Transcript of Il bacino imbrifero modelli empirici Andrea Castelletti Politecnico di Milano MCSA 07/08 L10 Lena -...
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- Il bacino imbrifero modelli empirici Andrea Castelletti
Politecnico di Milano MCSA 07/08 L10 Lena - Delta
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- 2 Il bacino imbrifero sezione di chiusura
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- 3 Modelli classici Il metodo razionale (Mulvany, 1850)
Lidrogramma unitario di Sherman (1932) Il modello di Nash
(1957)
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- 4 Modello di Nash, 1957 PtPt dtdt Interpreta il bacino come una
sequenza di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato
h1Pth1Pt k1xt1k1xt1 x1x1 h2Pth2Pt k2xt2k2xt2 x2x2 h3Pth3Pt
k3xt3k3xt3 x3x3 x4x4 h4Pth4Pt k4xt4 =k4xt4 = dtdt Trasformazione di
uscita
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- 5 Modello di Nash, 1957 Interpreta il bacino come una sequenza
di serbatoi in cascata. Equazione di transizione di stato
Trasformazione di uscita Sistema lineare
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- 6 ma allora... Perch non identificare direttamente le funzioni
del modello senza preoccuparsi di ricostruire le relazioni causali
che caratterizzano il processo fisico? Pi precisamente, si potrebbe
identificare la relazione che lega gli ingressi alluscita senza
preoccuparsi di cosa avviene allinterno del sistema! Si potrebbe ad
esempio descrivere la dinamica delluscita con una relazione della
forma detta forma ingresso-uscita o rappresentazione esterna
modelli empirici
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- 7 Modelli ARX (anni 70) d t+1 = d t ipotesi di persistenza d
t+1 = 2d t - d t-1 AR(2) d t+1 = a 1 d t +.+a n d t-n+1 AR(n) ARX d
t+1 = P t-n+1 n = tempo di corrivazione d t+1 = b 1 P t + +b n P
t-n+1 3) modello completo: 1) previsione deflusso con dati di
precipitazione : 2) previsione deflusso con dati di deflusso : t d
t-2 t-1 t t+1 misurato calcolato
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- 8 Considerazioni I due modelli fin qui visti sono
matematicamente identici. Corrispondono tutti a una stessa
equazione: un sistema lineare. ARX la relazione ingresso-uscita di
un modello discreto lineare ARX Nash
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- 9 Considerazioni I due approcci differiscono solo per il metodo
di taratura dei parametri Nash : classicamente stima i parametri
per tentativi ed errori. ARX : adotta algoritmi di stima
parametrica ai minimi quadrati.
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- 10 Modelli concettuali Realt Modelli empirici Modelli
concettuali e empirici come trovarlo? spazio dei modelli
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- 11 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri
componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici IN
DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico gronde 1350
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- 12 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri
componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici
Empirici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico
gronde 1350
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- 13 Modelli empirici Si limitano a riprodurre il legame
intercorrente tra ingressi e uscite del sistema. Serie storica
delle piogge Modello empirico Serie storica delle portate non
permettono di descrivere cambiamenti nella struttura del sistema
idrico. Svantaggi:
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- 14 Modelli empirici Siamo certi che esista sempre una
rappresentazione esterna? La Teoria da risposte, ma... inutili. In
pratica si procede cos: si assume empiricamente che esista; si
fissa a priori lordine (p,r,r,q) e si tarano i parametri con
opportuni algoritmi; se laderenza alla realt buona la si trovata;
altrimenti si torna al passo precedente aumentando lordine e......
si continua fino a che la si trova o lordine raggiunto troppo
elevato. rappresentazione interna del serbatoio rappresentazione
esterna Esempio
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- 15 Modelli empirici Questi modelli non si propongono di capire
come il sistema funzioni (scopo scientifico), ma solo di predire
luscita che si otterr in risposta a dati ingressi (scopo
ingegneristico). modelli a scatola nera (black-box models) Si cerca
la forma esterna in una classe di funzioni fissata a priori Se le
variabili sono tutte scalari viene spesso adottata la forma lineare
classe PARMAX
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- 16 Modelli empirici La forma lineare semplice ed esistono
potenti algoritmi per la stima dei suoi parametri, ma non sempre la
pi adatta... ma... non-lineare! NO! Conviene utilizzare una classe
di funzioni non-lineare, come le RETI NEURALI ARTIFICIALI
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- 17 Modelli empirici stocastici Conviene, inoltre, considerare
la forma stocastica a volte con un rumore non bianco In generale
rumore di processo
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- 18 Osservazioni La forma esterna pu essere identificata solo se
sono disponibili serie storiche abbastanza lunghe di ingressi e
uscite. I modelli empirici non possono essere adottati quando le
alternative comportano modifiche alla struttura interna del
sistema, perch non possono descriverne gli effetti. Non esistono
ovviamente serie storiche che risentano di tale modifica. La
capacit predittiva di un modello empirico dipende fortemente dalla
classe di funzioni adottata a priori.
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- 19 Ricapitolando I modelli meccanicistici rischiano di essere
troppo complicati e spesso descrivono particolari irrilevanti ai
fini del progetto, che non influenzano, cio, la relazione
ingresso-uscita. Lidentificazione dei modelli empirici richiede di
specificare a priori la classe di funzioni in cui cercare la loro
forma definitiva e questa scelta condiziona fortemente la qualit
del modello. IDEA (recente 1994) Utilizzare un modello
meccanicistico, ma individuare la forma della relazione che lo
definiscono non da conoscenze a priori (la Fisica, lIdraulica,...),
ma direttamente dai dati.
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- 20 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri
componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici
Empirici IN DETTAGLIO Meccanicistico Campotosto Meccanicistico
gronde 1350
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- 21 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri
componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici
Empirici Meccanicistici basati sui dati IN DETTAGLIO Meccanicistico
Campotosto Meccanicistico gronde 1350
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- 22 Un esempio Cunning river - Australia ? Il suolo asciutto
assorbe la pioggia.
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- 23 deflusso misurato deflusso stimato Un primo modello del
fiume Cunning proviamo con un PARMAX precipitazione NO
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- 24 Modelli meccanicistici basati sui dati (DBM) proviamo con un
DBM Il valore del parametro dipende dalla portata di deflusso, che
a sua volta dipende dallumidit del terreno.
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- 25 deflusso misurato deflusso stimato Modelli meccanicistici
basati sui dati (DBM) proviamo con un DBM ora la previsione
perfetta
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- 26 Riepilogo Modelli COMPONENTESerbatoioBacino imbriferoAltri
componenti TIPOLOGIE di MODELLI Reti Bayesiane Meccanicistici
Empirici Meccanicistici basati sui dati IN DETTAGLIO Meccanicistico
Campotosto Meccanicistico gronde 1350 Modello del disturbo
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- 27 I disturbi Lo scopo ultimo simulare il comportamento del
sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le
traiettorie degli ingressi. definito dalla politica
deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto?
casuale: chi lo fornisce? N.B. I disturbi di cui parliamo sono
quelli del sistema globale, non del componente.
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- 28 I disturbi Lo scopo ultimo simulare il comportamento del
sistema in presenza di una alternativa. Per simulare occorrono le
traiettorie degli ingressi. definito dalla politica
deterministicamente noto al tempo t, ma al momento del progetto?
casuale: chi lo fornisce? Mare Adriatico Fucino VILLA VOMANO
PIAGANINI PROVVIDENZA CAMPOTOSTO MONTORIO (M) SAN GIACOMO (SG)
Distretto irriguo (CBN) S. LUCIA (SL) PROVVIDENZA (P)
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- 29 Chi li fornisce? Due possibilit: 1.adottare la traiettoria
storica ma potrebbe essere troppo breve. 2.identificare un modello
non deve avere ingressi altrimenti...... si cade in un circolo
vizioso...... che, per, a volte utile.
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- 30 Chi li fornisce? Due possibilit: 1.adottare la traiettoria
storica ma potrebbe essere troppo breve. 2.identificare un modello
non deve avere ingressi altrimenti...... si cade in un circolo
vizioso...... che, per, a volte utile. Prima o poi il disturbo deve
essere spiegato senza introdurre altri ingressi e, quindi, solo in
base ai valori che ha assunto negli istanti precedenti e, al pi,
delle variabili di stato e di controllo del sistema.
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- 31 Il modello deve dunque essere empirico meglio cambiare
notazione NO! circolo vizioso! a meno che... sia un rumore bianco
rumore di processo Il modello dei disturbi
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- 32 Il rumore bianco Se una serie di dati ammette un modello si
dice che algoritmicamente comprimibile. Una serie non
algoritmicamente comprimibile un rumore bianco Quando il disturbo
stocastico ci equivale a dire che il suo autocorrelogramma
identicamente nullo. Conclusione: i disturbi devono essere bianchi
Vedremo in seguito come descriverli.
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- 33 Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA 1.Identificazione di
una distribuzione di probabilit che descriva i dati
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- 34 Carta prob. Log1100 e prec strum.Carta prob. Log1100 e prec
strum.
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- 35 Bacini Utilizziamo dei modelli PARMA 1.Identificazione di
una distribuzione di pr. che descriva i dati 2.Normalizzazione
3.Standardizzazione
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- 36 Bacini Definizione dellordine del modello PARMA (n, p) Si
procede iterativamente, provando diverse combinazioni di n e p e
verificando per ognuna se il residuo bianco Se il residuo bianco ci
si ferma: il modello spiega completamente i dati In generale questo
pu non bastare per ottenere un buon modello: conviene confrontare i
modelli rispetto a indici di prestazione ad esempio: la var.
spiegata
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- 37 Bacini Per tutti e tre i bacini si scelto un PAR(0) definito
dunque solo da media t e varianza t ciclostazionario di periodo
365: media e varianza sono diverse ogni giorno
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- 38 PAR(0) Campotosto
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- 39 PAR (0) Provvidenza
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- 40 PAR(0) Piaganini
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- 41 Tipi di modelli Rete Bayesiane di credenza (BBN) Modelli
meccanicistici Modelli empirici Modelli meccanicistici basati sui
dati (DBM) Modelli dei disturbi Catene di Markov Non ne parleremo
in questo corso
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- 42 Leggere MODSS Cap. 4 App. VERBANO Par. 6.5
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- 43 Da qui facoltativo
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- 44 Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una
BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato una
variabile stocastica Quindi distribuzione di probabilit dello stato
allistante t
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- 45 Lo stato stocastico Quando un modello meccanicistico o una
BBN sono alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato una
variabile stocastica Quindi distribuzione di probabilit dello stato
allistante t Esempio: per valutare laffidabilit di un intervento si
deve stimare la frequenza degli eventi estremi: es. frequenza delle
esondazioni Indice = probabilit di fallanza Invaso soglia di
esondazione Probabilit di fallanza densit di probabilit t
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- 46 Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di
simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali
del disturbo, generate con un modello del disturbo. Lo stato
stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono
alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato una variabile
stocastica. Quindi Come determinare ? distribuzione di probabilit
dello stato allistante t
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- 47 Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di
simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali
del disturbo, generate con un modello del disturbo Lo stato
stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono
alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato una variabile
stocastica Quindi Come determinare ? distribuzione di probabilit
dello stato allistante t Si generano N coppie casuali (x i,y i )
con x i equiprobabile in (a,b) con y i equiprobabile in (0,c) si
ponga A i =1 se f(x i )>y i A i =0 altrimenti ab c f(x)f(x) x
Metodo Monte Carlo Esempio: Calcolo di un integrale
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- 48 Metodo Monte Carlo: effettuare un numero elevato di
simulazioni del modello in corrispondenza di traiettorie casuali
del disturbo, generate con un modello del disturbo. Lo stato
stocastico Quando un modello meccanicistico o una BBN sono
alimentati da un rumore stocastico bianco lo stato una variabile
stocastica. Quindi Come determinare ? computazionalmente costoso!
distribuzione di probabilit dello stato allistante t
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- 49 Catene di Markov Se il sistema discretizzato utilizzare come
stato non ma IDEA (Markov,1887) semplice modello lineare: CATENA di
MARKOV Matrice il cui elemento rappresenta la probabilit che lo
stato passi dal suo i-esimo valore allistante t al j-esimo
allistante t+1, quando sul sistema agisce il disturbo considerato e
il sistema controllato da una politica data.
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- 50 Un esempio SE SESE S 10.50 E 01 1 SE SESE SESESESE
S.910.1.80.2 E.101.9.21.8 SE PTPT S.9.2.1 E.8.9 SE B 10 A 01
probabilit che linvaso sia Elevato allistante t+1 probabilit che
linvaso sia Scarso allistante t+1 Con la politica adottata linvaso
sar scarso il 30% delle volte ed elevato il 70%. politica data Si
assuma che siano entrambi disturbi casuali e bianchi, con
distribuzione nota: es. valori equiprobabili
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- 51 Osservazioni Per calcolare una catena di Markov servono: le
stesse informazioni che occorrono per il metodo Monte Carlo!......
ma la catena un modello pi semplice da simulare perch autonomo, cio
non ha ingressi. - equazione di transizione di stato del modello
(mecc. o BBN); - la politica di regolazione adottata. - i modelli
dei disturbi; Lo svantaggio che le dimensioni dello stato della
catena sono molto elevate, pari al numero di valori che lo stato pu
assumere.
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- 52 Osservazioni I valori di B t sono numerosi e difficili da
stimare direttamente. Proposta: costruire prima un modello
meccanicistico (o una BBN o un empirico), cos che i Portatori
dinteresse possano pi facilmente partecipare alla sua
realizzazione; ricavare poi da questo la matrice B t della catena
di Markov.