Pensare male fa male Breve corso di logica. Notula sul titolo Lintestazione del corso è – come...

Pensare male fa malePensare male fa maleBreve corso di logicaBreve corso di logica

Notula sul titoloNotula sul titoloL’intestazione del corso è – come tutti vedono – un calembour, un gioco di parole,cioè, basato su una figura retorica: la diafora, ossia la ripetizione di due parole con significato diverso.1)significato morale: “a pensar male (c’è un’apocope rispetto al titolo) si fa male (= peccato) ma spesso ci si azzecca”(Giulio III e un suo tardo ammiratore, Giulio Andreotti);2)significato logico: pensare male (ossia illogicamente) fa male: all’emittente, al destinatario o a entrambi.Rudolf Carnap assicura che in logica non c’è morale, secondo un principio di tolleranza che ammette per ognuno una propria logica, purché si rispettino convenzioni logiche. Insomma, siamo liberi di essere di essere anche illogici, se lo facciamo con logica!

I.I.S. Virgilio - Michele Morreale

Limiti di questo corso ILimiti di questo corso IQuesti incontri procederanno su stretti sentieri ben definiti. Poiché,infatti, il termine logica è polisemico, alfine di evitare fraintendimenti qui il significato è univoco. Ci occuperemo della logica proposizionale classica o comunemente logica formale. In questo regno vige il principio di bivalenza, ossia ogni suo abitante - chiamato proposizione - possiede due soli valori: vero o falso. La proposizione è un’asserzione che quindi è o vera o falsa. Vanno pertanto escluse dal novero delle proposizioni frasi del genere che ora è? Oppure chiudi la finestra! O ancora è obbligatorio l’uso della cintura o anche credo che lei mi ami. L’elenco potrebbe continuare; infatti i tipi di logica non standard (o non classica) è piuttosto esteso ed accresciuto negli ultimi anni. Tutte le frasi in corsivo suesposte hanno – notate – la peculiarità di non potersi dichiarare vere o false. Invece, affermazioni come la luna è l’unico satellite della terra, il cantante dei Led Zeppelin è Gigi D’Alessio sono rispettivamente vera e falsa.Solo di queste ci occuperemo.P.S. Dato il carattere introduttivo del presente corso, non distingueremo tecnicamente i sostantivi proposizione ed enunciato


Limiti di questo corso IILimiti di questo corso IILe frasi vere o false sono dette dichiarative o assertive. Vero e falso sono detti valori di verità.(1)Campofranco è la capitale della Tasmania ha falso quale valore di verità.(II)5 è un numero dispari ha vero quale valore di verità.(III)Mi piacerebbe apprendere la logica senza studiare non ha né vero né falso quali suoi valori.È comodo servirsi di simboli per indicare frasi assertive: p,q r….Ad es. (I) la possiamo indicare con p, mentre (II) con q. Sia p sia q sono proposizioni semplici o atomiche, ossia, detto alla buona, si riferiscono ciascuna a un solo stato di cose. Ora, cosa accade se si nega p e, al contempo, si congiunge con q? Intanto, si ottiene una proposizione composta che si riferisce ad almeno due stati di cose.Poi,la negazione di una proposizione falsa dà una proposizione vera; quindi non-p = V. Infine, se congiungo non-p a q, ottengo “non-p e q”. Essendo vera non-p ed essendo vera q, ottengo una proposizione congiunta vera; cioè Campofranco non è la capitale della Tasmania e 5 è un numero dispari.In definitiva, la logica si occupa delle proposizioni e del mettere in relazione proposizioni per vedere che conclusioni si ottengono.


Perché abbiamo bisogno Perché abbiamo bisogno della logicadella logicaSiamo logici?NO! Ecco una prova.Un novizio chiese al priore:“Padre, posso fumare mentre prego?”e fu severamente redarguito.Un secondo novizio chiese allo stessopriore:“Padre, posso pregare mentre fumo?”e fu lodato per la sua devozione.


Siamo logici? IISiamo logici? II

Questo argomento è corretto?Argomento Tutti i siciliani sono mafiosiAlcuni mafiosi portano la coppolaQuindi, alcuni siciliani portano la coppola.

E questo ?Tutti i siciliani sono mafiosiAlcuni mafiosi portano la coppola

Quindi, alcuni siciliani non portano la coppola.


Formalizzare1Formalizzare1Ovvero come trasformare le frasi in simboliOvvero come trasformare le frasi in simboli

Nelle lingue naturali come l’italiano le frasi possono essere poetiche (Donna: mistero senza fine bello) o prosaiche (I rigatoni sono scotti). In logica però conta una sola cosa: la loro verità o falsità.

Le frasi sintatticamente sono semplici o complesse; mentre in logica sono atomiche e non atomiche.

È atomica la frase in cui un oggetto soddisfa un predicato.

Es. 1)La Sicilia è un isola.

È non atomica quella in cui o un oggetto ha uno, due (o più) predicati oppure più oggetti hanno uno o più predicati.

Es. 2)Carlo è alto e grosso

3)Carlo e Giulia si amano

4)Chi dorme non piglia pesci


Formalizzare 2Formalizzare 2Ovvero come trasformare le frasi in simboliOvvero come trasformare le frasi in simboli

Ebbene, è sempre possibile trasformare in simboli le frasi rintracciando la loro forma logica.

La 1 così diventa: p. La 2 invece p ∧ q. La 3 Axy. La 4 p →q.

Impareremo a usare questi e altri pochi simboli.

Ma per quale ragione è utile -anzi indispensabile- trasformare in simboli le frasi? Perché ciò che dà verità alle frasi non è il loro contenuto, ma la forma nella esse si presentano.

Es. Se dovessimo decidere della verità della frase 2, indipendentemente dal contenuto, possiamo con certezza affermare che la frase è vera solo se sono vere p e q. Nella fattispecie, la 2 è vera se Carlo è alto e grosso. Invece, se fosse alto ma non grosso oppure grosso ma non alto o ancora né alto né grosso, la frase sarebbe falsa.


La logica: un tronco, due La logica: un tronco, due ramiramiTutti i manuali di logica prevedono la trattazione di almeno due parti essenziali, le stesse delle quali sommariamente ci dovremo occupare: la logica proposizionale e la logica predicativa.

La prima è stata già accennata. Si occupa della forma delle proposizioni per deciderne la verità o la falsità.

La seconda si occupa della relazione tra le proposizioni, ossia i ragionamenti, tra i quali - nei test di ingresso, ma solo in essi - domina il sillogismo.

Le due sezioni sono strettamente congiunte, e solamente per ragioni didattico-espositive sono normalmente trattate disgiuntamente.

Per gli stessi motivi anche qui si procederà al medesimo modo.


I protagonisti della logica I protagonisti della logica proposizionaleproposizionale

¬ negazione “non”∧ congiunzione “e”∨ disgiunzione “o” vel = o inclusiva⊕ disgiunzione “o” aut = o esclusiva→ implicazione “ se… allora”↔ doppia implicazione “se e solo se”← controimplicazione


Esempi di formalizzazione Esempi di formalizzazione 11È fondamentale individuare correttamente la forma logica degli enunciati. Per farlo, occorre un po’ di teoria e molta pratica.

1.Non si può avere la botte piena e la moglie ubriaca.

Innanzi tutto, la 1 è una congiunzione di due proposizioni; inoltre presenta un’incompatibilità (o avere la botte piena o la moglie ubriaca). Pertanto, la 1 risulterà falsa quando si avrà la moglie ubriaca e la botte piena (o viceversa); vera negli altri casi.

Se p = botte piena e q = moglie ubriaca

¬ (p ∧ q) che equivale a (¬p ∨ ¬q) ovvero o non si ha la botte piena o non si ha la moglie ubriaca

Ecco la prova con le tabelle di verità


p q ¬ (p ∧ q)V V F VV F V FF V V FF F V F

p q ¬ p ∨ ¬ q)V V F V F VF V VF F V

Esempi di formalizzazione Esempi di formalizzazione 22Un esempio un po’ più complesso.

2.Sarai bocciato, a meno che non studi con impegno

La 2 risulta una implicazione. Esattamente l’antecedente (ovvero la condizione) è a meno che non studi con impegno = p; il conseguente sarai bocciato = q.

Poiché p risulta una negazione, si avrà allora

¬ p → q


p q ¬ p → qV V VV F VF V VF F F

La 2 risulta falsa nel caso in cui siano falsi p e q, ossia quando si studia con impegno o si è bocciati. Infatti, ¬ p → q equivale a p v q.

Esempi di formalizzazione Esempi di formalizzazione 33Adesso un esempio ancora più complesso.

3.Andrò in vacanza in aereo o in auto. Se andrò in vacanza in aereo, giungerò prima a destinazione e non porterò molti bagagli. Se andrò in auto porterò molti bagagli. Se avrò una vacanza confortevole, allora avrò portato molti bagagli. Quindi se avrò una vacanza confortevole, sarò andato in auto.

La 3 risulta una formula piuttosto complessa. Formalizzata con p = vacanza in aereo; q = vacanza in auto; r = giungere prima; s = portare molti bagagli; t = avere una vacanza confortevole, sara la seguente stringa

(p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∧ ((p → (r ∧ ¬ s)) ∧ (q → s) → (t → q)


Andrò in vacanza in aereo o in auto è chiaramente una “o” esclusiva, riproducibile come un’alternativa che afferma p negando q o negando p e affermando q.

La congiunzione lega il primo enunciato disgiuntivo al condizionale successivo

Se andrò in vacanza in aereo etc.

Anche qui la congiunzione lega l’enunciato precedente al successivo

Se andrò in auto porterò molti bagagli

Quindi. È il connettivo principale della formula, che divide le condizioni dalle conseguenze

Quindi se avrò una vacanza confortevole, sarò andato in auto.

Analisi di una formulaAnalisi di una formulaLa 3 è chiaramente un esempio di ragionamento intuitivamente corretto.

Potremmo servircene per verificare in maniera formale la sua validità.

(p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∧ ((p → (r ∧ ¬ s)) ∧ (q → s) → (t → q)


P QL’enunciato ha la forma complessiva di un condizionale P → Q. Per tentare di verificarne la correttezza dobbiamo cercare di assegnare a Q (= t → q) il valore F, cioè falso, e a P il valore V, cioè vero. Sappiamo infatti che un condizionale è falso quando l’antecedente è vero e il conseguente falso. Adesso, se Q non è una conseguenza di P, sarà possibile assegnare valori di verità che rendano P vera.Primo passo, assegnare F a t → q, quindi t = V e q = F. secondo, procedere verso sinistra. Ci accorgiamo che P è una congiunta di una disgiunta e due condizionali. Per rendere vera una congiunzione è necessario che le sue congiunte risultino vere. Poiché per ottenere il valore falso a Q si è assegnato a q = V, dobbiamo assegnare a s = V, in modo da rendere q → s vera. Se s è vera, allora r ∧ ¬ s sarà necessariamente falsa, quindi dovremmo assegnare a p il valore F. Essendo p = F la disgiunta risulta falsa, rendendo falso il valore di P. Quindi, Poiché P è falso e Q è falso, la loro implicazione è vera; pertanto la 3 risulta vera.

Tabelle di verità 1Tabelle di verità 1


p q p ⋀ qV V VV F FF V FF F F

Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo è evidente: la congiunzione risulta vera solo se le proposizioni sono vere; falsa negli altri casi. Il simbolo va letto come “e”; quindi, nella fattispecie, “p e q”. Es: “Napoleone è nato in Corsica ed è diventato imperatore”

p q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde alla disgiunzione “o” inclusiva (vel in latino), quindi “o questo o quello o entrambi”. Il simbolo va letto come “o” Es: “ Al concorso si può accedere col diploma o con la laurea”.

p q p → qV V VV F FF V VF F V

Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde alla subordinante “se … allora”. Il se precede l’antecedente, l’allora il conseguente. Esso va letto come “se … allora” o anche “… implica ….” Es: “Se piove, allora rimango a casa”

Tabelle di verità 2Tabelle di verità 2

Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde alla locuzione “se e solo se”, ovvero a una equivalenza dei valori di verità tra due (o più) proposizioni. Es: “Odi un tuono se e solo se c’è un fulmine”.Esso va letto come “se e solo se” oppure come “…equivale a…”

Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde all’avverbio non, e rappresenta perciò la negazione di una o più proposizioni. Es: “ Non ho posteggiato fuori dagli spazi consentiti”. Esso va letto come “non” oppure come “non è vero che…”

Descrizione – Il funzionamento di questo connettivo corrisponde a “allora … se”. In pratica corrisponde a un q implica p. Alla diapositiva 19 vengono forniti altri dettagli sul funzionamento e il significato di questo connettivo

p q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

p

¬ p

V

F

F

V

p q p ← qV V VV F FF V FF F V

I protagonisti della logica I protagonisti della logica predicativapredicativa

TuttiAlcuniNessuno


Le leggi di De MorganLe leggi di De Morgan1. ¬ (p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q)2. ¬ (p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q)Es. di 1: p = avere moglie ubriaca; q = avere la botte

pienaNon è vero che si può avere la moglie ubriaca e la

botte pienaequivale a

O non si ha la moglie ubriaca o non si ha la botte pienaEs di 2: p = si spende poco; q = ci si veste bene

Non è vero che o si spende poco o ci si veste beneequivale a

È vero che non si spende poco e non ci si veste bene


C’è chi pone e c’è chi C’è chi pone e c’è chi toglietoglie

1. (p → q) ∧ p → q Modus ponens2. (p → q) ∧ ¬ q → ¬ p Modus tollensEs. di 1: p = Carlo parte; q = andrà a Parigi

così si legge

Se Carlo parte andrà a Parigi; Carlo parte perciò andrà a Parigi

Es di 2: p = si spende molto; q = ci si veste benecosì si legge

Se si spende molto, allora ci si veste bene; ma non ci si veste bene, allora non si spende molto


Bisogna essere Bisogna essere equivalentiequivalenti

1. (p → q) = ¬ p v q2. (p → q) = ¬ (p ∧ ¬ q)3. (p → q) = (¬ q → ¬ p)


A quali A quali condizioni?condizioni?


Tutti sappiamo che non bastano le nubi perché piova. Però senza nubi non può piovere.Quindi la presenza delle nuvole è necessaria o sufficiente? Oppure necessaria e sufficiente?Naturalmente, la risposta corretta è

Condizione sufficienteCondizione sufficiente

I.I.S. Virgilio - Michele Morreale 22

Dati P e Q, P è condizione sufficiente di Q se ogni volta che troviamo P troviamo anche Q.

Questo non esclude che si possa avere qualche Q senza P.Ciò equivale a dire P→Q, data la tavola di verità della implicazione.

Quindi, se P implica Q, possiamo anche dire che P ne è condizione sufficiente.

A quali A quali condizioni? condizioni?


Dati P e Q, P è condizione necessaria di Q se ogni volta che troviamo Q troviamo anche P.Questo non esclude che si possa avere qualche P senza Q.Ciò equivale a dire Q→P; possiamo anche introdurre un apposito connettivo, inverso della implicazione semplice, la controimplicazione: P ← QC’è tra condizione necessaria e condizione sufficiente un

rapporto inverso: •Se P è condizione sufficiente di Q, Q è condizione necessaria di P•Se P è condizione necessaria di Q, Q è condizione sufficiente di P

Necessaria e sufficienteNecessaria e sufficiente


Dati P e Q, P è condizione necessaria e sufficiente di Q (e viceversa) se ogni volta che troviamo P troviamo Q, e ogni volta che troviamo Q troviamo anche P. Non è data la situazione in cui si abbia l’uno senza avere l’altro.Ciò equivale a dire P↔Q, data la tavola di verità dell’equivalenza

Proposizioni categoriche 1Proposizioni categoriche 1


Proposizione categorica è quella che afferma l’appartenenza o la non appartenenza di qualcosa o qualcuno a una classe o categoria. Una proposizione categorica è o vera o falsa.Es. – Nessun mammifero è un oviparo Qualche studente ammira Pamela Anderson/(Brad Pitt) Qualche studente non ama la filosofia Tutti i professori sono intelligentissimi Qualche professore è puntuale

Aristotele ha classificato tutte le proposizioni categoriche in quattro tipi, che i logici medievali hanno denominato come segue



A – Universale positiva: Tutti gli S sono PE – Universale negativa: Nessun S è PI – Particolare affermativa Qualche S è PO – Particolare negativa Qualche S non è P

Esercizi



A partire dal ‘700 con metodi perfezionati poi nell’800, le proposizioni categoriche sono state espresse con diagrammi insiemistici.Apprendere questa tecnica permette di provare visivamente la correttezza o la non correttezza dei ragionamenti sillogistici. Pertanto, vediamo come visualizzare le proposizioni A, E, I, O.

P S

A - Tutti gli S sono P

S P

E -Nessun S è P

S P

I – Qualche S è P

X S PX

O – Qualche S non è P



A - Tutti gli S sono P

E -Nessun S è P

I – Qualche S è P

O – Qualche S non è P

Il quadrato delle opposizioni è una introduzione dei logici medievali.

contrarie

subcontrarie

contraddittorie

sub

alte

rnazio

ne

sup

era

ltern

azi

on

e

sub

alte

rnazio

ne

sup

era

ltern

azi

on

e

Proposizioni categoriche 5- Proposizioni categoriche 5- Inferenze immediateInferenze immediate


Le inferenze immediate del quadrato delle opposizioni sono così elencabili.A ed E sono contrarie poiché non possano essere entrambe vere, sebbene possono essere entrambe false. Le contrarie corrispondono a ¬ (p ∧ q)

Es. Tutti gli uomini sono generosi e Nessun uomo è generoso risultano false quando c’è

Qualche uomo generoso assieme a Qualche uomo non generosoI ed O sono subcontrarie poiché non possono essere entrambe false, sebbene possano essere entrambe vere. Le subcontrarie corrispondono a (p ∨ q)

Es. Alcuni metalli sono preziosi e Alcuni metalli non sono preziosiQuesto è il quadro completo

A vera: E falsa, I vera, O falsa A falsa: O vera, E e I indeterminateE vera: A falsa, I falsa, O vera E falsa: I vera, A e O indeterminateI vera: E falsa, A e O indeterminate I falsa: A falsa, E vera, O veraO vera: A falsa, E e I indeterminate O falsa: A vera, E falsa, I vera

Se questi specchietti sono difficili da ricordare, ricordate queste due regole fondamentali:1.Se una contraria è vera,l’altra è falsa; se è falsa, l’altra è indeterminata2.Se una subcontraria è vera, l’altra è indeterminata; se falsa,l’altra è vera

Altre inferenze immediate Altre inferenze immediate 11


Un’ inferenza è immediata quando da una premessa si può giungere a una conclusione.

Es. da Tutti i farmacisti sono contro le liberalizzazioni

aChiunque è a favore delle liberalizzazioni non è un farmacista

Altre inferenze immediate Altre inferenze immediate 22


Oltre a quelli compresi nel quadrato delle opposizioni, ci sono altre inferenze immediate,e, segnatamente quelle ottenute per

•Conversione•Obversione•Contrapposizione

Conversione Conversione


Una conversione consiste nel reciproco scambio delle posizioni dei termini del soggetto e del predicato.

Es. Alcuni professori sono cretinidiventa per conversione

Alcuni cretini sono professoriManca la conversione di O.

Es. Qualche pianta non è un albero la conversa sarebbe

Qualche albero non è una piantaConversioneConvertendo ConversaA – Ogni S è P I – Qualche P è SE – Nessun S è P E – Nessun P è SI – Qualche S è P I – Qualche P è SO – Qualche S non è P---------------------

Obversione Obversione


Per spiegare questa inferenza è necessaria qualche delucidazione.Ogni classe si definisce per una proprietà o predicato. Es. la classe di tutti gli studenti è definibile come l’insieme di quelle cose che studiano a scuola. La classe complemento degli studenti è quella definibile per la proprietà di non essere studente.Risulterà chiaro quindi il seguente schema:

ObversioneObvertenda ObversaA – Ogni S è P E – Nessun S è non PE – Nessun S è P A – Ogni S è non PI – Qualche S è P O – Qualche S non è non PO – Qualche S non è P I – Qualche S è non P

Contrapposizione Contrapposizione


Premesse ContrapposteA – Ogni S è P A – Ogni non P è non SE – Nessun S è P O – Qualche non P non è non SI – Qualche S è P---------------------------------------O – Qualche S non è P O – Qualche non P non è non S

Questa inferenza è la risultante combinate delle due precedenti. Per ottenere una contrapposta si sostituisce S col complemento di P e al contempo si sostituisce P col complemento di S. La contrapposta è dunque l’obversa della conversa dell’obversa. Avremo così

A - Ogni metallo è un buon conduttoreA - Ogni non buon conduttore è un non metallo

Manca la contrapposta di I. Infatti, posso ottenere la obversa di I che è O, ma questa non ammette la conversa.

Il sillogismo 1Il sillogismo 1


È una forma di ragionamento costituita da tre enunciati: due premesse e una conclusione.

Ciascun enunciato contiene un soggetto (S) e un predicato (P) uniti da una copula.

Es. Tutti i gli studenti del Virgilio sono intelligenti Sigismondo è uno studente del Virgilio Sigismondo è intelligenteIn rosso il soggetto, verde il predicato. Come si nota la caratteristica di soggetto o predicato dipende dalla posizione. Il soggetto precede la copula, il predicato la segue.



Se formalizziamo – ovvero traduciamo in simboli – il ragionamento precedente diventa così:

Tutti gli S sono PX è un S X è un P Termine

maggiore

Termine minore

L’elemento presente in entrambe le premesse ma non nella conclusione si chiama termine medio. Esso ha un ruolo fondamentale che dobbiamo ben capire.



Esercitiamoci col seguente sillogismo

Tutti gli italiani sono europeiTutti i siciliani sono italianiTutti i siciliani sono europei

Termine maggiore = Termine minore = Termine medio =

europeisicilian

iitaliani

Chiameremo proposizione categorica ogni enunciato che costituisce il sillogismo. L’aggettivo categorico si spiega poiché ogni enunciato è un’asserzione intorno a una classe (o insieme).



Chiameremo premessa maggiore quella contenente il termine maggiore;premessa minore quindi quella contenente il termine minore.

Il termine medio è comune alle due premesse. Se esso manca o non è correttamente collocato, il sillogismo è invalido.A seconda della posizione del termine medio, i sillogismi sono classificati in quattro figure sillogistiche.

Domanda: a quale figura appartiene il sillogismo precedente?



Questi diagrammi sono noti col nome di Eulero-Venn.Permettono una visione molto intuitiva delle condizioni di verità delle proposizioni A, E, I, O mediante la rappresentazioni di insiemi.Verifichiamo facilmente che:

A è vera in I e III; falsa

nelle altre

E è vera in V; falsa nelle

altre

I è vera in I, II,III, IV; falsa

in V

O è vera in II, IV, V; falsa

in I e III

Il sillogismo 8 Il sillogismo 8 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma AAA-4Tutti i siciliani sono italianiTutti gli italiani sono europeiTutti i siciliani sono europei


S I E

La correttezza del ragionamento è evidente.Invertendo le premesse , naturalmente il sillogismo rimane valido. Perciò qualunque argomentazione di questa forma è sempre valida, anche quando le classi sono vuote. [Cfr. sillogismo 14]Es. Tutti i blefardi sono lumardi Tutti i lumardi sono semardi Tutti i blefardi sono semardi

Il sillogismo 9 Il sillogismo 9 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma EAE-1Nessun uomo è alto cinque metriTutti gli italiani sono uominiNessun italiano è alto cinque metri


U A I

Anche in questo caso la validità del ragionamento è chiara. Pertanto, ogni ragionamento di questa forma è sempre vero.

Il sillogismo 10 Il sillogismo 10 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma AOO-1Tutte le rose hanno le spineLa margherita non è una rosaLa margherita non ha le spine


S

M

R

Nonostante le tre proposizioni siano vere, la costruzione dei diagrammi ci mostra che non c’è intersezione tra la classe M e quella R. perciò la conclusione non può essere inferita dalle premesse. Quindi i sillogismi di forma AOO-1 non sono validi.La non validità dell’argomento ricalca la fallacia della negazione dell’antecedente((p →q) ∧ ¬p) → ¬q.Il canonico sillogismo su Socrate mortale è invece una corretta affermazione dell’antecedente.

Il sillogismo 11 Il sillogismo 11 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma AII-1Tutti i metalli sono buoni conduttoriQualche opera d’arte è di metalloQualche opera d’arte è un buon conduttore


C

MO x

Il sillogismo è corretto. Infatti, l’intersezione tra la classe O e la M permette di concludere O in C.

Il sillogismo 12 Il sillogismo 12 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma EIO-1Nessun tifoso è arbitro di qualche squadraQualche giornalista è tifosoQualche giornalista non è arbitro di qualche squadra


T A

G

Il sillogismo è corretto. Infatti, l’intersezione tra la classe T e la G non è vuota, ma quella tra la G e la A è vuota.Pertanto, la conclusione -non è arbitro- non va segnata con la x.

x

Il sillogismo 13 Il sillogismo 13 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma AII-2Tutti gli studenti del Virgilio sono intelligentiQualche extraterrestre è intelligenteQualche extraterrestre è studente del Virgilio


IS

E

Il sillogismo non è corretto. Infatti, l’intersezione tra la classe E e la I non è vuota, ma da ciò non segue che la classe E intersechi la S.Anche in questo caso, tutti i sillogismi di forma AII-2 sono scorretti.

x

Il sillogismo 14 Il sillogismo 14 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma AAI-3Tutti gli studenti del Virgilio sono intelligentiTutti gli studenti del Virgilio sono sexyQualche intelligente è sexy


I SV S

Malgrado le apparenze, il sillogismo non è corretto, benché tradizionalmente venisse annoverato fra quelli che lo erano. Proviamo infatti a costruire un ragionamento analogo ma falso.Tutti i siciliani millenari sono altiTutti i siciliani millenari sono bassiQualche alto è basso.Il sillogismo diventa corretto se si assume la premessa aggiuntiva “ Esiste qualche M” [M = termine medio]. A questo sillogismo è stata attribuito il nome mnemonico darapti

x I S

VS

Il sillogismo 15 Il sillogismo 15 Verifica di correttezzaVerifica di correttezzaConsideriamo il seguente sillogismo di forma III-1Qualche bandito è di cuore nobileQualche politico è banditoQualche politico è di cuore nobile


Il sillogismo non è corretto. I diagrammi infatti intersecano B e C, B e P, ma non P e C.Pertanto tutti i sillogismi di questa forma non sono validi.

B

x C

P

x

Limiti dei diagrammiLimiti dei diagrammiPurtroppo ragioni di complessità e di tempo ci hanno costretto ad adoperare un sistema semplificato dei diagrammi Eulero-Venn. Anche quello completo ha tuttavia dei limiti intrinseci che vanno comunque corretti con alcune regole supplementari. L’alternativa ideale sarebbe stata la trattazione del calcolo dei predicati, che, però, presenta un livello di complessità non trattabile in questa sede.

Ci dobbiamo accontentare perciò di completare l’uso dei diagrammi con otto regole integrative, seguendo le quali si giunge alla formulazione di un sillogismo valido


Le otto regole1Le otto regole11. Un sillogismo deve contenere esattamente tre termini

2. Il soggetto e/o il predicato nella conclusione non possono avere una estensione maggiore di quella che hanno nella premessa

3. Il termine medio non deve mai apparire nella conclusione

4. In almeno una delle premesse il termine medio deve essere universale

5. Due premesse negative non consentono alcuna conclusione

6. Due premesse affermative non conducono a una conclusione negativa

7. La conclusione deve contenere quantità e/o qualità in misura minore delle premesse

8. Due premesse particolari non conducono ad alcuna conclusione


Le otto regole Le otto regole 2. 2. Regola 2 Regola 2Le regole contrassegnate coi numeri 1,3,5,6,8 non necessitano di particolari chiarimenti.

Analizziamo pertanto le tre rimanenti, che, al contrario, richiedono qualche delucidazione.

Regola 2: Il soggetto e/o il predicato nella conclusione non possono avere una estensione maggiore di quella che hanno nella premessa.

Per intendere la 2 si tenga conto di quanto segue:

In una qualsiasi proposizione, il predicato è sempre più esteso del soggetto. Inoltre, il predicato in proposizioni A è di estensione minore rispetto a predicati in proposizioni di tipo E.

Premessa maggiore M – P Tutti gli uomini sono animali

Premessa minore S – M Tutti i mussomelesi sono uomini

Conclusione S –P Tutti i mussomelesi sono animali

Come si nota in questa figura, P è il termine esterno (o estremo) che, in quanto compare due volte nella stessa posizione, sarà necessariamente più esteso di S.

Basterebbe d’altronde riprodurre coi diagrammi per rendersene visivamente conto

Premessa maggiore M – P

U A M AConclusione S - P

Come si vede qui per il predicato e per il soggetto, l’estensione non è maggiore di quanto hanno in premessa. Questo sillogismo è perciò corretto

Le otto regole Le otto regole 3. 3. Regola 2 bis Regola 2 bis

Proviamo a vedere cosa accade invece con sillogismo che non rispetta questa regola. Premessa maggiore Tutti i cani sono mammiferi

Premessa minore Nessun gatto è un cane

Conclusione Nessun gatto è un mammifero

Formalmente si tratta di un sillogismo identico al precedente. Tuttavia, in questo l’estensione di P in conclusione è maggiore di P in premessa. Il sillogismo pertanto non è valido.

C M G MConclusione S - P

Nel diagramma di sinistra la classe M è parzialmente occupata da quella dei cani, ed è perciò meno estesa rispetto alla classe M del diagramma di destra. Ciò giustifica quanto detto nella slide precedente, ovvero che nelle proposizioni di tipo A l’estensione del predicato è minore rispetto al predicato in proposizioni di tipo E.

Premessa maggiore S- P

Le otto regole Le otto regole 4. 4. Regola 2 tris Regola 2 tris

Proviamo ancora a vedere cosa accade un altro sillogismo che non rispetta questa regola. Premessa maggiore Tutti i filosofi sono saggi

Premessa minore Tutti i filosofi sono uomini

Conclusione Tutti gli uomini sono saggi

L’estensione di P nella conclusione non è maggiore di quella della premessa, ma il predicato della seconda premessa ha estensione maggiore del soggetto della conclusione

F U U MConclusione S - P

Nel diagramma di sinistra la classe U è visivamente più estesa rispetto alla classe U del diagramma di destra. Ciò giustifica quanto detto nella slide 45, ovvero che nelle proposizioni l’estensione del soggetto è sempre minore dell’estensione del predicato.

Premessa minore S- P

Le otto regole Le otto regole 5. 5. Regola 4 Regola 4

Ricordiamo la regola in fattispecie.

Regola 4: In almeno una delle premesse il termine medio deve essere universale.

Questa regola impone che il termine medio abbia nelle due premesse una estensione diversa, altrimenti il passaggio nella conclusione è non corretto.

Vediamolo con un esempio.Premessa maggiore Tutti i francesi sono europei

Premessa minore Tutti gli italiani sono europei

Conclusione Tutti gli italiani sono francesi

Poiché il termine medio ha in entrambe le premesse la posizione di predicato che, in proposizioni di tipo A – come detto – ha un’estensione particolare, il sillogismo non rispetta la regola 4; quindi è invalido.

FE

Nel diagramma appare visivamente evidente che l’estensione del termine medio ha uguale estensione, nella fattispecie particolare. Quindi il sillogismo è non corretto.Lo studente provi a riprodurre dei diagrammi di sillogismi corretti; si renderà conto osservando il termine medio che in almeno una premessa esso è universale.

I

Le otto regole Le otto regole 6. 6. Regola 7 Regola 7

Ricordiamo la regola in che ci interessa analizzare

Regola 7: La conclusione deve contenere quantità e/o qualità in misura minore delle premesse.

Per comprendere questa regola, ricordiamo che per qualità si intende la proposizione affermativa (A -I) o negativa (E – O); mentre per quantità l’essere universale (A-E) o particolare (I-O). La regola perciò impone che per due premesse diverse in qualità e/o quantità, la conclusione dovrà avere una misura qualitativa e quantitativa minore rispetto alle premesse.

Con degli esempi vedremo che si possono verificare tre casi.

1)Due premesse affermative, una universale e una particolare conclusione affermativa particolare.

2)Due premesse universali, una affermativa e una negativa conclusione negativa universale o particolare.

3)Due premesse , una affermativa e una negativa, di cui una universale e una particolare conclusione negativa particolare.

Tutti gli altri casi rientrano nelle rimanenti regole.

Nelle slide successive seguiranno degli esempi

Le otto regole Le otto regole 6. 6. Regola 7 bis Regola 7 bis

Caso 1- Due premesse affermative, una universale, l’altra particolare.Premessa maggiore Tutti gli uomini sono esseri parlanti APremessa minore Qualche essere vivente è un uomo IConclusione Qualche essere vivente è un essere parlante I

Caso 2 - Premesse universali, una affermativa, una negativa.Premessa maggiore Tutti i gatti sono animali Nessun cerchio è un quadratoPremessa minore Nessun fiore è un animale Tutti i cerchi sono figure pianeConclusione Nessun fiore è un gatto Qualche figura piana non un quadrato

Caso 3 – Premesse una affermativa, una negativa di cui una universale l’altra particolare

Premessa maggiore Tutti gli uomini sono razionali Nessun uomo è una pietraPremessa minore Qualche vivente non è razionale Qualche vivente è un uomoConclusione Qualche vivente non è uomo Qualche vivente non è una pietra

Logica e quiz vari 1Logica e quiz vari 1Ecco come applicare la logica per la soluzione di diversi indovinelli.

1.Due persone di sesso diverso: una bionda e una mora. La mora: Io sono un uomo; la bionda dice: Io sono una donna. Se almeno una delle due mente, quale delle seguenti affermazioni è vera?A)La donna è bionda, l’uomo moroB)La donna è mora, l’uomo biondoC)Solo l’uomo menteD)Solo la donna menteE)La bionda è donna


Logica e quiz vari 1- Logica e quiz vari 1- soluzionesoluzioneServendoci della logica proposizionale simbolizziamo così:

p = io sono uomo – q = io sono donna.

Poi ipotizziamo che p lo dica la bionda e q la mora. Inoltre, ricordiamo il dato: almeno una delle due affermazioni era falsa.

Costruiamo una tabella di verità p ∧ q


p(bionda)

q(mora)

p ∧ q

V V Impossibile, direbbero entrambe il vero

V F Impossibile, risulterebbero entrambe bionde

F V Impossibile, risulterebbero entrambe more

F F Persona mora: donna – Persona bionda: uomo

Il sillogismo 16 Il sillogismo 16 Verifica di correttezzaVerifica di correttezza


1)Alcuni uomini sono santiTutti i criminali sono uominiTutti i criminali sono santiNessun santo è criminale

2)Ogni pipistrello è un volatileOgni pipistrello è un mammiferoQualche mammifero è un volatileQualche volatile non è un mammifero

3) Tutti i cani sono mammiferi Nessun gatto è un cane Nessun gatto è un mammifero

3)Tutte le sirene hanno la coda di pesceTutte le sirene hanno una voce melodiosaQualche voce melodiosa ha la coda di pesceQualche voce melodiosa non ha la coda di pesce4)Nessun matematico ha mai quadrato il cerchioNessun matematico ha mai guidato un dirigibile

Tutti coloro che hanno quadrato un cerchio non sono matematiciTutti coloro che non guidano i dirigibili sono matematici

Fallacie 1Fallacie 1


Una fallacia è un errore di deduzione, che, spesso, si presenta in apparenza come una forma corretta di ragionamento.

Es. 1) Tutti i mammiferi sono mortali Tutti i cani sono mortali Tutti i cani sono mammiferi

oppure

2)Se Carlo è colpevole, allora va condannato; ma Carlo non è colpevole, pertanto non va condannato.

Il compito che abbiamo davanti è perciò quello di capire come si distingue la forma di ragionamento corretto (o valido) da quella scorretta ( o non valida).

Fallacie 2Fallacie 2


Come si è notato la correttezza di un ragionamento non ha a che vedere con la verità né con la persuasione.Pertanto, possono esistere ragionamenti logicamente invalidi e tuttavia persuasivi o veri.

Nella slide n° 19 l’esempio 2 si presenta persuasivo, e tuttavia invalido.

Ma come è possibile capire quando un argomento è non valido?

Bibliografia essenzialeBibliografia essenziale


•E.J. Lemmon - Elementi di logica Ed. Laterza, Bari (1985)

•Copi I. M., Cohen C.-Introduzione alla logica, Ed. Il Mulino,

Bologna (1999)

•D. Zambella - Elementi di logica

www.dm.unito.it/personalpages/zambella/papers/elementi/e.pdf

Pensare male fa male Breve corso di logica. Notula sul titolo Lintestazione del corso è – come...

Documents

Transcript of Pensare male fa male Breve corso di logica. Notula sul titolo Lintestazione del corso è – come...