre attributi

Ora consideriamo solamente la metà superiore della dispensa: il soggetto è torte fresche. La proposizione “Nessuna torta fresca è mangiabile” sarà allora rappresentata in questo modo:

0 0

Esaminiamo ora “Tutte le torte fresche sono

mangiabili”. Questa proposizione consiste, come visto in precedenza, in

due proposizioni: “Alcune torte fresche sono

mangiabili” e

“Nessuna torta fresca è non-mangiabile”

La proposizione negativa: “Nessuna torta fresca è non-

mangiabile” ci dice che nessuna torta appartenente alla metà superiore della dispensa deve trovarsi al di fuori del quadrato

centrale: 0 0

La proposizione: “Alcune torte fresche sono mangiabili” dice che ci sono alcune torte nel

rettangolo centrale ma, poiché non sappiamo se si tratta di

torte dolci o non-dolci, poniamo l’1 sulla linea di divisione: 0

0

1

Ora tentiamo una interpretazione: che cosa diciamo di questa figura?

1 0

1. Che il quadrato di destra è interamente vuoto, perché entrambi i suoi settori sono segnati con 0

2. E che il quadrato di sinistra è occupato

0

Se allora trasferiamo i simboli nel diagramma minore, così da

eliminare la sottodivisione mangiabile, lo segnamo

correttamente nel seguente modo:

1 0

Che significa: “Tutte le torte fresche sono dolci”

Ora tentiamo un’altra interpretazione: che cosa

diciamo di questa situazione?

0 1

1. Che nel quadrato di sinistra uno dei due settori è vuoto, ma tale informazione non serve poiché non c’è nessun simbolo nell’altro settore

2. E che il quadrato di destra è occupato

Se allora trasferiamo i simboli nel diagramma minore, in

questo caso otteniamo semplicemente questo:

1

Che significa: “Alcune torte fresche sono non-

dolci”

SILLOGISMI• Supponiamo di dividere il nostro

universo di oggetti in tre modi rispetto a tre differenti attributi (a, b e c)

• Se abbiamo due proposizioni contenenti le coppie ab e ac, è possibile dedurre da esse una terza proposizione contenente bc

• In tal caso chiamiamo le due proposizioni date premesse, la terza conclusione, e il tutto sillogismo

• Evidentemente uno degli attributi deve trovarsi in entrambe le premesse: termine medio; oppure deve essere in una premessa e il suo contrario nell’altra: termini medi

• L’attributo che compare nel termine o nei termini medi scompare nella conclusione

Cerchiamo ora di trarre una conclusione dalle

due premesse:

•“Alcune torte fresche sono immangiabili”

•“Nessuna torta dolce è immangiabile”

Per rappresentarle sul diagramma maggiore dobbiamo dividere le torte in tre modi, rispetto alla freschezza, alla dolcezza e alla mangiabilità. Cominciamo col rappresentare la premessa negativa: “Nessuna torta dolce è immangiabile”

0

0

Resta ora da esprimere l’altra premessa, vale a dire: “Alcune torte fresche sono immangiabili”. Ciò significa che uno dei due settori superiori di forma irregolare è occupato (necessariamente quello dove non è posto lo 0):

0 1

0

Ora, come riportare queste informazioni nel diagramma minore, così da ottenere una proposizione che contenga soltanto gli attributi dolce e fresco, tralasciando mangiabile?

Il risultato è: “Alcune torte fresche sono non-dolci”

1

Trascriviamo allora l’intero sillogismo

• Alcune torte fresche sono immangiabili• Nessuna torta dolce è immangiabile

QUINDI

• Alcune torte fresche sono non-dolci