G.M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Estensione della conservazione dell’energia ai sistemi di punti materiali

• Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative

• Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali

Ui è la somma delle energie potenziali della particella i

– In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i

• Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora essa vale anche per tutto il sistema.

• Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto.

• Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia:

• Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative.

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L’energia potenziale della forza peso

• L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del CM.

• Per ciascuna particella:

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Applicazione

• Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m0.5kg e lunghezza L=1m. Inizialmente il bastone ha un estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso.

Posizione iniziale

x

Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

y

Posizione finale

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Posizione finaleIl pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto all’asse di rotazione)

x

Applicazione

• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.

Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale

Posizione inizialey

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Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d1=.22m

x

Applicazione

• L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0.5kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1kg di 20cm di diametro.

Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale

Posizione inizialey

Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo

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x

Applicazione

• Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle:

Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo.

y

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Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali

• Per ciascuna particella

• Il momento della quantità di moto o momento angolare dell’intero sistema rispetto al polo O, è dato da:

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Cambiamento di polo

• Naturalmente possiamo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine!

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Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa

• Se O’ coincide con il centro di massa CM

• Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM.

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Secondo teorema di Konig

• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig)

• Il CM non rappresenta del tutto il sistema

• Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa LCM possiamo calcolarlo sia usando le grandezze del sistema del centro di massa che quelle del sistema con origine in O

• Se O’ coincide con il centro di massa.

• Se O è l’origine del sistema di riferimento e O’ un secondo polo qualsiasi risulta che .

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Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica

• Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità.

• Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia.

• Valutiamo la rapidità con cui varia.

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II equazione cardinale della dinamica dei sistemi

• Il momento risultante delle forze interne è nullo:

• Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne

• Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica

• Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari.

• O = origine del sist. Rif

• O = punto fisso

• O = CM (SRI o SCM)

• O punto mobile ma con velocità parallela a vCM

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Possibile uso della seconda equazione cardinale

• Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda.

• Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F.

• La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare l’intensità della reazione vincolare.

• La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta

• Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa.