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necesario tener presente que al denotar un ángulo, la letra intermedia corresponde al vértice.
TRISECTRIZ DE UN ÁNGULODivide a un ángulo en tres ángulos congruentes.
Entonces:
OBSERVACIÓN
DEFINICIÓN: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Representación:
Elementos:
Lados : _ _ _ _ _ _ _ _ _.
Vértice : _ _ _ _ _ _ _ _ _.
Notación: _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.
MEDIDA DE UN ÁNGULO: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Notación:
ÁNGULOS CONGRUENTES:
ISECTRI! DE UN ÁNGULO:
CL"SIFIC"CIÓN DE LOS ÁNGULOS:
I# DE "CUERDO " SU $EDID":I#1#% Án&'lo a&'(o:
I#)#% Án&'lo recto:
I#*#% Án&'lo o+t'so:
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nota: Dos rayos opuestos son aquellos que tienen el mismo origen y cuya reunión es una línea recta.
y son rayos opuestos
B
C
A
O
A O C
B
II# DE "CUERDO " L" ,OSICIÓN DESUS L"DOS:
II#1#% Án&'los a(-acentes:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
II#)#% Án&'los consec'ti.os:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
,OSTUL"DOS I$,ORT"NTES:
1#% /n&'los consec'ti.os 0orma(os en 'nla(o (e la recta
)#% /n&'los consec'ti.os 0orma(osalre(e(or (e in p'nto
II#*#% Án&'los op'estos por el .rtice:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
III# DE "CUERDO " L" SU$" DESUS $EDID"S:
III#1#% Án&'los complementarios:
Tam+in:C : Complemento (e # C
2 345 6
#
III#)#% Án&'los s'plementarios:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _
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B Y
CA
Zx
O
Tam+in:S : S'plemento (e : S
2 1748 6 #
#
,ropie(a( a'9iliar
RECT"S ,"R"LEL"S
ÁNGULO ENTRE DOS RECT"S SEC"NTES UN" TR"NS;ERS"L
Án&'los Correspon(ientesUn interno y el otro externo, a un mismolado.
Án&'los "lternos Internos Ambos internos uno en cada lado.
Án&'los Con<'&a(os Internos Ambos internos y en un mismo lado
,ropie(a(es 0'n(amentales:
,ropie(a( 1 : Sarrus o serrucho.
,ropie(a( )
,ropie(a( *
Án&'los ,aralelos:
O+ser.ación 1 :
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L1
L230º
0ºxº
L2
L1
!0º
!0º
xº
aº
"º
O+ser.ación ) :
E=ERCICIOS1. Se tienen los ángulos consecutios A!",
"!# y #!$, luego se tra%an las bisectrices!& del ∠ A!" y !' del ∠ #!$. Sim∠ A!#()*+ y m∠ &!'(*+, calculem∠ "!$. A- /0 "- *0 #- *0$- /0 2- 3/0
). $esde un 4unto 5!6 se tra%an los rayosconsecutios !A, !", !# y !$. #alcule la
medida del ángulo 7ormado 4or lasbisectrices del m∠ A!" y m∠ #!$. Ademásse tiene m∠ A!# ( 8+ y m∠ "!$ ( 9)+.
A- /0 "- 8/0 #- /0$- 80 2- 80
3. se tiene los ángulos consecutios ∠ A!$,∠ $!" y ∠ "!#, siendo: !$ bisectri% delm∠ A!#. #alcular m∠ "!$, si: m∠ A!# m∠ "!# ( 1//0 y m∠ A!# ; m∠ "!# ( /0
A- )0 "- 30 #- *0 $- 80 2-1)0
. Si: # com4lementoS su4lemento
Siendo además:S#α SS##)α SSS###3α SSSS####α ()//0.#alcular: α A- )0 "- 30 #- 0 $- 80 2-1)0
*. Siendo α y β las medidas de dos ángulos y la suma del com4lemento de α con elsu4lemento de )α es igual a 3<) delcom4lemento de β y α ; β ()0. #alcular elcom4lemento de α .
A- )10 "- )30 #- )0 $- )0 2-)0
06. Sí; 21## L L
Hallar “x”:
A)15°
B)40°
C)25°
D)10°
E)20°
/. 2n la =gura: Si, hallar α . A- )0
"- )*0
#- )80
$- 3/0
2- 30
08.Sí;
21## L L
Hallar “x”: si aº+bº=120º
A)20°
B)40°
C)60°D)25°
E)50°
9. Seg>n la =gura, hallar 5x6 Si:
A- **0
"- /0
#- 0
$- *0
2- 80
1/ 2n la =gura , ?calcule:5x6.
A- )*0
"- 3/0
#- /0
$- */0
2- /0
11 Calcular la medida de un ángulo, si se resta sucomplemento resulta la cuarta parte de susuplemento.
a) 135° b) 70° c) 60°
d) 80° e) 90°
1!a ra"#n entre el suplemento $ el complemento de la medidade un ángulo es %. Calcule el suplemento del complementode la mitad de la medida de dic&o ángulo.
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$
n
3
100%
x
&0%'
a) 100° b) 110° c) 90°d) 10° e) 15°
13 'e tienen los ángulos consecuti(os *+, +*C $ C*, tal -ue
la m∠ *60° $ la m∠ *C/m∠+*90°. Calcule la
m∠+*C.
a) 15° b) 30° c) 18°d) 0° e) 5
1 Seg>n el grá=co, calcule 5x6, siendo:
A- /0
"- *0
#- )0
$- *0
2- 03/@
15 Según el gráfico calcular “x” si: n // m:
A) 100°B) 110°C) 120°) 1!0°") 1#0°
Del gráfico, calcule el valor de la razón aritmética
entre x e y, cuando "xº" toma su mínimo valor
entero.
x º - y º
2 y º + x º5 x º
a) 8° b) 3°
c) 4°
d) 5° e) 6°
Del gráfico, calcule el máximo valor entero impar de
"xº", si es la medida de un ángulo agudo.
x
θ
x
º
a) 100° b) 120°
c) 130°
d) 133° d) 145°
TRI"NGULOS
DEFINICIÓN: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
Notación:
∆ A"# → se lee: triángulo A"#Elementos:Vértices:Lados:Longitud de sus lados:m internos:m externos:
BerCmetro: )p 2 a > + > c
Semi4erCmetro:
Clasi?caciónD. Bor la Eedida de sus Lados
E@'il/tero
Isósceles
Escaleno
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( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
DD. Bor la Eedida de sus Fngulos
"c't/n&'loEs a@'el @'e
tiene s's */n&'los internosa&'(os#
O+t's/n&'loEs a@'el @'e
tiene 'n/n&'lointerno
Rect/n&'lo:Es a@'el@'e tiene'n /n&'lointernorectoa - + :
,RO,IED"DES ÁSIC"S
1# Relación (e e9istencia:
)# Relación (e correspon(encia: A mayor ángulo se o4one mayor lado y iceersa.
*#
#
#
,ropie(a(es ,artic'lares#
#
7#
3#
_ _ _ _ _ _ _ _ _ __:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ __:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ :
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( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
14# Si: " 2 C → El tri/n&'lo "C ese@'il/tero
11#
1)# TraHo a'9iliar
LNE"S ,UNTOS NOT"LES "SOCI"DOS "L TRIÁNGULO
1# CE;I"N"Segmento Gue une un értice con un 4untocualGuiera del lado o4uesto o de su
4rolongaciHn.
Ce.acentro AC2s el 4unto donde se intersectan tresceianas de un triángulo
!"S2IVA#D!J2S:- , "R" UIC"R UN ,UNTO NOT"LE SÓLO ES
NECES"RIO TR"!"R DOS LNE"S NOT"LESDE L" $IS$" ES,ECIE#
- EN TODOS LOS TRIÁNGULOS ISÓSCELES SI SE
TR"!" UN" DE L"S CU"TRO ,RI$ER"S
LNE"S NOT"LES J"CI" L" "SE K DICJ"
LNE" CU$,LE L"S $IS$"S FUNCIONES UE
L"S OTR"S#- EN TODO TRIÁNGULO EUILÁTERO EL
ORTOCENTRO M "RICENTRO M INCENTRO
CIRCUNCENTRO COINCIDEN#- EN TODO TRIÁNGULO ISÓSCELES M EL
ORTOCENTRO M "RICENTRO M INCENTRO EL
ECENTRO REL"TI;O " L" "SE M SE
ENCUENTR"N "LINE"DOS EN L" $EDI"TRI!
DE L" "SE#
)# $EDI"N"Segmento Gue une un értice con el 4untomedio del lado o4uesto a dicho értice.
aricentro AG2s el 4unto donde se intersectan las tresmedianas de un triángulo.K: "aricentro
,"R" RECORD"R# !$! IDFJKUL! D2J2 UJ S!L! "AID#2JI!.$DVD$2 A #A$A E2$DAJA 2J I2LA#DMJ #!E! 1 2S A ).2L "AID#2JI! 2S SD2EBI2 UJ BUJ! DJ2ID!I.2S LLAEA$! AE"DNJ KIAVD#2JI! ! #2JI! $2 KIAV2$A$ $2 LA I2KDMJ IDAJKULAI.
*# "LTUR"Segmento Gue sale de un értice y corta en7orma 4er4endicular al lado o4uesto o a su
4rolongaciHn.
74
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Ortocentro AJ2s el 4unto donde se intersectan las tres
alturas de un triángulo.O: !rtocentro.
BAIA I2#!I$AI.T ODO TRIÁNGULO TIENE UN SOLO ORTOCENTRO#ES UN ,UNTO INTERIOR SI EL TRIÁNGULO ES "CUTÁNGULO#ES UN ,UNTO ETERIOR SI EL TRIÁNGULO ES OTUSÁNGULO#SI ES RECTÁNGULO ESTÁ EN EL ;RTICE DEL ÁNGULO RECTO#
# $EDI"TRI! 2s una recta Gue 4asa 4or el 4unto medio deun lado cortándolo en 7orma 4er4endicular.
: $e(iatriH (e
Circ'ncentro AO2s el 4unto donde se corta las tresmediatices de un triángulo.
#: #ircuncentro, es el centro de lacircun7erencia circunscrita
,"R" RECORD"R#
!$! IDFJKUL! D2J2 UJ S!L! #DI#UJ#2JI!.2L #DI#UJ#2JI! 2PUD$DSA $2 L!S VNID#2S $2L IDFJKUL!.2S UJ BUJ! DJ2ID!I SD 2L IDFJKUL! 2S A#UFJKUL!.2S UJ BUJ! 2&2ID!I SD 2L IDFJKUL! 2S !"USFJKUL!.SD 2S I2#FJKUL! 2SF 2J 2L BUJ! E2$D! $2 LA ODB!2JUSA.
,ropie(a(:Si: 5/6 es circuncentro
⇒ # 9 2 ) #
# ISECTRI! Segmento Gue diide a un ángulo interior oexterior en dos ángulos de igual medida.
Incentro AI2s el 4unto donde se intersectan las tresbisectrices interiores de un triángulo, es elcentro de la circun7erencia inscrita
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A D C
E
B
,"R" RECORD"R# !$! IDFJKUL! D2J2 UJ S!L! DJ#2JI!.2L DJ#2JI! 2PUD$DSA 2 L!S LA$!S $2L
IDFJKUL!.2L DJ#2JI! 2S SD2EBI2 UJ BUJ! DJ2ID!I $2L
IDFJKUL!.
E9centro AE2s el 4unto donde se intersectan dosbisectrices exteriores con una bisectri% interior en un triángulo, es el centro de lacircun7erencia exinscrita
E: Encentro relati.o (e
,"R" RECORD"R# !$! IDFJKUL! D2J2 I2S 2JI!S.L!S 2JI!S S!J SD2EBI2 BUJ!S
2&2ID!I2S AL IDFJKUL!.
,RO,IED"DES CON LNE"S NOT"LES1# Án&'lo 0orma(o por (os +isectrices
interiores#
#
"n&'lo 0orma(o por (os +isectricese9teriores#
# #
)# Án&'lo 0orma(o por 'na +isectriHinterior - 'na +isectriH e9terior#
#
#
*#
#
# #
#
# #
E=ERCICIOS1. 2n la =gura mostrada. #alcular 5x6.
A- 3/0
"- /0
#- *0
$- )).*0
2- 1*0
). $el grá=co. #alcular: 5x6.
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a%a% "%
"%x
x
B
C
x
!0%
A C
3 2
A
B
) C100º
120º*
*
xº
70°
! " #
$%
+0%,0%x
A- /0
"- 3/0
#- )).*0
$- *0
2- 1*0
3. 2n el grá=co. Oallar: .
A- /0"- /0#- 1/0$- 1//02- 8/0
4. Del gráfico, hallar “x”:
A) 30°B) 36°C) 45°
40°60°
5. Del gráfico hallar “x”:
A) 65°B) 50°C) 75°D) 85°) !5°
6. Del gráfico, hallar “θ” "ie#$o AC%&B'.
A) (0°B) (5°C) (8°D) &0°) &&°30
7. De la figura mostrada hallar “x”.
A) 30°
B) 25°C) 60°D) 0°!) 35°
8. #alcule:
A- 80"- 1/0#- 1)0$- 1*02- 1
9. Oallar: 5x6.
A- 1/0"- )/0#- 1*0$- /02- 3*0
"0. Cal#ular “x” si$ AB % AC & A' % 'B.
A) "0°B) "5°C) 20°D) 25°!) 30°
"". !( el grfi#o #al#ular “x”.
A) "00°B) ""0°C) "20°D) "30°!) "0°
12. Del gráfco. Calcule “x”
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x
-
α
α
θ θ
x
2 β
β
8 0 °
A
B
C A- 1/0 "- *0 #- /0 $- 1*0 2- 8/0
13. Del gráfco. Calcule x
αα
A C
B
xββ
7 2 °
A) 3° B) 54° C) 58° D) 0° !) 72°
1. 2n la regiHn interior a un triángulo ,se considera un 4unto 5$6, tal Gue:
. Si:
.#alcule:
. A- 1/0 "- *0 #- 0
$- 1*0 2- 1801*. $el grá=co mostrado, hallar 5x6.
A- /0"- /0#- **0$- 8/02- 1)*0<)
11# Seg>n el grá=co, calcule: .
A- */0
"- *0
#- 3/0
$- /0
2- /0
18. En la figura calcular x + y + z
Hallar
A) 15° B) 35° C) 20°
D) 45° E) N.A.
En el gráfico, las medidas de los ángulos
interiores del triángulo ABC están dadas en
grados sexagesimales. Calcule el menor valor
entero (en grados sexagesimales) que puede
tomar "bº".
B
A C
2 " º - a º
a - "º ºa + "º º
a) 45° b) 46° c) 40°
d) 35° e) 36°
DEFINICIÓN:
$os triángulos son congruentes si tiene igual7orma e igual tamaQo. 2s decir sus ángulosinteriores de igual medida y sus lados o4uestosde igual longitud res4ectiamente.Bara la congruencia de dos triángulos existenlos siguientes 4ostulados:
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( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
A
B
C D
E
/
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
A
B
C D
E
/
A
B
C D
E
/
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
A
B
C D
E
/
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
A
B
C D
E
/
( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( :
O
A
)
B
C"SOS DE CONGRUENCI"
1# "#L#"# A"n&'lo 6 La(o 6 "n&'lo: $os triángulos son congruentes cuando tienen unlado de igual medida y sus ángulosadyacentes a dicho lado son iguales#
)# L#"#L# ALa(o 6 "n&'lo 6 La(o: $ostriángulos son congruentes cuando tiene doslados de igual medida y el ángulo 7ormado
4or dichos lados son iguales.
*# L#L#L# ALa(o 6 La(o 6 La(o: $os triángulos
son congruentes cuando tienen sus ladosres4ectiamente iguales.
# "#L#L$ A"n&'lo 6 La(o 6 La(o $a-or: $os triángulos son congruentes cuandotienen dos lados de igual medida y el ánguloGue se o4one al mayor lado res4ectiamenteigual.
",LIC"CIÓN DE L" CONGRUENCI" DETRIÁNGULOS
1# TEORE$" DE L" ISECTRI!: odo 4untosituado en la bisectri% de un ángulo eGuidistade sus lados.
Se cum4le:
)# TEORE$" DE L" $EDI"TRI!: odo 4untosituado en la mediatri% de un segmento,eGuidista de sus extremos.
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A
B
C
DEA
B
C
A
D
B
E
C
A
B
D C
Se cum4le:,ro+lema "plicati.o:
2n la =gura, calcular el alor de .
A- )/0
"- 30
#- /0
$- 3/0
2- 180
*# TEORE$" DE LOS ,UNTOS $EDIOS: 2ntodo triángulo el segmento Gue une los
4untos medios de dos lados, es 4aralelo al
tercer lado y su medida es igual a su mitad.
Se cum4le:
# TEORE$" DE L" $ENOR $EDI"N" DEUN TRIÁNGULO RECT"NGULO: 2n todotriángulo rectángulo la mediana relatia a la
hi4otenusa es igual a la mitad de la medidade dicha hi4otenusa.
Se cum4le:
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A
B
C
C
)
A
O)
A
B C
D
30º1!º
+!º
xº
TRIÁNGULOS NOT"LES
E=ERCICIOS
". !( la figura* #al#ular “ α ”* si$ AB%+C,2$
A) "5°B) "-°C) 22°30 D) 26°30 !) 20°
2. !( u( tri(gulo re#t(gulo ABC* setra/a la ise#tri/ i(terior A' tal 1ueB'%3m & 'C%5m. allar A'$
A) 3 2 m B) 6m C) 3 3
m
D) 3 ! m !) 5m
3. Del grfi#o* #al#ular A' sie(doB%"6m & 'C%m. 4AB%BC)$
A) 20mB) 2"mC) 22mD) 23m
!) 2m
# Seg>n la =gura AB ( B! ( . #alculela altura del cilindro recto mostrado#
A- 1 "- #-
$- 3 2-
5$ %allar “C”& si A' 1m& B' #m $
A) 2mB) #mC) 5m
) (m") m
($ el gráfico$ Calcular *+*:
A) 1B) !°C) 0&5) #
") √2
$ "n la figura mos,ra-a$ %allar “x”
!0.0.#5.(0. e$ 2.
$ a me-ia,ri -e AC -e un ,riángulo ABC in,erce3,a a BC en "$ 4al ue AB'"C a-emás B'0. $ Calcular C$
A) 55° B)!5° C)0° A) 105. ") 1#0.
2
22º8º22º
23º
x
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D
A
B
3
E
C
$ Si AB'B 6 BC'B"$ %allar “α”$
B) 20°C) !0°) 15°") #5.7) !.
1/. 2n la =gura, calcular ? si:
.
A- 9.*
"- 1/.*
#- 11.*
$- 1/
2- *.
11. 2n el triángulo rectángulo A"#, recto en", se ubica E en A#, tal Gue m"A#( */+
y "E ( a. #alcular A#
A- a "- )a #- 11a $- 1/ 2-
*.a
1). 2n el triángulo A"#, se cum4le GuemA"#(1/*+ y m A#" ( )*+. Se tra%a laceiana interior "$ y la bisectri% interior AR.Si A" ( $#. #alcular m "$R
A) #0° B) 20° C) !5° ) !0. ") 25.
13. 2n el triángulo A"# se tra%a la mediana AE y en el triángulo A"E la altura "O , si 3A#- (*"O-. #alcule m EA#.
A) (0° B) #5° C) !0° ) 5!. ") !.
1. 2n el triángulo rectángulo A"# se tra%a #$ 4er4endicular a la bisectri% del ángulo "A#, si"# ( #alcule la distancia de $ a A#.
A) ! B) ( C) #$5 ) 1$5 ") 2
Hallar “x”
A) 2 B) 4 C) 6
D) 8 E) 2
En la figura AB = CD, calcular
A) 10º
B) 12º
C) 15ºD) 5º
E) 8º
En el gráfico mostrado, calcule "xº".
1 0 º1 0 0 º
1 0 º
2 0 º x º
a) 5° b) 8° c) 10°
d) 12° e) 15°
En el gráfico, calcule "xº". Si : AQ = QC = BC.
2 x ºx º
B
A C
#
a) 10° b) 15° c) 18°
d) 30° e) 22° 30'
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3
&1
2
1
23
&A
B
C
D
DA
B
CB
"
D
C
B
A
"
$
B
DEFINICIÓN: " la fig*ra for+a$a al *#ir c*aro-*#o" #o coli#eale" +e$ia#e "eg+e#o" $e reca:
Elementos: a$o": AB, BC, CD, AD.
/#g*lo": #eriore":
+
3
2
1 ββββ
xer#o": +
3
2
1 αααα
°=β+β+β+β 3,0+321
#lasi=caciHn Keneral
Clasi?cación (e los C'a(ril/terosCon.e9os
1# TrapeHoi(e
"@'ellos @'e no tienen la(o op'estos paralelos
)# Trapeciosienen dos lados o4uestos 4aralelosllamados bases y los otros lados, llamadoslados no 4aralelos
,ropie(a( (el Trapecio- $e(iana (e 'n trapecio
Si BC // A$
Si8 BC // A
#
*# ,aralelo&ramos AGuellos de lados o4uestos 4aralelos y
congruentes? ángulos o4uestos de igualmedida y dos ángulos consecutios siem4resu4lementarios. Sus diagonales se bisecan.
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A
)
!3%
B
R
/
,ropie(a(es Generales1#
##
)#
#
# #
3. Segmento Gue une los 4untos mediosde las bases
Si: > 2 348 : #
# En paralelo&ramos
# 9 2 + 6 a #
#E=ERCICIOS
1. 2n un tra4ecio la mediana y el segmentoGue une los 4untos medios de lasdiagonales están en relaciHn de cuatro atres. Oallar en Gue relaciHn están las bases. A- )< "- 3<* #-)<$- 1< 2- 1<8
). 2n un tra4e%oide A"#$? A" ( ? "# ( )* y
#$ ( )? Además la mT" ( 1+ y mT# (1/+. Oallar A$.
A- )* "- 31 #- 31
$- )* 2- 31
3. Kra=Gue el 4aralelogramo A"#$, de modoGue A$ ( 1)u., A" ( 9u y la mTA ( /+ setra%a la Altura "R relatia a #$ R en #$-.Oallar 5R$6.
A- u "- )u #- ),*u$- 3u 2- 3,*u
. 2n la =gura, #alcular 2R, si 2" ( , "# ( y A" ( 1#R (R$-. A- 8"- 1/
#- 9$- 2-
*. BPIS es un rectángulo BPA" es uncuadrado. Si PR ( 1*. Oallar SB.
A- 1"- 18
#- )/
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A
BC
D
)
x
A B
CD
A
B C
D40º +0º
$- )*
2- 1*
/.$el. Kra=co A"#$ es un cuadrado Además:#O ( A2. #alcular x+.
A- *+ "- /+ #- 3/+$- 3+ 2- *3+
/.2n el grá=co los triángulos A"# y #BP soneGuiláteros? AP ( 1 y "J ( JB? calcule JO.
A- 3<3 "- *<) #- 8 $- <3 2- 1)
/8.Segun el grá=co, A"#$ es un cuadrado decentro ! y A ( ? #alcule !P.
A- 3 "- )<3 #- )<) $- 2- *
09.Del gráfico : CM = MP; si AP = 5 y MD = 2,calcular “BD”
a !" #c 9$ %2e %!
(0. 1i, A2%BC, calc*lar x:
A) 45°B) 37°C) 30°D) 60°) 53
(&. Da$o *# c*a$riláero ABCD $o#$eB%D%!0° A%45° "i ABBC% (0+ .allarAD
A) (0+ B) 5+ C) (0√&+ D) 5√&+ ) &0+
"3. allar la ase me(or de u( trae#io si la ase ma&or mide ""m & lasdiago(ales mide( 5m & "2m & se#orta( ere(di#ularme(te.
A) 2m B) "*5m C) 2m D) "m !) 3m
". allar la media(a de u( trae#io ABCD BC,,AD si A%53°* D%5°*BC%"2m & AB%"0m.
A) "m B) "7m C) "6m D) "-m !) "5m
En la figura ABCD es un trapecio: BC = 8 y CD =
6.
Calcular AD.
A) 7
B) 8
C) 6
D) 14
E) 15
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A
B C
D
3
A
B C
D
y ABCD es un trapecio isósceles. Hallar
“AD”. EC = 5m
A) 8m B) 10
C) 15
D) 20 E) 30
Si ABCD es un romboide hallar “BF” sabiendo que
BC=7 y CD=5
A) 1 B) 2
C) 3
D) 4 E) 2,5
Si ABCD es un trapecio, m∠B = 3m∠D AB = 5, BC =
4,
AD = 12. Hallar: m ∠ BAD.
A) 78º
B) 69º
C) 67º
D) 70º
E) 71º
En la figura: AM = MB; BC = 2u. AD = 10u.
Calcular CD.
A) 6
B) 8
C) 19
D) 12
E) 14
DEFINICIÓN:2s la reuniHn de tres o más segmentosconsecutios o co4lanares, tal Gue elextremo del 4rimero coincide con el extremodel >ltimo? ning>n 4ar de segmentos, seinterce4ten, exce4to en sus extremos y dossegmentos consecutios nos seancolineales.
ElementosVértices :Lados :m internos :m externos :$iagonales :
$iagonales medias :
,olP&ono Con.e9o
2s cuando tienen todos sus ángulos internosconexos, es decir, mayores Gue cero y menores Gue 18/0.
Clasi?cación (e los ,olP&onosCon.e9os
1# ,olP&ono E@'i/n&'lo
#uando tienen todos sus ángulos internoscongruentes
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)# ,olP&ono E@'il/tero#uando tienen todos su lados congruentes
*# ,olP&ono Re&'lar #uanto tienen todos sus ángulos internoscongruentes y todos sus lados congruentes
# ,olP&onos No Con.e9os#uando tienen uno más ángulos internos noconexos es decir mayores Gue 18/0 y
menores Gue 3/0.
Se&Qn el nQmero (e la(os:
JE2I! $2 LA$!S J!E"I2
; A los demás 4olCgonos, se les llama
con sus res4ectios n>meros delados 4or
; eWem4lo: 4olCgono de diecinueelados, 4olCgono de catorce lados
1# S'ma (e las me(i(as (e s's /n&'losinternos:
# Smi 2 1745 An 6 ) #
)# S'ma (e las me(i(as (e s's /n&'lose9ternos:
# Smi 2 *45 #
*# Dia&onales traHa(as (es(e 'n solo.rtice:
# Di 2 An 6 * #
# NQmero total (e (ia&onales:
# #
# NQmero total (e (ia&onales me(ias:
# ## Dia&onales traHa(as (es(e .
.rtices consec'ti.os
# #
En ,olP&onos Re&'lares - E@'i/n&'los# $e(i(a (e 'n /n&'lo interno:
# #7# $e(i(a (e 'n /n&'lo e9terior:
# #
E=ERCICIOS
15. C#mo se llama a-uel polgono regular +C2.............., cu$as mediatrices de loslados + $ C se cortan 4ormando unángulo cu$a medida es igual a 90°
) entadecágono+) cosagonoC) ecágono) *ct#gono2) odecágono
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40%!0%
B
A
C
A
BC
D
,0%
1#2n un 4olCgono regular la suma de las medidas desus ángulos internos más la suma de las medidasde los ángulos externos y más la suma de lasmedidas de los ángulos centrales es 1)/.#alcular el n>mero de értices.
A- * "- #- 8$-1) 2- )/
)#X2n Gué 4olCgono regular, la medida delángulo interior es el tri4le de la medidadel ángulo exteriorY
A- !ctHgono "- 2neágono #- $ecágono$- $odecágono2- Dcoságono
*#La medida de un ángulo interior de un 4olCgono regular es 13*. #alcular eln>mero total de sus diagonales.
A- 18 "- )/ #- ))$- ) 2- )
# 2l 4erCmetro de un hexágono eGuiángulo A"#$2R es ). Si A" ( #$ ( 2R y "# ($2 ( RA, calcular 5"26.
A- 1) "- 1 #- 18$- ) 2- 3
# 2n el grá=co calcule 5x6, si A"#$2 es un 4olCgono regular.
A- 3/+ "- 3+ #- *+ $- *+ 2- /+
#2n el grá=co se tiene un octHgono regular.#alcule 5x6
A- 8/+ "-/+ #-3/+ $-*+2-*+
# 2n un 4olCgono la suma del n>mero delados, értices y ángulos determinados es3, calcule su n>mero de diagonales.
A- "- */ #- *) $- * 2-)
7# Si el n>mero de lados de un 4olCgonodisminuye en 3, el n>mero de diagonalesdisminuye en 1).X#uántos lados tiene el 4olCgonoY
A- "- 8 #- 1/ $- 1) 2- 1*
1. #uál es el 4olCgono conexo cuyo n>merototal de diagonales excede al n>mero deértices en 18Y
A- 1 lados "- 1 lados #- Jonágono$- $odecágono2- 3/ lados
). 2n un octHgono regular A"#$2RKO, calcular la medida del menor ángulo 7ormado 4or las mediatrices de los lados A" y #$.
A- */ "- * #- /$- 8/ 2- 9/
1. Según el esquema, ABCD..... es un polgonoequi!ngulo. Calcular el número "e "iagonalesme"ias.
a# 1$ %# $ c# &&"# '$ e# (1
(. ABCD....... es un polgono equi!ngulo. Calcular sunúmero "e "iagonales.
a# )%# (*c# $ "# 1'e# (
. En una -ex!gono equi!ngulo ABCDE, AB/CD/E y BC/DE/A. Calcular C, si el perme0ro "e "ic-o-ex!gono es &.
a# ) %# 1* c# 11"# 1( e# 1$
ado un poligono +C2 ............... lasmediatrices de los lados + $ C seintersectan 4ormando un angulo de 10° .allar las diagonales medias del poligono
) 10 +) 8 C) 1 ) 15 2) 36
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C
D
B
A
N
O
R L1
L2A
B
A
B
A
B
A
B C
D
1. La figura muestra a un pentágonoregular y a un hexágono regular.
Calcular
A)24°
B)15°
C)1°
!)12°
")#°
1. "n la figura se muestra $os pentágonos regulares% calcular &x'.
A 5&
B) 2(°
C) (2°
!) °
") #°
1. *eg+n el gráfico ABC!"... y ,-C*.... son pol/gonose0uiángulos. Calcule la ran entreel n+mero total $e las $iagonales$e $ichos pol/gonos.3B% C y son puntos colineales)
A) 2 B) 64 C) 46!) 45 ") 26
Definición: Circ*#fere#cia e" el l*gar geo+rico, $eo$o" lo" -*#o" $e *# -la#o *e e*i$i"a# $e oro-*#o fi9o lla+a$o ce#ro *#a $i"a#cia $e#o+i#a$ara$io.Elementos:
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA:
1.-ANGULO CENTRAL: a +e$i$a $e *# á#g*loce#ral e" ig*al a la +e$i$a $e "* arcocorre"-o#$ie#e.
2.-ANGULO INCRITO: a +e$i$a $e *# á#g*loi#"crio e" la +ia$ $e la +e$i$a $el á#g*loi#erce-a$o.
!.-ANGULO E"I - INCRITO: a +e$i$a $e *#á#g*lo "e+i i#"crio e" ig*al a la +ia$ $e la +e$i$a$e "* arco i#erce-a$o
#.-ANGULO INTERIOR: # á#g*lo i#erior e" ig*al ala +ia$ $e la" +e$i$a" $e la "*+a $e lo" arco"i#erce-a$o"
Radio:AO=OB=RDiámetro:
AB=2RCuerda: CDArco: CD
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r
A
C
9a
c B
a + b = c + 2 r
a + c = b + d
A
C
9
a c
B
A
B C
D
x%
A
B
)
A B
N
A B
CD'°a°
$.-ANGULO E%TERIOR: # á#g*lo exerior e" ig*al ala +ia$ $e la $ifere#cia e#re la" +e$i$a" $e lo"arco" i#erce-a$o"
PROPIEDAD N° 1.- ;o$o ra$io e" -er-e#$ic*lar a laa#ge#e e# "* -*#o $e a#ge#cia
PROPIEDAD N°2: a lo#gi*$ $e la" a#ge#e"ra<a$a" $e"$e *# -*#o exerior $e *#acirc*#fere#cia "o# ig*ale".
PROPIEDAD N°3: ;o$o ra$io *e "ea -er-e#$ic*lar a*#a c*er$a $i=i$e a la c*er$a a "* arcocorre"-o#$ie#e e# $o" -are" ig*ale".
.PROPIEDAD N°4: a" +e$i$a" $e lo" arco"co+-re#$i$o" e#re $o" c*er$a" -aralela" "o#ig*ale".
PROPIEDAD N°5 $ De la fig*ra +o"ra$a "e c*+-le
Consec'encia Son i&'ales
O
O
PROPIEDAD N°6 > De la fig*ra +o"ra$a "e c*+-le
TEORE$" I;: TEORE$" DE ,ONCELET5 2n todo triángulo rectángulo: la suma de
catetos es igual a la hi4otenusa más eldoble del radio de la circun7erencia inscrita.
TEORE$" ;: TEORE$" DE ,ITOT
5 2n todo cuadrilátero circunscrito a unacircun7erencia se cum4le Gue ) ladoso4uestos suman igual Gue los otros )6
Si AB DC
a=b
θ
+θ= !8"#
θ+ = $"#
%0
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r A B
A B : i á m e , r o
3x
)/
E
B
A
E
C D
5
Corolario I: odos los ángulos inscritos en unmismo arco tiene igual medida.
Corolario II#% odo ángulo inscrito en unasemicircun7erencia es ángulo recto.
E=ERCICIOS1. 2n la =gura mostrada, calcular x.
A- )/0 "- 3/0 #- 30
$- *0 2- 3*0
). 2n la =gura mostrada calcular α . Además !es centro.
A- 1803/Z
"- ))03/Z
#- 3/0
$- 30
2- *0
3. 2n la=guramostrada,
A! ( $# y ! escentro delacircun7erencia. #alcular x, siendo un
4unto de tangencia.
A- 10 "- 80 #- *10$- 0 2- 90
. 2n la =gura mostrada, A" ( "# y la medidadel arco "2 ( /0. #alcular [.
A- 3/0 "- )/0 #- 3*0$- /0 2- )*0
*. 2n la =gura mostrada, $B << A# y es 4untode tangencia. #alcular x.
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!
$
(
E
#
D
%" !0%
!
$
#D
"
70°
)0°
$
!
*
!
$
#
D E
+°
,0%
N
"
-
B
A
C
D
100%x
A- /0 "- 3/0 #- *0$- 3*0 2- /0
. $el grá=co, calcular x.
A- 3/0 "- /0 #- *0$- */0 2- *0
. $el grá=co B, P y son 4untos detangencia. Oallar x.
A- 1*0"- )/0#- )*0
$- 3/02- /0
1. En el gráfico calcular:mAPB + mCQD, (E; F: son untos !etangencia"
A" #$%B" 1$$%C" 1&$%D" 1'$%E" 1$%
). En el gráfico calcular ** si:PA PB - PC PD
A" &%
B" $%C" '$%D" '%E" /$%
0. En el gráfico calcular;α
+β
si: m AB1$%.
A" /%B" 1$$%C" 1)%D" 1$%E" 0$$%
&. En el gráfico calcular ** (A, B, C, D - E son
untos !e tangencia".
A" $%B" #$%C" 1$$%D" 1)$%E" 1$%
2. allar x si +%20°. '* 8 & 9 so( u(tos de ta(ge(#ia
A) "0°
B) 20°C) 30°D) 0°!) 50°
%. '( la figura, A, B, C y D so( )u(*os $e*a(ge(cia. Calcule “+”.
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20%
B
A
C
T
)
30%
)R
T
L
)
100º
x
- .
a 20 " -0 c 50$ -5 e &0
2. '( el gráfico, BC=C y es )u(*o $e*a(ge(cia. Calcule la /∠BA
a -0 " !0 c 50$ -5 e #0
!. i P y so( )u(*os $e *a(ge(cia y P1=%0,calcule P.
a " 5 c 3,5
$ e -
-. '( al siguie(*e figura, calcule la /P41.
a %00 " #0 c &0 $ %20e 90
5. eg( el gráfico, P, y 1 so( )u(*os $e
*a(ge(cia. Calcule: /MP 6 /71.
a &0 " %&0 c #0
67 4!% 87 &0%
Del gráfico, calcular “x”
A) 55° B) 40° C) 80°
D) 65° E) 60°
En la figura, hallar , si “O” es el centro de la
circunferencia.
A) 20º B) 70º C) 40º
D) 30º E) 60º
Hallar “x + y + z”
A) 142º
B) 145º
C) 140º
D) 150º
E) 155º
A, B y C son puntos de tangencia, calcule “x + y”
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